廣東省深圳市龍華區(qū)教育科學(xué)研究院(518029) 殷木森

高考試題逐漸由“能力立意”轉(zhuǎn)為“素養(yǎng)立意”是大勢(shì)所趨,從近幾年的高考全國(guó)卷試題可以看出,命題者正在不斷地探索試題如何體現(xiàn)“素養(yǎng)立意”.而“直觀想象”是高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)中唯一新造名詞,《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版)》是這樣描述的:直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化,利用空間形式特別是圖形,理解和解決問題的素養(yǎng).筆者認(rèn)為,主要包含兩點(diǎn):一是要發(fā)展幾何直觀與空間想象能力,建立數(shù)與形的聯(lián)系;二是能通過分析與想象,思考和解決具體問題,在具體事物中感悟事物的本質(zhì).可見,“直觀想象”素養(yǎng)對(duì)考生的要求很高,能充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)試題在高考選拔中的特殊作用,命題者理應(yīng)會(huì)非常關(guān)注這一素養(yǎng).

通過研究近三年全國(guó)卷試題發(fā)現(xiàn),以立體幾何知識(shí)為載體的選填題,特別是選擇題第11、12題,填空題第16題,需要考生巧妙構(gòu)造空間幾何形式,充分體現(xiàn)“直觀想象”立意,考查創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力.以下是筆者的一些分析與思考,不當(dāng)之處,敬請(qǐng)批評(píng)指正.

一、借助正方體,巧設(shè)線面間位置關(guān)系

正方體由于各條棱長(zhǎng)度相等,且有三組棱分別平行,是三維空間中極為對(duì)稱的圖形.若再引入另一個(gè)截面,構(gòu)造棱與截面所角的角,截面與正方體其它線面所成的角,便能在不同水平考生的腦海中出現(xiàn)不同的空間幾何形式,區(qū)分的效果非常明顯.

例1(2018年全國(guó)I卷,理科第12題)已知正方體的棱長(zhǎng)為1,每條棱所在直線與平面α所成的角都相等,則α截此正方體所得截面面積的最大值為( )

分析此題是一道改編題.原題要求正方體十二條棱與某一截面所成角相等時(shí)求該角的三角函數(shù)值,而本題則改成求滿足條件的截面中,面積最大的一個(gè),反其道而行之.為此,分兩步進(jìn)行求解:

第一步:找出符合條件的其中一個(gè)截面.如圖1,在正方體ABCD?A1B1C1D1中,把十二條棱分成三組,即只需要同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱與截面所成的角相等即可, 如以A 頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱,容易找到截面A1BD,其面積為.這是截面面積最大的嗎?顯然不是.

圖1

圖2

第二步:找與截面A1BD平行的截面中面積最大的一個(gè).當(dāng)平行截面往A頂點(diǎn)靠近時(shí),面積顯然變小;所以平行截面只能往下移,變成一個(gè)六邊形,其面積逐漸增大,當(dāng)截面與各邊的中點(diǎn)相交時(shí),截面變成一個(gè)正六邊形,此時(shí)面積最大,如圖2,因?yàn)橛烧襟w的對(duì)稱性可知,當(dāng)平行截面再往下移時(shí),面積則又會(huì)逐漸減小至(△CD1B1的面積).所以最大值為,選A.

反思本題深刻反映了高考命題的方向“多考一點(diǎn)想,少考一點(diǎn)算”,在第二步中,若考生通過構(gòu)造函數(shù)求最大值,即先把六邊形的面積表達(dá)成函數(shù)關(guān)系式,再求函數(shù)的最大值,而不是通過分析思考的方法,則會(huì)“小題大做”,違背命題者的本意.

圖3

例2(2016年全國(guó)I卷文理科第11題)平面α過正方體ABCD?A1B1C1D1的頂點(diǎn)A,α//平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,則m,n所成角的正弦值為( )

分析此題是一道漂亮的原創(chuàng)題.考生自然會(huì)問:平面α究竟在哪?m,n所成角其實(shí)可以等價(jià)為哪個(gè)角?不同水平考生的理解肯定不一樣.為此,可以逐步進(jìn)行分析與解決:

最初想法:先過點(diǎn)A如何作出平面α.只能補(bǔ)一個(gè)相同的正方體,如圖3,過點(diǎn)A的平面AEF就是平面α,m=AF,由面面平行的性質(zhì)定理可得EF//n,所以∠AFE就是m,n所成的角,正弦值為

進(jìn)一步思考:還有沒有更簡(jiǎn)潔的解法?

我們會(huì)發(fā)現(xiàn),其實(shí)不補(bǔ)形也行,因?yàn)槠矫鍭1BD//平面AEF,而平面A1BD//平面CB1D1,平面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1,平面CB1D1∩平面C1CDD1=CD1,由面面平行的性質(zhì)定理可知∠CD1B1就是m,n所成的角,其正弦值為,選A.

反思本題的平面α按常規(guī)方法確實(shí)難找,“不識(shí)廬山真面目,只緣身在此山中”是此題的真實(shí)寫照.仔細(xì)一思考∠CD1B1就是m,n所成的角,因?yàn)棣?/平面CB1D1,只需由面面平行的性質(zhì)定理得出即可.但要分析思考出來,沒有相當(dāng)?shù)闹庇^想象,恐怕難以成行.

二、借助錐柱體,巧設(shè)動(dòng)態(tài)幾何體積

錐柱體內(nèi)接或內(nèi)切另一個(gè)幾何體,或是動(dòng)態(tài)的錐柱體,這樣構(gòu)成的空間幾何形式,由于其不定性,同樣是體現(xiàn)直觀想象的最佳載體.

