云南省昆明市宜良縣職業(yè)高級(jí)中學(xué)(652100) 胡光明

對(duì)于拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c,老師們一般只關(guān)注對(duì)定義(一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式)、圖像(畫(huà)法)、一般性質(zhì)(定義域、值域、開(kāi)口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱(chēng)軸、增減性、最值)及應(yīng)用等內(nèi)容的研究,很少注意更廣泛的開(kāi)拓性研究.

在教學(xué)中,筆者發(fā)現(xiàn),拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c還有一個(gè)很有趣的性質(zhì),寫(xiě)下來(lái)與同仁分享.

定理拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c上依次取不重復(fù)的四個(gè)點(diǎn),若第一點(diǎn)與第二點(diǎn)、第三點(diǎn)與第四點(diǎn)橫坐標(biāo)間距相等,則這四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是梯形,其兩底的比值為定值.

圖1

如圖1,已知拋物線(xiàn)上四點(diǎn)A、B、C、D,A點(diǎn)和B點(diǎn)橫坐標(biāo)的間距與C點(diǎn)和D點(diǎn)橫坐標(biāo)的間距相等.求證:四邊形ABCD為梯形,且為定值.

推論1拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c上依次排列的四個(gè)點(diǎn),若相鄰兩個(gè)點(diǎn)之間橫坐標(biāo)間距相等,則這四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是梯形,其兩底的比值為3.

推論2拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c上依次排列的四個(gè)點(diǎn),若相鄰兩個(gè)點(diǎn)之間橫坐標(biāo)間距都是1,則這四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是梯形,其兩底的比值為3.

這一定理在解一些相關(guān)聯(lián)的題目時(shí),有化難為易的功效,舉例如下.

圖2

例1如圖2,已知拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為A、D(A在D的右側(cè)),與y軸的交點(diǎn)為C.

(1)直接寫(xiě)出A、D、C三點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)若點(diǎn)M在拋物線(xiàn)上,使得△MAD的面積與△CAD的面積相等,求點(diǎn)M的坐標(biāo);

(3)設(shè)點(diǎn)C關(guān)于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B,在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P,使得以A、B、C、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為梯形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

這是2014年廣東省汕尾市的一道數(shù)學(xué)中考題(第25題),有一定難度.一般思路和解法摘錄如下.

分析(1)令y=0,解方程可得到A點(diǎn)和D點(diǎn)坐標(biāo);令x=0,求出y=?3,可確定C點(diǎn)坐標(biāo);

(2)根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性,可知在在x軸下方對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)也存在這樣的一個(gè)點(diǎn);再根據(jù)三角形的等面積法,在x軸上方,存在兩個(gè)點(diǎn),這兩個(gè)點(diǎn)分別到x軸的距離等于點(diǎn)C到x軸的距離;

(3)根據(jù)梯形定義確定點(diǎn)P,如圖所示:[1]若BC//AP1,確定梯形ABCP1.此時(shí)P1與D點(diǎn)重合,即可求得點(diǎn)P1的坐標(biāo);[2]若AB//CP2,確定梯形ABCP2.先求出直線(xiàn)CP2的解析式,再聯(lián)立拋物線(xiàn)與直線(xiàn)解析式求出點(diǎn)P2的坐標(biāo).

解(1)因?yàn)?所以當(dāng)y=0時(shí),解得x1=?2,x2=4.當(dāng)x=0,y=?3.所以A點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0),D點(diǎn)坐標(biāo)為(?2,0),C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,?3);

[1]點(diǎn)M在x軸下方時(shí),根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性,可知點(diǎn)M與點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng),因?yàn)镃點(diǎn)坐標(biāo)為(0,?3),所以M點(diǎn)坐標(biāo)為(2,?3);

[2]點(diǎn)M在x軸上方時(shí),根據(jù)三角形的等面積法,可知M點(diǎn)到x軸的距離等于點(diǎn)C到x軸的距離3.當(dāng)y=3時(shí),,解得,所以M點(diǎn)坐標(biāo)為.綜上所述,所求M點(diǎn)坐標(biāo)為(2,?3)或;

圖3

(3)結(jié)論:存在.如圖3所示,在拋物線(xiàn)上有兩個(gè)點(diǎn)P滿(mǎn)足題意:[1]若BC//AP1,此時(shí)梯形為ABCP1.由點(diǎn)C關(guān)于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B,可知BC//x軸,則P1與D點(diǎn)重合,所以P1(?2,0).因?yàn)镻1A=6,BC=2,所以,所以四邊形ABCP1為梯形;

