廣東省華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 張佳淳

1 數(shù)學(xué)教育新興方式：數(shù)學(xué)實驗活動

1.1 數(shù)學(xué)實驗活動

數(shù)學(xué)不僅是寫與算,而是具有經(jīng)驗與演繹二重性的科學(xué).由于數(shù)學(xué)的高度抽象性,學(xué)生難以在現(xiàn)實中找到數(shù)學(xué)知識的原型,缺乏經(jīng)驗積累,更難要求他們能深入到對數(shù)學(xué)概念原理的本質(zhì)認(rèn)識.數(shù)學(xué)實驗活動讓學(xué)生通過動手實操、自主探究、合作交流學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),體驗“做中學(xué)”的樂趣.

參考波利亞對“數(shù)學(xué)實驗”的解釋,“數(shù)學(xué)實驗活動”是指：在一定的數(shù)學(xué)(學(xué)習(xí)、研究、發(fā)現(xiàn))目標(biāo)的指導(dǎo)下,讓學(xué)生借助一定的工具、儀器和技術(shù)手段,對具有一定數(shù)學(xué)意義的實物、模型、事物,以及數(shù)字、圖形等,進(jìn)行觀察、測試、度量、計算等數(shù)學(xué)化操作,經(jīng)歷“再發(fā)現(xiàn)”過程,以獲取感性認(rèn)識和數(shù)學(xué)信息．[1]

這種界定是從實驗對象、實驗條件、實驗手段、實驗?zāi)康牡茸髁嗣鞔_說明.參考曹一鳴先生提出的高中數(shù)學(xué)實驗教學(xué)模式,將其概括為五個環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)實驗情境-實驗與活動-歸納與猜想-思考與驗證-應(yīng)用與拓展.[2]

1.2 支持?jǐn)?shù)學(xué)實驗活動的判據(jù)

1.2.1 基于數(shù)學(xué)實驗活動在科學(xué)探究中的作用

高斯曾經(jīng)說過,他研究數(shù)學(xué)的方法是通過實驗.[3]實驗活動為科學(xué)探究提供了腳手架,學(xué)生難以像真正的數(shù)學(xué)家一樣,自主發(fā)現(xiàn)和經(jīng)歷科學(xué)探究的過程,而數(shù)學(xué)活動為科學(xué)探究創(chuàng)設(shè)了機(jī)會,學(xué)生在教師預(yù)先設(shè)計好的實驗情境和目標(biāo)下,循序漸進(jìn)地模仿數(shù)學(xué)家經(jīng)歷科學(xué)探究的一系列過程,在其中體驗失敗與成功.

1.2.2 基于教育學(xué)的說明

弗賴登塔爾認(rèn)為,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)核心是實現(xiàn)“再創(chuàng)造”,學(xué)生本人把要學(xué)的東西去發(fā)現(xiàn)或再創(chuàng)造出來,教師的任務(wù)是引導(dǎo)和幫助學(xué)生去進(jìn)行這種再創(chuàng)造,而不是把現(xiàn)成知識灌輸給學(xué)生.數(shù)學(xué)實驗中,學(xué)生是一系列工作的主體,教師只是提供了問題情境,剩下的經(jīng)學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn),學(xué)生沒有被約束在知識體系內(nèi),可以大膽地進(jìn)行實驗猜想,可以用自己知識體系和基礎(chǔ)技能去分析,在過程中由于不受限制,可以充分發(fā)揮創(chuàng)造力.

杜威提出“從做中學(xué)”的基本原則,兒童天生就有一種要做事和要工作的愿望,對活動具有強(qiáng)烈興趣.數(shù)學(xué)實驗活動能調(diào)動學(xué)生興趣,提供學(xué)生參與教學(xué)活動、展示自我的機(jī)會.在做中學(xué)能加深對新知的印象,通過實踐操作抽象出數(shù)學(xué)概念,從而掌握概念本質(zhì).

