姚冠兵，萬兵，方向，周志祥，吳修波

（1.重慶交通大學，土木工程學院，重慶400074；2.青海省公路科研勘測設計院，青海西寧810001）

在機械、橋梁及水工工程中，相同材料及不同材料間需要相互連接共同受力，不可避免的要對整體結構進行開孔、挖槽等，另外由于材料的不均勻性、以及制作過程中的誤差等原因造成結構本身、連接構件及附屬構件帶裂紋工作往往是不可避免的.特別是在鋼結構、鋼混組合結構、復合材料結構中鉚釘連接是最常見的一種連接方式，帶槽孔鋼板的斷裂損傷問題原理及控制裂紋擴展方法成為亟待解決的問題[1-2].復雜結構在力的作用下破壞以及斷裂形式，總是可以看做若干簡單破壞或斷裂形式的組合，斷裂破壞存在3種基本的斷裂模式.這3種模式即為張開型—I型斷裂、滑移型—II型斷裂、撕裂型—III型斷裂[3].應力強度因子是斷裂力學在研究應力作用下考慮應力和裂紋尺寸這兩個因素對裂紋擴展影響而引入的新參數，反映了裂紋尖端附近應力場的強弱.如何簡化計算得到適合于工程結構計算的應力強度因子解析式，各國學者做了大量的工作[4-6].彈塑性力學的發(fā)展進程與復變函數的發(fā)展密不可分，工程結構以材料和邊界條件為基礎結合實際的工程經驗做出判斷，解析函數意味著連續(xù)結構或者區(qū)域內部的值可以通過邊界上的邊界條件表示，而得到解析函數又是復變函數論的主要目的，這就為復變函數論在工程力學中的應用奠定了基礎.其中俄國數學力學家首先應用復變函數論方法解決了平面線彈性靜力學問題[7].本文在前人研究的基礎上，采用復應力函數及疊加原理計算得到無限寬板上偏心拉伸鉚釘雙耳裂紋的應力強度因子表達式.

1 方法的提出

1.1 線彈性力學在求解應力強度因子中的應用

線彈性理論是彈塑性力學、斷裂力學、固體力學中最基礎的力學理論之一，研究對象為理想單元或結構，服從廣義胡克定律.本節(jié)從線彈性力學的基本理論入手，對無限板上的微孔結構進行分析.

圖1 平面應力狀態(tài)下帶中心穿透裂紋

如圖1所示的無限平板，為I型斷裂；長度L=2a的穿透性裂紋，當無限平板受到均勻的拉應力σ時，其裂紋端部區(qū)域的應力分量可以應用彈性理論解得到[8-9]，為便于求解，建立以尖端B點為坐標原點的復數坐標系（如圖1），得到復變量z1為：

應力函數表達式：

由于裂紋的擴展只取決于裂紋端部區(qū)域的應力應變場，對于端部區(qū)域有r＜＜a，因此：

將式（4）代入Ⅰ型經典裂紋問題的Westergaard應力函數得到I型應力函數表達式如式（5），同理得到Ⅱ型斷裂的應力表達式如式（6）：

1.2 偏心拉伸鉚釘的靜力學解

為了得到偏心拉伸鉚釘雙耳裂紋的應力強度因子，我們從鉚釘的線彈性力學彈性階段靜力學受力分析入手，應用疊加原理對鉚釘結構進行受力分解.將鉚桿對鉚孔邊緣的偏心集中力分解為垂直于雙耳裂紋方向上的張開型力P，平行于裂紋方向上的滑移型力Q，以及鉚釘鋼板產生的反作用正應力σ、切應力τ.鉚釘受力圖如圖2所示.

圖2 帶雙耳裂紋偏心拉伸鉚釘受力圖示

在平面應力狀態(tài)下，雙耳裂紋的破壞形態(tài)既可能沿坐標軸y方向張開破壞，也可能沿坐標軸x方向剪切破壞，特別的集中力P作用在近A端裂紋，因此雙耳裂紋A端與B端應力強度因子存在差異，需要另行計算.如前所述雙耳裂紋偏心拉伸鉚釘裂紋擴展破壞屬于張開型—Ⅰ型斷裂、滑移型—Ⅱ型斷裂的復合破壞，為了方便計算我們利用疊加原理對圖2受力進行分解，如圖3所示.

圖3 鉚孔偏心受力分解示意圖

疊加原理得到aK表達式：

對于圖3-b進一步分析可知，裂紋尖端受到了均布應力σ、偏心集中力P的共同作用，可利用疊加原理繼續(xù)對圖3-b受力圖示進行分解，如圖4所示.分析易知圖4-b與圖4-f所示鉚釘為對稱受力，受力特性及變形特性一致，故可以進行合并.

圖4 鉚孔偏心受拉分解示意圖

應用疊加原理得到KbI表達式：

綜合得到：

2 應用復變函數求解鉚孔雙耳裂紋尖端應力強度因子

2.1 應力強度因子的解析解

由式（5）及式（6）綜合得到：

偏心作用下帶雙耳裂紋鉚孔鋼板，很難得到裂紋尖端應力場的精確求解.為了簡化計算過程，將鉚釘孔看做裂紋的一部分對裂紋尖端的應力強度因子進行分析，將含裂紋的符合廣義胡克定律的鋼板歸結為彈性力學平面問題進行分析，尋找一個應力函數，使其滿足邊界條件要求的復變應力函數，即雙調和方程.由文獻[3]得到I/II復合型斷裂破壞其應力強度因子的表達為：

其中φ′(z)為滿足邊界條件的應力函數.對于純I型斷裂破壞構建應力函數：

得到：

得到：

得到：

參考文獻[3]算例得到中心受力雙耳裂紋的K表達式：

2.2 算例分析

以鋼鉚板鉚孔直徑20 mm、裂紋長度5 mm、受到集中力10 kN的板厚、板寬為無量綱單位1的鋼板為例，以不同的偏心長度1l為變量，對比分析偏心作用下的鉚孔雙耳裂紋應力強度因子的變化特征.

表1 偏心與中心受力強度因子比值的變化特征

由表1可知，與中心受載情況下相比（90θ=°即中心受載），偏心作用時隨著偏心距變?。é茸兇螅┙亩耍ˋ端）在45θ=°時應力強度因子最大，對控制鉚孔雙耳尖端裂紋擴展越不利，應盡量避免；對于遠離偏心端（B端），鉚孔雙耳尖端控制裂紋擴展隨偏心距變?。é茸兇螅U展越不利，但整體不超過對稱受載，可以忽略.

3 結論

通過利用線彈性力學方法獲得I/II型斷裂破壞裂縫尖端的應力強度影子，應用疊加原理對偏心拉伸鉚釘雙耳進行靜力學分析，并將其受力分解為簡單的3部分，運用復應力函數得到各部分的解析解，最后分別得到雙耳裂紋尖端/AB兩側解，通過與中心受載比較分析得到了偏心受力對控制近偏心端裂紋擴展不利，且偏心轉角45θ=°時，應力強度因子達到最大；遠離偏心端裂紋擴展可以忽略.實際工程中結構受力復雜，對于可能帶裂紋工作的構件，設計過程中應適當增加安全系數，保證結構物使用安全；本文僅探討了平面受力狀態(tài)下偏心受力作用下的應力強度因子，對于空間結構受力對平面結構的影響將是下一步研究的方向之一.