圖4

[2]若AB//CP2,此時(shí)梯形為ABCP2.因?yàn)锳點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0),B點(diǎn)坐標(biāo)為(2,?3),所以直線(xiàn)AB的解析式為y=所以可設(shè)直線(xiàn)CP的2解析式為將C點(diǎn)坐標(biāo)(0,?3)代入,得n=?3,所以直線(xiàn)CP2的解析式為因?yàn)辄c(diǎn)P2在拋物線(xiàn)上,所以,化簡(jiǎn)得:x2?6x=0,解得x1=0(舍去),x?2=6,所以點(diǎn)P2橫坐標(biāo)為6,代入直線(xiàn)CP2解析式求得縱坐標(biāo)為6,所以P2(6,6).因?yàn)锳B//CP2,AB?=CP2,所以四邊形ABCP2為梯形.

綜上所述,在拋物線(xiàn)上存在一點(diǎn)P,使得以點(diǎn)A、B、C、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形為梯形;點(diǎn)P的坐標(biāo)為(?2,0)或(6,6).

上述第三個(gè)問(wèn)題的解答頗花費(fèi)了一些筆墨.若應(yīng)用本文定理,就來(lái)得容易多了.

事實(shí)上,已求出C、B、A三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為C(0,?3)、B(2,?3)、A(4,0),因?yàn)镃、B、A這三個(gè)點(diǎn)橫坐標(biāo)間距都是2,根據(jù)上述定理及推論,P點(diǎn)與C點(diǎn)橫坐標(biāo)的間距或P點(diǎn)與A點(diǎn)橫坐標(biāo)的間距為2時(shí),四邊形ABCP為梯形.所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)應(yīng)為?2或6,于是得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(?2,0)或(6,6).

例2已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x,二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c恒非負(fù),若a＜b,求的最小值.

對(duì)于本題,《數(shù)學(xué)通報(bào)》2012年第12期的文章《回歸知識(shí)基礎(chǔ) 關(guān)注基本性質(zhì)》有過(guò)精彩的討論.通過(guò)閱讀文[1],筆者了解到《數(shù)學(xué)通報(bào)》2008年第12期、2010年第9期也有文章研究過(guò)此題.

這里,筆者僅從本文定理及推論的角度,對(duì)例2進(jìn)行討論.

通過(guò)觀(guān)察,結(jié)合二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c相關(guān)知識(shí)易知:f(?1)=a?b+c;f(0)=c;f(1)=a+b+c.這些信息均與解題目標(biāo)相關(guān),而它們相應(yīng)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)間距都是1,且f(0)?f(?1)=b?a,因此考慮引入第四個(gè)元素f(?2),使以橫坐標(biāo)為-2、-1、0和1的四個(gè)點(diǎn)滿(mǎn)足構(gòu)成梯形的條件 (推論 2).由f(1)?f(?2)=3[f(0)?f(?1)]得:a+b+c?f(?2)=3(b?a),即:,因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)x,二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c恒非負(fù),所以f(?2)≥0,又因?yàn)閍＜b,所以當(dāng)且僅當(dāng)f(?2)=0時(shí)等號(hào)成立.由知,b=c=4a.問(wèn)題迎刃而解.

其實(shí),圍繞本文定理及推論,仿照例2可以得到一系列翻版或升級(jí)版的命題.比如:

(1)已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x,二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c恒非負(fù),若25a+5b＞0,求的最小值.

(2)已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x,二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c恒非負(fù),若b＞3a,求的最小值.

(3)已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x,二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c恒非負(fù),若b＞2a,求的最小值.

(4)已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x,二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c恒非負(fù),若3a+b＞0,求的最小值.

不勝枚舉.

本文提出的拋物線(xiàn)內(nèi)接梯形的原理,還可應(yīng)用到拋物線(xiàn)作圖上.取拋物線(xiàn)上橫坐標(biāo)間隔距離相同的三個(gè)點(diǎn)(最好是先定出頂點(diǎn)),即可通過(guò)推平行線(xiàn)的方法分別向兩側(cè)找到第四點(diǎn)、第五點(diǎn)……,從而作出拋物線(xiàn)的圖像.讀者可自行嘗試,這里不再贅述.