1.2.3 基于心理學(xué)的說明

建構(gòu)主義認(rèn)為,知識不是通過教師傳授得到,而是學(xué)習(xí)者在一定的情境下,借助其他人(包括教師和學(xué)習(xí)伙伴)的幫助和必要的學(xué)習(xí)資料,通過意義建構(gòu)的方式獲得.數(shù)學(xué)實驗中,教師創(chuàng)設(shè)問題情境,要求學(xué)生在數(shù)學(xué)實驗活動過程中主動參與觀察、討論、思考,自主構(gòu)建關(guān)于新知的知識體系.因此,在數(shù)學(xué)實驗教學(xué)中,教師運用發(fā)現(xiàn)法、探究法等教學(xué)方法,學(xué)生用數(shù)學(xué)的觀點形成數(shù)學(xué)表征,用數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行問題解決,在活動中進(jìn)行數(shù)學(xué)構(gòu)建.[3]

皮亞杰認(rèn)為,形成主體認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)是“動作”.作為認(rèn)識主體的兒童自身的思維結(jié)構(gòu),是在與客體相互作用的過程中逐步建立和完善,所以他的理論被稱作是一個動態(tài)的“建構(gòu)”理論.數(shù)學(xué)實驗中,學(xué)生基于自己的實驗操作,產(chǎn)生自己經(jīng)歷過的“動作”,發(fā)生順應(yīng),即改變已有圖式來理解新知識,用順應(yīng)后的圖示去同化操作,及利用已有圖式解釋新經(jīng)驗,從而進(jìn)行動態(tài)的認(rèn)知建構(gòu).

情境認(rèn)知強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)、知識和智慧的情境性,知識不能脫離活動情境而抽象地存在,學(xué)習(xí)應(yīng)與情境化的社會實踐活動結(jié)合起來.數(shù)學(xué)實驗活動著重情境認(rèn)知的過程,使學(xué)生在特定情境中引入學(xué)習(xí)主題,沖著特定目標(biāo)設(shè)計實驗活動,在特定環(huán)境中進(jìn)行有效率的學(xué)習(xí).

1.2.4 基于現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展

數(shù)學(xué)的現(xiàn)代發(fā)展,不僅表現(xiàn)在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的新領(lǐng)域和高層次中,還大量地表現(xiàn)為用數(shù)學(xué)的觀點、方法、工具,來研究原來數(shù)學(xué)領(lǐng)域和層次中的理論,和解決現(xiàn)實世界中復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題.[4]數(shù)學(xué)實驗活動的出發(fā)點正是讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的觀點發(fā)現(xiàn)、思考、解決實際問題,在實際情境中提煉出問題的本質(zhì),能在誤差允許范圍內(nèi)得到符合實際的結(jié)果,并嘗試將結(jié)論進(jìn)行拓展延伸.

1.3 數(shù)學(xué)實驗活動的基本特征

在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2017年,簡稱“新課標(biāo)”)中也體現(xiàn)了對活動經(jīng)驗的重視.課程目標(biāo)中提出的“四基”就包含基本活動經(jīng)驗.數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)也包含了對數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗及情境認(rèn)知的要求：

結(jié)合新課標(biāo)中的種種描述,歸納數(shù)學(xué)實驗活動的基本特征：

(1)活動過程的情境性和探究性

將學(xué)生置于他熟悉的生活情境中,會感到親切而樂于接受,打破其對于數(shù)學(xué)“難”的心理防線.情境的創(chuàng)設(shè)忌生搬硬套,需大部分學(xué)生可能親身經(jīng)歷過,否則弄巧成拙.例如,關(guān)于相交弦定理的教學(xué),有些教師利用環(huán)城公路的交叉設(shè)計使得每段公路被交點所截后的兩部分乘積相等創(chuàng)設(shè)情境,不僅不貼近學(xué)生實際生活,還顯得不真實.

數(shù)學(xué)實驗活動的教學(xué)常常是教師通過問題鏈的方式,引導(dǎo)學(xué)生獨立完成或小組合作,問題形式多樣,期間可以包含多個開放性問題,具有很強(qiáng)的探究性.

(2)學(xué)生主體的參與性和創(chuàng)新性

不同于傳統(tǒng)教學(xué),在活動過程中學(xué)生充分發(fā)揮其主體作用.學(xué)生的參與性決定了數(shù)學(xué)實驗活動課的效率,積極配合的小組會自主地按照要求進(jìn)行探究,而學(xué)生的創(chuàng)新性決定了數(shù)學(xué)實驗課的深度,當(dāng)學(xué)生程度達(dá)到較高的水平,才能有更多意外的收獲并進(jìn)行進(jìn)一步研究.

(3)實驗結(jié)論的抽象性和應(yīng)用性

區(qū)別于物化生的實驗,更重視實驗真實結(jié)果,一般會得到物質(zhì)成果,而數(shù)學(xué)實驗注重從數(shù)學(xué)活動中抽象出數(shù)學(xué)模型,更注重在實驗過程中涉及的數(shù)學(xué)思想方法,將其上升為可以“以一敵百”的數(shù)學(xué)思維.

