廣東省廣州市增城區(qū)石灘中學(511330) 陳明雙

思想是客觀存在反映在人的意識中經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結果,它是從大量的思維活動中獲得的產(chǎn)物.同樣地,數(shù)學思想是使從教學內(nèi)容中提煉出來的數(shù)學知識的精華,是將知識轉化為能力的橋梁.

將事物進行分類,然后對劃分的每一類分別進行研究和求解的方法叫做分類討論的方法.分類討論的思想方法是中學數(shù)學的基本方法之一,具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性,能訓練人的思維條理性和概括性.通過正確的分類,可以使復雜的問題得到清晰、完整、嚴謹?shù)慕獯?下面就分類討論思想在初中數(shù)學解題中的應用案例進行一些總結.

一、條件型

在解決某種數(shù)學問題時,問題所呈現(xiàn)的條件是分類給出的,所涉及的概念是分類定義的.例如,絕對值的定義是：運用的數(shù)學定理、公式、或運算性質(zhì)、法則是分類給出的.例如：對數(shù)函數(shù)y=ax2+bx+c的開口方向是分a＞0和a＜0兩種情況給出的.因此,在解決這類問題時,必然要引起討論.

例1已知|x|=3,(y+1)2=16,求x+y的值.

分析本題考查的學生對絕對值的定義掌握程度的考查,由于絕對值的定義是分類給出的,因此,x有兩個值.一元二次方程(y+1)2=16,有兩個不相等的實數(shù)根,因此,y有兩個值.所以求x+y的值就要分情況進行討論.

解因為|x|=3,所以x=±3.因為(y+1)2=16所以y=3或y=-5當x=3,y=3時,x+y=6.當x=3,y=-5時,x+y=-2.當x=-3,y=3時,x+y=0.當x=-3,y=-5時,x+y=-8.綜上所述,x+y的值為6,-2,0,-8.

說明因此,在解決此類數(shù)學題時,一定要對它的定義比較熟悉,這樣,在解題的過程中才不會遺漏某種情況.

例2函數(shù)在同一直角坐標系中的大致圖象可能是( )

分析本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的圖象的相關知識,正確解決該題的關鍵是根據(jù)a的符號確定它的圖象的位置,分a＞0和a＜0兩種情況分類討論就可以確定正確的答案.

解當a＞0時,函數(shù)的圖象位于第一、三象限,y=-ax2+a的開口向下,與y軸相交于正半軸,沒有符合的選項.當a＜0時,函數(shù)的圖象位于第二、四象限,y=-ax2+a的開口向上,與y軸相交于負半軸,D選項符合.故選D．

說明反比例函數(shù)的圖象所處的位置是由比例系數(shù)確定的,二次函數(shù)的開口方向是由二次項系數(shù)確定的,對稱軸以及與y軸的交點坐標是由一次項系數(shù)和常數(shù)項決定的.因此,這類型的數(shù)學問題在給出定義時,本身已經(jīng)需要分類討論,解決這種類型的數(shù)學問題時,我們要牢記分類的初衷.

二、含參型

參數(shù)和變量廣泛地在數(shù)學各類問題中出現(xiàn),含參問題也是比較復雜的問題,是近幾年中、高考重點考查的熱點問題之一.

以問題的條件和結構為標準,含參數(shù)問題一般可分為兩種類型.一種是根據(jù)參數(shù)在規(guī)定的取值范圍內(nèi)取不同的值,去探求命題可能出現(xiàn)的結果.另一種是先給出命題的結論去探求參數(shù)的取值范圍.在含參數(shù)或變量的數(shù)學問題中,分類討論思想的思想方法是解決這種問題的最佳方法.利用分類討論思想的思想方法解決數(shù)學題目,要做到分類不重不漏,條理清晰,思維嚴密.例如,m為實數(shù),比較2m和3m的大小關系.比較2m和3m的大小,首先要參數(shù)對m的符號進行分類討論.

例3已知關于x的方程(m-1)x2+2mx+m-7=0,判斷該方程的跟得情況,在有實數(shù)根的情況下,求出根的個數(shù)與m的值的關系.

分析本題是一道比較典型的分類討論數(shù)學題,其中含有參數(shù)m,它的取值會對該方程的求解造成影響,學生在解決該問題時,對取值要有明確的分類.

解當m-1=0,即m=1時,方程(m-1)x2+2mx+m-7=0為一元一次方程,所以2x-6=0,所以x=3.當m-1/=0,即m/=1時,方程(m-1)x2+2mx+m-7=0為一元二次方程,[1]Δ＞0時,即解得,所以.[2]Δ=0時,時,所以.[3]Δ＜0時,時,方程沒有實數(shù)根.

