廣東省廣州市第六十六中學(xué)(510460) 王松岳

2018年廣州一模測試題中的理科數(shù)學(xué)第20題代表近年來圓錐曲線問題的熱點,值得去認真思考,并挖掘其中的來源.

一、原題再現(xiàn)

解讀上面的解題過程,發(fā)現(xiàn)由一個定點T(4,0)出發(fā)的一組動直線,經(jīng)過對稱變換后,回歸于定點G(1,0),估計這不是一個特例,猜想對于x軸任意一點都應(yīng)該成立.

二、由特殊到一般

圖1

三、把結(jié)論推廣到其它圓錐曲線

對于拋物線也有類似的結(jié)論:

結(jié)論3過點T(n,0)(n?=0)的直線l與拋物線C:y2=2px(p＞0)相交于點A(x1,y1),B(x2,y2),點A′(x1,?y1)與點A(x1,y1)關(guān)于x軸對稱,則直線A′B恒過定點(?n,0).當n＞0時,應(yīng)排除斜率不存在與斜率為零的直線.

四、追根溯源,命題背景分析

本題的命題背景來自于圓錐曲線的極點與極線.極點與極線問題是近年來高考的熱點問題,此類問題越來越多出現(xiàn)在高考卷中,可以說已經(jīng)成為高考解析幾何大題的命題“新寵”.雖然不能夠直接套用極點與極線的相關(guān)結(jié)論用于解答,但教師如果能夠了解掌握相關(guān)理論,從更高的角度看對問題,對教學(xué)是有很大幫助的.下面給出極點與極線的定義,定理及相關(guān)性質(zhì).

定義1設(shè)兩點P,Q的連線與圓錐曲線C相交于M1,M2,如果M1,M2被P,Q調(diào)和分割(即=?1,這里的線段均為有向線段),則稱P,Q關(guān)于圓錐曲線C成調(diào)和共軛.

定義2如圖2,P是不在圓錐曲線上的點,過P引兩條割線依次交圓錐曲線于四點E,F,G,H,連接EH,FG交于N,連接EG,FH交于M,則直線MN為點P對應(yīng)的極線.若P為圓錐曲線上的點,則過點P的切線即為極線.

定義3如圖3,(極線方程公式)已知圓錐曲線C:Ax2+By2+2Dx+2Ey+F=0,則點P(x0,y0)與直線l:Ax0x+By0y+D(x0+x)+E(y0+y)+F=0是該圓錐曲線的一對極點和極線.

由上述極線方程公式可知,圓錐曲線對稱軸上的點的極線垂直于該對稱軸.

圖2

圖3

定理1一點P關(guān)于圓錐曲線C的所有調(diào)和共軛點的軌跡為一條直線l,稱直線l為點P(關(guān)于圓錐曲線C)的極線,點P稱為直線l(關(guān)于圓錐曲線C)的極點(簡稱極).

特別地,圓錐曲線焦點的極線就是與之對應(yīng)的準線.當點P在圓錐曲線的外面時,其極線l是圓錐曲線C從點P所引兩條切線的切點所確定的直線(即切點弦所在的直線).

定理2(配極原則)點P關(guān)于圓錐曲線C的極線l經(jīng)過點Q?點Q關(guān)于圓錐曲線C的極線m經(jīng)過點P;直線l關(guān)于圓錐曲線C的極點P在直線m上?直線m關(guān)于圓錐曲線C的極點Q在直線l上.

由定理2可知,共線點的極線必共點;共點線的極點必共線.

由上述結(jié)論可知,本次2018年廣州一模理科數(shù)學(xué)第20題就是涉及極點P(n,0)關(guān)于橢圓的極線的問題.

五、高考鏈接

1.(2008年山東卷理科第22題)設(shè)拋物線方程為x2=2py(p＞0),M為直線y=?2p上任意一點,過點M引拋物線的切線,切點為A,B.

(1)求證:A,M,B三點的橫坐標成等差數(shù)列;(2),(3)略.

2.(2010年江蘇卷理科第18題)已知拋物線C的頂點為O(0,0),焦點為F(0,1).

(1)求拋物線C的方程;

(2)過點F作直線交拋物線C于A,B兩點.若直線AO,BO分別交直線l:y=x?2于M,N兩點,求|MN|的最小值.

3.(2015年全國I卷理科第20題)在直角坐標系xOy中,曲線與直線l:y=kx+a(a＞0)交于M,N兩點.

(I)當k＞0時,求曲線C在M,N兩點處的切線方程;

(II)y軸上是否存在點P,使得當k變動時,總有∠OPM=∠OPN?說明理由.

從近年來看,有著極點與極線背景的高考試題,越來越多地出現(xiàn),如果教師能夠高屋建瓴,加深對題源的認識,就能更好地把握試題,對教學(xué)提供很好的幫助.