每一個數(shù)學(xué)活動結(jié)束后,學(xué)生利用積累的數(shù)學(xué)思想以及數(shù)學(xué)模型,可以應(yīng)用到更多地方,用于解決實際問題,所以數(shù)學(xué)實驗活動的結(jié)論具有較強(qiáng)的應(yīng)用性.

2 二面角的平面角教學(xué)設(shè)計

2.1 選題背景

“二面角及其平面角”選自高中數(shù)學(xué)人教A版必修二2.3.2節(jié),是立體幾何的三類空間角中最重要、最難理解的概念.二面角的平面角概念的形成過程比較抽象,學(xué)生沒有這方面的思維知識.

在新課標(biāo)關(guān)于立體幾何初步的教學(xué)提示中,有以下描述：幫助學(xué)生認(rèn)識空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,進(jìn)一步掌握在平面上表示空間圖形的方法和技能;教師可以指導(dǎo)和幫助學(xué)生選擇一些立體幾何問題作為數(shù)學(xué)探究活動的課題.

2.2 原教學(xué)過程

教材中直接給二面角的平面角的概念,指出二面角的大小可以用它的平面角度量,但沒解釋為什么二面角的平面角是這樣刻畫,也沒解釋為什么就能用二面角的平面角度量二面角大小.所以教師在教學(xué)過程中,沒解釋二面角的平面角形成過程的來龍去脈,學(xué)生只需記住二面角平面角的刻畫方式以解決習(xí)題中的問題.

這導(dǎo)致學(xué)生對二面角、二面角的平面角兩個概念模糊不清,2011年上海松江區(qū)特級教師阮曉明老師等對松江區(qū)內(nèi)的全體高中數(shù)學(xué)教師及四所高中的部分高三學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查.對教師的調(diào)查結(jié)果顯示,在高中數(shù)學(xué)十大難點概念中,二面角排名第七,理由是如下：(1)缺乏空間想象力,做不出二面角;(2)將“兩個半平面”誤讀為“兩個平面”;(3)不理解二面角的大小為什么要用其平面角的大小來度量;(4)缺乏作二面角的方法(教學(xué)課時刪減有關(guān)).對學(xué)生的調(diào)查結(jié)果顯示,二面角在十大難點概念的學(xué)習(xí)中排名第一,理由是空間想象能力差、難以直觀地看出;不會做二面角的平面角、二面角找不到;分不清何時為銳角和鈍角.[8]

2.3 基于數(shù)學(xué)實驗活動的新教學(xué)設(shè)計

2.3.1 實驗工具

鏡子、手電筒、筆記本、筆、卡紙;

2.3.2 實驗過程及設(shè)計意圖

根據(jù)曹一鳴先生的五個環(huán)節(jié)設(shè)計如下.

(1)創(chuàng)設(shè)實驗情境(3min)

利用鏡子,感受二面角“大小”變化.思考：二面角也有大小的連續(xù)變化,如何度量其大小呢?

圖1

設(shè)計意圖通過創(chuàng)設(shè)情境引入二面角的度量.

(2)實驗與活動(17min)

[1]聯(lián)系之前所學(xué)兩種空間角：異面直線所成角和線面角的度量方式.異面直線通過平移而線面角通過投影得到平面角.那二面角能否通過某種方式轉(zhuǎn)化得到平面角呢?

設(shè)計意圖 聯(lián)系其他空間角的度量,想到將二面角轉(zhuǎn)化為平面角是度量的關(guān)鍵,滲透轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.

[2]用卡紙制作二面角模型,操作你手中的二面角模型,從不同角度觀察模型,思考從什么角度觀察時眼睛可以看到一個“平面角”?

圖2

設(shè)計意圖學(xué)生通過實際眼睛看到平面角,感受數(shù)學(xué)活動的魅力,提升學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣.而當(dāng)眼睛與棱重合時才能看到平面角,這需要教師試情況進(jìn)行提示.

[3]我們在1.2.1“中心投影與平行投影”已學(xué)過視覺成像屬于中心投影,如何把眼睛看到的這個“平面角”顯現(xiàn)出來呢?需要什么工具?什么可以代替視線形成中心投影?

設(shè)計意圖根據(jù)原理思考,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng),學(xué)會用數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)解決問題,積累數(shù)學(xué)實踐的經(jīng)驗.而投影操作是學(xué)生在之前三視圖、線面角測量時都接觸過,利用最近發(fā)展區(qū)理論,學(xué)生將已學(xué)過的經(jīng)驗用于新的實踐.

