廣東省興寧市第一中學(xué)(514500) 藍(lán)云波

一、知識(shí)要點(diǎn)梳理

1.利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟

[1]分析實(shí)際問題中各量之間的關(guān)系,列出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型,寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x);

[2]求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x),解方程f′(x)=0;

[3]比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和f′(x)=0的點(diǎn)的函數(shù)值的大小,最大(小)者為最大(小)值;

[4]回歸實(shí)際問題作答.

2.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

[1]證明不等式時(shí),可構(gòu)造函數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極值或最值問題.其一般步驟如上圖(右)所示.

[2]求解不等式恒成立問題時(shí),可以考慮將參數(shù)分離出來(lái),將參數(shù)范圍問題轉(zhuǎn)化為研究新函數(shù)的值域問題.若f(x)≥a或g(x)≤a恒成立,只需滿足f(x)min≥a或g(x)max≤a即可,利用導(dǎo)數(shù)方法求出f(x)的最小值或g(x)的最大值,從而問題得解.

3.導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)零點(diǎn)或方程的根中的作用

[1]研究函數(shù)圖象的交點(diǎn)、方程的根、函數(shù)的零點(diǎn),歸根到底是研究函數(shù)的性質(zhì),如單調(diào)性、極值、最值等.

[2]用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn),一方面用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,借助零點(diǎn)存在性定理判斷;另一方面,也可將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題,利用數(shù)形結(jié)合來(lái)解決.

二、經(jīng)典問題分析

例1 如圖1,將邊長(zhǎng)為1的正六邊形鐵皮的六個(gè)角各切去一個(gè)全等的四邊形,再沿虛線折起,做成一個(gè)無(wú)蓋的正六棱柱容器.當(dāng)這個(gè)正六棱柱容器的底面邊長(zhǎng)為___時(shí),其容積最大.

圖1

圖2

點(diǎn)評(píng)此題是一道與立體幾何進(jìn)行交匯的實(shí)際問題,應(yīng)注意蘊(yùn)含條件的挖掘.

例2統(tǒng)計(jì)表明,某種型號(hào)的汽車在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量y(升)關(guān)于行駛速度x(千米/小時(shí))的函數(shù)解析式可以表示為.已知甲、乙兩地相距100千米.

(1)當(dāng)汽車以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí),從甲地到乙地要耗油多少升?

(2)當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時(shí),從甲地到乙地耗油最少?最少為多少升?

點(diǎn)評(píng)在求實(shí)際問題中的最大值或最小值時(shí),一般先設(shè)自變量、因變量、建立函數(shù)關(guān)系式,并確定其定義域,利用求函數(shù)最值的方法求解,注意得到的結(jié)果應(yīng)與實(shí)際情況相符合.在實(shí)際問題中,如果可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn),那么只要根據(jù)實(shí)際意義判定是最大值還是最小值即可,不必再與端點(diǎn)的函數(shù)值比較.

例3已知函數(shù),曲線y=f(x)在點(diǎn)(e,f(e))處的切線與直線e2x?y+e=0垂直(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(1)若f(x)在(m,m+1)上存在極值,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

點(diǎn)評(píng)構(gòu)造函數(shù)借助導(dǎo)數(shù)證明不等式,本題使用了構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)的技巧實(shí)現(xiàn)問題的求解.求解導(dǎo)函數(shù)綜合問題的關(guān)鍵是如何化歸為熟悉與簡(jiǎn)單的問題.

例4已知函數(shù)f(x)=ex+m?x3,g(x)=ln(x+1)+2.

(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線斜率為1,求實(shí)數(shù)m的值;

(2)當(dāng)m≥1時(shí),證明:f(x)＞g(x)?x3.

解析(1)因?yàn)閒′(x)=ex+m?3x2,由題意知f′(0)=em=1,解得m=0.

點(diǎn)評(píng)本題的函數(shù)中含有參數(shù)m,通過觀察,發(fā)現(xiàn)可利用放縮法,可把參數(shù)m消去,然后轉(zhuǎn)化為不含參的具體函數(shù);本題是隱零點(diǎn)問題,關(guān)鍵是結(jié)合零點(diǎn)存在定理,利用設(shè)而不求的思想進(jìn)行整體代換.

綜上,函數(shù)F(x)有唯一零點(diǎn),即兩函數(shù)圖象總有一個(gè)交點(diǎn).

點(diǎn)評(píng)兩個(gè)函數(shù)的圖像的交點(diǎn)問題與函數(shù)的零點(diǎn)問題常常互相轉(zhuǎn)化,關(guān)鍵是觀察函數(shù)的表達(dá)式的特征,利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法決定解題策略;利用零點(diǎn)存在定理證明含參的函數(shù)的零點(diǎn)的存在性是此類問題的一大難點(diǎn),如何賦值以確定函數(shù)值的符號(hào)是關(guān)鍵.

