四川省內(nèi)江市第二職業(yè)中學(xué)(641005) 張建

在中學(xué)階段,對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題的討論,有兩種方法：一種是定性討論,另一種是定量討論.無(wú)論那一種,數(shù)學(xué)圖像對(duì)解決問(wèn)題,都有很大的作用.特別是函數(shù)的問(wèn)題,通過(guò)題目的條件,做出變量與變量之間存在的圖像,可以把復(fù)雜的問(wèn)題,化為容易的問(wèn)題;繁瑣的問(wèn)題,化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題,最后讓我們更容易,更快速把問(wèn)題解決.

例1在直角三角形ABC中,已知∠C=90°,∠A=40°,BC=3,則AC=()

A.3sin40°B.3sin50°C.3tan40°D.3tan50°

分析該題的難度不高,三角函數(shù)類型的問(wèn)題首先應(yīng)該選擇數(shù)形結(jié)合,所以根據(jù)題意畫(huà)出簡(jiǎn)圖,在平時(shí)教學(xué)過(guò)程中(不管什么版本),老師是根據(jù)圖像得到的三角函數(shù)的定義,所以正確選擇好對(duì)角,對(duì)邊是成功的前提條件.應(yīng)選(D).

練習(xí) 1.在△ABC中,∠B=30°,AB=12,AC=6,則BC=____.

(考察特殊角的三角函數(shù)值,能構(gòu)成合適圖形是解題關(guān)鍵)

練習(xí)2.點(diǎn)A(t,3)在第一象限,OA與x軸所夾的銳角為α,則t的值是____.

(和高中銜接,在直角坐標(biāo)系中探討,正確利用點(diǎn)坐標(biāo)構(gòu)圖)

學(xué)生在該部分題的處理上很可能出現(xiàn)的問(wèn)題就是不夠直接的畫(huà)圖,探究問(wèn)題出現(xiàn)的過(guò)程也是學(xué)生自查自糾的過(guò)程.

例2如圖,關(guān)于x的函數(shù)y=kx-k和它們?cè)谕蛔鴺?biāo)系內(nèi)的圖象大致是( )

分析本題難度中等,有個(gè)待定的系數(shù)k,所以需要定義k＞0或者k＜0兩種情況,這也是學(xué)生考慮時(shí)的難點(diǎn)之一,另一點(diǎn)我個(gè)人認(rèn)為就是圖形的形狀,位置.由于是選擇題,對(duì)圖像的要求不是那么高,也可以設(shè)定k的值,比如1或者-1代入后再進(jìn)行觀察,總之是識(shí)圖.至于k所處位置的名稱和幾何意義可以視學(xué)生的具體情況考慮是否告知.本題選擇答案(B)

圖1

練習(xí)1.如圖1,一次函數(shù)y1=與反比例函數(shù)的圖象交于A(1,4)、B(4,1)兩點(diǎn),若使y1＞y2,則x的取值范圍是____.

(不等式與函數(shù)圖像的關(guān)系)

圖2

練習(xí)2.二次函數(shù)y=ax2+bx+的圖象如圖2所示,則函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)的大致圖象是( )

(本題考察系數(shù)與函數(shù)圖像的關(guān)系)

圖3

(1)求這兩個(gè)函數(shù)解析式;

(2)將一次函數(shù)y=ax+b的圖象沿y軸向下平移m個(gè)單位,使平移后的圖象與反比例函數(shù)的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn),求m的值．

(本題是待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及圖像交點(diǎn))

圖4

練習(xí)4.(2017年內(nèi)江中考數(shù)學(xué)試題 21)．已知A(-4,2)、B(n,-4)兩點(diǎn)是一次函數(shù)y=kx+b和反比例函數(shù)圖象的兩個(gè)交點(diǎn)．

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式;

(2)求△AOB的面積;

(本題是兩種函數(shù)結(jié)合題型的經(jīng)典)

函數(shù)和圖像的結(jié)合就更為緊密,特別是在初中階段所學(xué)習(xí)到的一次函數(shù)和反比例函數(shù),不管單獨(dú)出現(xiàn),還是混合再現(xiàn),都是與圖像不可分離的結(jié)合在一起.培養(yǎng)學(xué)生看圖的能力,也就是同時(shí)在培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題,解決問(wèn)題,總結(jié)規(guī)律的一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn),系統(tǒng)的過(guò)程.