例3(2016年全國(guó)III卷文科第11題)在封閉的直三棱柱ABC?A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,則V的最大值是()

分析此題是一道原創(chuàng)題.我們只需要弄清兩個(gè)問題:

1.這個(gè)直三棱柱是怎樣的?

由AB⊥BC,AB=6,BC=8得知底面△ABC是一個(gè)直角三角形,所以這個(gè)直三棱柱其實(shí)是長(zhǎng)方體的一半(圖略).

2.內(nèi)切球怎樣與直三棱柱的面相切?

最理想的狀況是球與底面、側(cè)面均相切.分兩種情況:一是當(dāng)球與兩底面相切,此時(shí)球的半徑為;二是當(dāng)球與三個(gè)側(cè)面相切,球的半徑為2.比較得知只能是第一種情況.選B.

反思本題雖說落腳點(diǎn)并不難,應(yīng)先迅速得出該直三棱柱其實(shí)是長(zhǎng)方體的一半,但若困域于空間形式的復(fù)雜性時(shí),考生將無從下手.故此,本題很好地反映了此類題型“空間想象”是起點(diǎn),而“分析解決”是落腳點(diǎn).

例4(2017年全國(guó)I卷理科第16題)如圖4,圓形紙片的圓心為O,半徑為5cm,該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D、E、F為圓O上的點(diǎn),△DBC,△ECA,△FAB,分別是以BC,CA,AB為底邊的等腰三角形,沿虛線剪開后,分別以BC,CA,AB為折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D、E、F重合,得到三棱錐.當(dāng)△ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí),所得三棱錐體積(單位:cm3)的最大值為____.

圖4

分析本題是一道漂亮的改編題.等邊三角形ABC的中心O就是圓O的圓心,△ABC的大小可以改變,極限的情況就是圓O是△ABC的外接圓,但此時(shí)折起并不能得到三棱錐.故可設(shè)△ABC的內(nèi)切圓的半徑為x,則三個(gè)等腰三角形底邊上的高為5?x,若能折起得到三棱錐,則5?x＞x,即.為此,要解決兩個(gè)問題:

1.三棱錐體積的函數(shù)表達(dá)式怎樣?

反思本題通過空間想象,得到一個(gè)動(dòng)態(tài)的正三棱錐,當(dāng)?shù)酌娣e增大時(shí),高必然減小,故“設(shè)△ABC的內(nèi)切圓的半徑為x”是關(guān)鍵一步,然后構(gòu)造函數(shù)借助導(dǎo)數(shù)求最值.若考生不能通過想象得出三棱錐各邊的關(guān)系,本題的解答亦會(huì)相當(dāng)艱辛.

三、借助旋轉(zhuǎn)體,巧設(shè)線線位置關(guān)系

雖然高中階段只要求學(xué)習(xí)簡(jiǎn)單的旋轉(zhuǎn)體,如圓柱、圓錐、球等,但是通過它們的外接或內(nèi)切幾何體,構(gòu)造動(dòng)態(tài)空間幾何形式,或者再外設(shè)線、面,使其與旋轉(zhuǎn)體的母線、高等構(gòu)成動(dòng)態(tài)的角、面,對(duì)考生的挑戰(zhàn)同樣很大.

圖5

例5(2017年全國(guó)III卷理科第16題)a,b為空間中兩條互相垂直的直線,等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a,b都垂直,斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn),有下列結(jié)論:

[1]當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí),AB與b成30°角;

[2]當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí),AB與b成60°角;

[3]直線AB與a所成角的最小值為45°;

[4]直線AB與a所成角的最小值為60°;其中正確的是____.(填寫所有正確結(jié)論的編號(hào))

分析本題是一道原創(chuàng)題.較之前面幾題,本題起點(diǎn)更高,即題目給出的空間幾何形式究竟是怎樣的?考生一時(shí)不能難以確定.此時(shí),我們只能一步一步來,先確定最關(guān)鍵的元素—圓錐,再思考其它元素,如兩條互相垂直的直線a,b究竟在哪更為合適.由于邊AC所在直線與a,b都垂直,所以不妨設(shè)a,b都在底面上,DE為底面圓C的直徑,連結(jié)BD、BE,設(shè)BD為a,BE為b,因?yàn)閍⊥b,如圖5.易知直線AB與a所成角的最小值為45°,選[3];設(shè)BC=x,則,當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí),,又因?yàn)镈E=2x,所以,即AB與b成60°角,選[2].

反思本題若能通過直觀想象得出圖5,則成功了一大半,若再能把[3]選出,則就能完全猜出答案是2[3]○,因?yàn)楫?dāng)直線AB與a所成角的最小值為45°,a,b在同一底面上,所以AB不可能與b成30°角,故[1]有誤,[2]正確.

以素養(yǎng)立意命制的題目,思維的含金量一定會(huì)更高一些,題目的入口也會(huì)更窄一些.其實(shí)本題的意思很簡(jiǎn)單:已知一圓錐的軸截面是等腰直角三角形,a,b是其底面上兩條相互垂直的兩條直線.當(dāng)母線AB與a成60°角時(shí),求AB與b所成的角.但如果這樣命題,就會(huì)失去很多意義,只能考查考生簡(jiǎn)單的數(shù)形轉(zhuǎn)換能力.

筆者相信,通過“巧設(shè)空間形式,突顯直觀想象”的試題在未來的高考中一定會(huì)有更重的份量,因?yàn)檫@是體現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)“可測(cè)”的一種重要方式.