說明本題是含參數(shù)的題目,題目的解是因參數(shù)m的取值改變而改變.因此,要解決本題,主要是準確地找出題目中參數(shù)m的分類情況,再根據(jù)跟得判別式的值分三種情況考慮,找到解題的突破口,從而找到分類的標準.

三、不確定因素型

在解決某些幾何題的時候,題目沒有給出圖形,由于圖形的位置關系不確定,從而引起討論.對于此類題目,我們要根據(jù)題設條件,根據(jù)圖形的某一性質(zhì),對各種情形進行分類討論,把有可能出現(xiàn)的圖形都作出來,從而找到解題的突破口.

圖1

例4如圖1所示,在平面直角坐標系中,直線AB與x軸、y軸分別相交于兩點,點C為線段AB上任意一動點,過點C作CD⊥x軸于點D.

(1)求直線AB的解析式;

(2)若梯形OBCD的面積為,求點C的坐標;

(3)在第一象限內(nèi)是否存在點P,使得以P,O,B為頂點的三角形與△AOB相似.若存在,請求出所有符合條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由.

分析本題目由于P點的位置不確定,出現(xiàn)多種情況,因此必須對其進行分類討論.而且其分類情況比較復雜,有不同層次上的分類.

解(1)易求AB得的解析式為：

(2)利用梯形面積列方程容易求得C點坐標為,如圖1所示.

(3)由于△AOB為直角三角形,且∠BAO=30°,所以.要使△POB與△AOB相似,需考慮△POB的各個角的取值情況：

[1]當∠OBP=90°時,則點P在過B點且垂直于y軸的直線上.如圖2,又可以分兩種情形：若△BOP1～△OBA,則∠BP1O=∠OAB=30°,BP1=3,所以;若,則∠P2OB=∠BAO=30°,BP2=1,所以

[2]當∠OPB=90°時,如圖3,有兩種情形：若△OP3B～△AOB,則點P3在直線AB上,可求得P3的坐標為;若△BPO～△AOB,則點P在△OBA44內(nèi)部,可求得P4的坐標為

[3]當∠BOP=90°時,點P在x軸上,不符合題意.

圖2

圖3

例5已知⊙O的半徑為5,弦AB//CD,求AB與CD間的距離.

分析解決這個問題時,大部分學生只能畫出一種情況：AB和CD兩條平行線在圓心O的兩側,這種情況我們可以給它命一個有助于學生理解題目的的名字“遠距離”,這樣一來學生以此類推可以想到“近距離”這種情況,AB和CD兩條平行線在圓心的同側.

圖4

圖5

解[1]當AB和CD在O的同側時,如圖4,過點O作OE⊥AB于E,交CD于F,連接OA,OC,因為AB//CD,所以OF⊥CD,所以.在 Rt△OAE中,由勾股定理得,同理,OF=3,所以EF=4-3=1.[2]當AB和CD在O的兩側時,如圖5,過點O作OE⊥AB于E,延長EO交CD于F,連接OA,OC,因為AB//CD,所以OF⊥CD,所以在Rt△OAE中,由勾股定理得,同理,OF=3,所以EF=4+3=7.綜上所述,AB與CD間的距離為1或7.

說明圖形的位置關系不確定,導致解題時必須分類討論.在第一層分類同時又由于參數(shù)之間的大小關系不確定導致第二層分類的發(fā)生.因此,運用分類討論思想解決數(shù)學問題,能更好的培訓學生的數(shù)學思維,提高學生答題的嚴謹度.

運用分類討論的思想方法解決數(shù)學題目,必須從整體上把握題目,分清題目的類型,注意題目中隱含分類的條件,確定分類的標準.因此,要熟練正確的運用分類討論的思想方法解決數(shù)學題目,不僅需要掌握大量的數(shù)學知識點,還需要長期地、嚴謹?shù)刈鲱}訓練,總結和歸納.

總之,分類討論的思想方法是數(shù)學解題的重要思想方法,分類覆蓋的知識點較多,具有一定的分類思想和技巧,有利于對學生數(shù)學能力的考查.其次,分類討論思想具有訓練人的思維條理性和概括性的功能,能培養(yǎng)學生規(guī)范、合理、嚴謹?shù)膶W習品質(zhì).因此,在數(shù)學教學中,必須逐步培養(yǎng)學生分類討論思想去解決數(shù)學題.從而提高他們的分析數(shù)學問題和解決數(shù)學問題的能力.