江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校(215021) 楊亞楠

真題再現(xiàn)

圖1

例(2017年蘇州市中考數(shù)學(xué)第18題)如圖1,在矩形ABCD中,將∠ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度后,BC的對(duì)應(yīng)邊B′C′交CD邊于點(diǎn)G．連接BB′、CC′,若AD=7,CG=4,AB′=B′G,則=___(保留根號(hào))．

數(shù)學(xué)眼光

1.問(wèn)題

本題以矩形為載體考察旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線的比值.

2.分析

先連接AC,AG,AC′,構(gòu)造直角三角形以及相似三角形,根據(jù)△ABB′～△ACC′,可得到,設(shè)AB=AB′=x,則,DG=x-4,Rt△ADG中,根據(jù)勾股定理可得方程,求得AB的長(zhǎng)以及AC的長(zhǎng),即可得到所求的比值．如果想解決本道題,我們需要有哪些知識(shí)儲(chǔ)備呢?

圖2

(1)矩形的相關(guān)概念與性質(zhì)

矩形概念：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫作矩形.

矩形性質(zhì)：矩形的四個(gè)角都是直角等.

(2)旋轉(zhuǎn)的相關(guān)概念與性質(zhì)

圖3

旋轉(zhuǎn)概念：在平面內(nèi),將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度,這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做圖形的旋轉(zhuǎn).這個(gè)定點(diǎn)叫旋轉(zhuǎn)中心.旋轉(zhuǎn)的角度稱為旋轉(zhuǎn)角.(包括旋轉(zhuǎn)方向)

旋轉(zhuǎn)性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等;對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角彼此相等.

(3)相似的相關(guān)概念與性質(zhì)相似概念：三角分別相等,三邊分別成比例的兩個(gè)三角形相似.相似性質(zhì)：相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例.

圖4

因此,我們可以根據(jù)所求旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線的比值轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)相似三角形的相似比.

3.解答

圖5

解如圖5,連接AC,AG,AC′,由旋轉(zhuǎn)可得,AB=AB′,AC=AC′,∠BAB′=∠CAC′,所以所以△ABB′～△ACC′,所以因 為AB′=B′G,∠AB′G=∠ABC=90°, 所 以△AB′G是等腰直角三角形,所以設(shè)AB=AB′=x,則AG= 2x,DG=x-4,因?yàn)镽t△ADG中,AD2+DG2=AG2,所以72+(x-4)2=x2,解得x1=5,x2=-13(舍去),所以AB=5,所以Rt△ABC中,所以,故答案為：．

4.旋轉(zhuǎn)基本模型

識(shí)別基本模型,巧解幾何難題

圖6

問(wèn)題1如圖6,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P是△ABC內(nèi)一點(diǎn),且PA=3,PB=1,PC=2,求∠BPC的度數(shù).

問(wèn)題3如圖8,正方形ABCD中,E,F分別在AD,DC上,且∠EBF=45°,BM⊥EF于M,求證：BA=BM.

圖8

分析題目已知條件中給出了三條線段的長(zhǎng)度和一個(gè)直角,但已知的三條線段不在同一三角形中,故可考慮通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換移至一個(gè)三角形中,由于△ACB是等腰直角三角形,宜以直角頂點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心.

解作MC⊥CP,使MC=CP,連接PM,BM.因?yàn)椤螦CB=90°,∠PCM=90°,所以∠1=∠2.因?yàn)锳C=BC,所以△CAP～=△CBM(SAS),所以MB=AP=3.因?yàn)镻C=MC,∠PCM=90°,所以∠MPC=45°.由勾股定理在

分析本題與例2相同之處在于直角三角形家?jiàn)A有45°角,可利用相同的方法,將∠ABE和∠CBF“化散為整”來(lái)構(gòu)造全等三角形.

證明延長(zhǎng)FC到N,使CN=AE,連結(jié)BN.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形所以AB=AC,∠BAC=90°,因?yàn)椤螮BF=45°,所以∠ABE+∠CBF=45°. 由△ABE～=△CBN,知BE=BN,∠CBN=∠ABE,所以∠CBN+∠CBF=45°,即∠EBF=∠NBF. 又BE=BN,BF=BF,所以△EBF～=△NBF(SAS),所以BM=BC,所以BM=BA.△MPB中,,所以△MPB是直角三角形,所以∠BPC=∠CPM+∠MPB=45°+90°=135°.

圖7

問(wèn)題2如圖7,直角三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,∠EAF=45°,求證：EF2=BE2+CF2.

5.拓展延伸

如圖9在四邊形ABCD中,BC=CD,∠BCD=90,AB=4,AD=3,則對(duì)角線,AC的最大值為_(kāi)__cm.

圖9

分析蘇州工業(yè)園區(qū)的初二同學(xué)是不是看到本題很熟悉,沒(méi)錯(cuò),這就是本學(xué)期期末調(diào)研第18題.如果能夠想到構(gòu)造旋轉(zhuǎn)模型,問(wèn)題就解決了!

解作AC′⊥AC,且使A′C=AC,連接A′B,A′A.易證所以BA′=AD=3. 所以因?yàn)锳A′≤AB+A′B=3+4=7,所以AA′最大為7,所以AC最大為

分析本題所要求的結(jié)論無(wú)法直接用勾股定理,可通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換將BE,CF轉(zhuǎn)移到同一個(gè)直角三角形中,由于△BAC是等腰直角三角形,不妨以A為旋轉(zhuǎn)中心,將∠BAE和∠CAF合在一起,取零為整.

證明過(guò)A作AP⊥AE交BC的垂線CP于P,連結(jié)PF.因?yàn)椤螮AP=90°,∠EAF=45°,所以∠PAF=45°. 因?yàn)椤螧AC=90°,所以∠BAE=∠PAC. 因?yàn)锳B=AC,所以∠B=∠ACB=∠ACP=45°,所以△ABE～=△ACP(ASA),所以PC=AE,AP=AE,所以△AEF～=△APF(SAS),所以EF=PF,故在 Rt△PCF中,PF2=CF2+PC2,即EF2=CF2+AE2.

6、小結(jié)

旋轉(zhuǎn)法是在圖形具有公共端點(diǎn)的相等的線段特征時(shí),可以把圖形的某部分繞相等的線段的公共端點(diǎn),旋轉(zhuǎn)另一位置的引輔助線的方法,主要用途是把分散的元素通過(guò)旋轉(zhuǎn)集中起來(lái),從而為證題創(chuàng)造必要的條件.旋轉(zhuǎn)方法常用于等腰三角形、等邊三角形及正方形等圖形中.