[4]利用手電筒、二面角模型和成像的屏幕(投影面),找到三個工具合適的相對位置,使得到的投影和眼睛看到的平面角一致：

投影面與地面___;二面角模型的棱與投影面___;手電筒光線與投影面____;手電筒光線與二面角模型的棱____.

思考：為什么當(dāng)三種工具位置滿足以上條件時,二面角的投影就是需要轉(zhuǎn)化出的平面角.

圖3

設(shè)計意圖在實驗中觀察分析,感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實間的聯(lián)系.學(xué)生需要得到手電筒光線與投影面垂直,而二面角模型的棱與投影面垂直,所以線段的正投影是點,而半平面的投影則是線,因此能投影得到平面角.

[5]但每次都通過投影度量二面角難免麻煩,想象投影面可以移動直至切到二面角模型上,這時就將平面角放到了模型上,即平面角能存在于二面角模型上.那么平面角頂點和兩邊如何確定呢?

思考：角的頂點落在什么位置?角的射線落在什么位置?角的兩邊與棱有什么關(guān)系?角的頂點是固定的嗎?

圖4

設(shè)計意圖從操作情境中進(jìn)行抽象概括,得到背后的數(shù)學(xué)關(guān)系.這里學(xué)生需概括得到角的頂點落在棱上,兩射線分別落在兩個半平面上且垂直于棱.角的頂點不是固定的.

(3)歸納與猜想(2min)

二面角的大小可用以下角刻畫：在二面角α-l-β的棱上____一點O,以點O為垂足,在半平面α和β內(nèi)分別作___于棱l的射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做___.其大小范圍是____.

設(shè)計意圖培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng),使學(xué)生從實驗活動中抽象出數(shù)學(xué)概念,并用數(shù)學(xué)語言予以表征,由此獲得概念完成新知構(gòu)建.

(4)思考與驗證(10min)

[1]將翻開的筆記本兩個面看作兩個半平面,兩支筆看作角的兩邊,找到頂點在棱上,兩邊在兩個面內(nèi)的角,滿足這個條件的角大小是否唯一?

圖5

通過實驗發(fā)現(xiàn),滿足條件的角存在且有無窮多個,但大小____.因此角不能僅滿足“頂點在棱上,兩邊在兩個面內(nèi)”,否則二面角的大小將無法說清.

[2]在無窮多個角的情形中,作圖方便明確的是如圖6(a)的情形,即___,和使兩射線與棱夾角相等的情形,如圖6(b)所示.

圖6 (a)

圖6 (b)

[3]用筆和尺子在二面角模型上作圖,過棱上一點O作兩條射線OB和OA,都與棱l成某一個固定的θ角(0°＜θ＜90°)(OB和OA都向同一個方向傾斜).

用皮筋將兩支筆一端固定住,將固定住的一端放到O上,將兩支筆分別放到OA、OB上,位置確定后,將兩支筆抽出,和二面角模型的張開大小進(jìn)行比較,發(fā)現(xiàn)兩支筆所成角比二面角模型的角度____.

圖7

設(shè)計意圖驗證二面角的平面角的定義合理性,如果不做垂直于棱的射線,也能得到平面角,但角的大小隨射線位置的變化會發(fā)生變化,這樣得到的角大小不具有唯一性,而二面角的大小是唯一的,垂直或當(dāng)兩條射線與棱夾角都成θ時得到的角度都具有唯一性.但成θ時角度不符合二面角大小,不能用來度量.驗證垂直的必須.

(5)應(yīng)用與拓展(8min)

通過做題使學(xué)生用定義法找出二面角的平面角,加深對概念的理解.再拋出問題：能否想到二面角平角面的其他定義方式?小組查閱資料進(jìn)行學(xué)習(xí).

3 關(guān)于數(shù)學(xué)實驗活動的思考

數(shù)學(xué)實驗活動融入教學(xué)仍在嘗試階段,這種教學(xué)形式的開展需要根據(jù)學(xué)生層次及能力進(jìn)行調(diào)整,教師應(yīng)積極嘗試,給學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)的機(jī)會,讓他們走過數(shù)學(xué)家經(jīng)歷的路跌過的坑,才能真正懂得數(shù)學(xué)怎么來.另一方面,活動的設(shè)計應(yīng)淡化形式注重內(nèi)容本身,形式只是載體,一堂熱熱鬧鬧的課不意味著好課,讓學(xué)生更好地認(rèn)識教學(xué)內(nèi)容的實質(zhì)才是活動設(shè)計的終點.

最后,感謝華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院姚靜老師對設(shè)計和論文寫作的指導(dǎo).