圖3

點(diǎn)評(píng)本題把方程的根的個(gè)數(shù)問題化歸為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)問題;數(shù)形結(jié)合是函數(shù)零點(diǎn)、方程的根、兩個(gè)函數(shù)的圖像交點(diǎn)問題的利器.

點(diǎn)評(píng)本題是極值點(diǎn)偏移問題,第一問作了提示,解題過程一般要先求出極值點(diǎn),通過構(gòu)造差函數(shù),并確定其單調(diào)性,再利用等量代換和逆用函數(shù)的單調(diào)性實(shí)現(xiàn)問題的求解;極值點(diǎn)偏移問題的本質(zhì)是函數(shù)的單調(diào)性,關(guān)鍵是構(gòu)造差函數(shù),利用化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.

例9設(shè)函數(shù)f(x)=ex?ax?2.

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若a=1,k為整數(shù),且當(dāng)x＞0時(shí),(x?k)f′(x)+x+1＞0,求k的最大值.

解析(1)f(x)的定義域?yàn)??∞,+∞),f′(x)=ex?a.若a≤ 0,則f′(x)＞0,所以f(x)在(?∞,+∞)上單調(diào)遞增;若a＞0,則當(dāng)x∈(?∞,lna)時(shí),f′(x)＜0,f(x)在(?∞,lna)上單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(lna,+∞)時(shí),f′(x)＞0,f(x)在(lna,+∞)上單調(diào)遞增.

(2)解法1由于a=1,所以(x?k)f′(x)+x+1=(x?k)(ex?1)+x+1,設(shè)g(x)=(x?k)(ex?1)+x+1,則g′(x)=(x?k+1)ex.

[1]若k≤1,則x＞0時(shí),g′(x)＞0,g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以g(x)＞g(0)=1＞0,即有(x?k)f′(x)+x+1＞0.

[2]若k＞1,則當(dāng)x∈(0,k?1)時(shí),g′(x)＜0,g(x)在(0,k?1)上單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(k?1,+∞)時(shí),g′(x)＞0,g(x)在(k?1,+∞)上單調(diào)遞增.所以g(x)在(0,+∞)上的最小值為g(k?1)=k?ek?1+1.令h(k)=k?ek?1+1,所以h′(k)=1?ek?1,當(dāng)k＞1 時(shí),h′(k)＜0,所以h(k)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,而h(2)=3?e＞0,h(3)=4?e2＜0,從而當(dāng)1＜k≤2時(shí),h(k)＞0,即g(k?1)＞0,從而當(dāng)x＞0時(shí),g(x)＞0,即(x?k)f′(x)+x+1＞0;當(dāng)k≥ 3時(shí),h(k)＜0,即g(k?1)＜0,從而當(dāng)x＞0時(shí),g(x)＜0,即(x?k)f′(x)+x+1＞0在(0,+∞)內(nèi)恒不成立;

綜上,整數(shù)k的最大值為2.

點(diǎn)評(píng)本題解法1是直接構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行分類討論解答的,是很多問題的一種通法,而解法2則利用分離參數(shù)思想,利用虛擬設(shè)根、結(jié)合零點(diǎn)存在定理進(jìn)行整體代換解答的,也是一樣常用的解題策略;分類討論與設(shè)而不求思想方法都是數(shù)學(xué)中的重要思想方法,要熟練掌握并靈活運(yùn)用.

點(diǎn)評(píng)對(duì)含量詞的導(dǎo)數(shù)問題,以下是常見的轉(zhuǎn)換策略.[1]設(shè)函數(shù)f(x)、g(x),對(duì)任意的x1∈[a,b],任意的x2∈[c,d],使得f(x1)≥g(x2)成立,則f(x)min≥g(x)max;[2]設(shè)函數(shù)f(x)、g(x),若存在x1∈[a,b],對(duì)任意的x2∈[c,d],使得f(x1)≥g(x2)成立,則f(x)max≥g(x)max;[3]設(shè)函數(shù)f(x)、g(x),對(duì)任意的x1∈[a,b],總存在x2∈[c,d],使得f(x1)≥g(x2)成立,則f(x)min≥g(x)min;[4]設(shè)函數(shù)f(x)、g(x),若存在x1∈[a,b],存在x2∈[c,d],使得f(x1)≥g(x2)成立,則f(x)max≥g(x)min;[5]設(shè)函數(shù)f(x)、g(x),若對(duì)任意的x1∈[a,b],總存在x2∈[c,d],使得f(x1)=g(x2)成立,若f(x)、g(x)的值域分別為A,B,則A?B.