圖5

例3(3分)(2015·內(nèi)江)如圖5,正方形ABCD的面積為12,△ABE是等邊三角形,點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi),在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P,使PD+PE最小,則這個(gè)最小值為( )

分析本題較難,將計(jì)算與圖形的變換相結(jié)合,發(fā)現(xiàn)一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)B使它到P的距離和D到P的距離相等,所以BP+PE=DP+PE,要讓它們之和最小,P為動(dòng)點(diǎn),兩點(diǎn)之間線段最短,因此,當(dāng)BP+PE=BE,即P在BE和AC的交點(diǎn)時(shí),PD+PE最小.故選擇答案(B)

圖6

練習(xí)1．(5分)(2015·內(nèi)江)如圖6,在四邊形ABCD中,AD//BC,∠C=90°,E為CD上一點(diǎn),分別以EA,EB為折痕將兩個(gè)角(∠D,∠C)向內(nèi)折疊,點(diǎn)C,D恰好落在AB邊的點(diǎn)F處．若AD=2,BC=3,則EF的長(zhǎng)為_(kāi)___．

(本題考察了圖形的變化,可以用輔助線,也可以用射影定理)學(xué)生在做該部分題型時(shí),對(duì)圖形變換的理解是感到困難的地方,變換前后的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵點(diǎn).用圖所給的信息當(dāng)然是非常重要的環(huán)節(jié),這也給了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)有了很好的一個(gè)切入點(diǎn).

例4矩形ABCD中,AB=4,BC=3,點(diǎn)P在AB上.若將△DAP沿DP折疊,使點(diǎn)A落在矩形對(duì)角線上的A′處,則AP的長(zhǎng)為_(kāi)__.

分析雖然A落在對(duì)角線上,顯然不能在對(duì)角線的交點(diǎn)處,但是究竟是在對(duì)角線AC上還是BD上值得商榷,所以應(yīng)該首先考慮分類.當(dāng)A落在對(duì)角線AC上時(shí),如圖7,由題意可知,△DAP～△ABC,故.當(dāng)A落在對(duì)角線BD上時(shí),如圖8,(1)由題意可知,,故.(2)由△PBA′是 Rt△,所以PA′2+BA′2=PB2,故

圖7

圖8

該題屬于圖形的應(yīng)用,在題目沒(méi)有給出圖形時(shí)需要構(gòu)圖.

畫(huà)圖要準(zhǔn)確簡(jiǎn)明.所謂準(zhǔn)確就是準(zhǔn)確地表示出原題的已知和所求所謂簡(jiǎn)明就是簡(jiǎn)單明了便于觀察思考.畫(huà)圖的過(guò)程正是分析題意理解題意的過(guò)程也正是探索解題方法的過(guò)程.

圖形既能舍棄問(wèn)題的具體情節(jié)又能形象地揭示條件與條件、條件與問(wèn)題之間的關(guān)系把數(shù)轉(zhuǎn)化為形明確顯示出已知與未知的內(nèi)在聯(lián)系激活學(xué)生的解題思路.圖形的運(yùn)用、數(shù)與形的結(jié)合能較好地激發(fā)學(xué)生的再造性想象不僅發(fā)展了學(xué)生的形象思維而且實(shí)現(xiàn)了形象思維與抽象思維的互補(bǔ).要讓學(xué)生會(huì)畫(huà)圖不是一朝一夕能夠解決的問(wèn)題利用幾節(jié)課或者專門(mén)訓(xùn)練學(xué)生畫(huà)線段圖是不可取的而且也肯定是不行的.所以我們?cè)诮虒W(xué)中要盡量多的“滲透”畫(huà)圖一有機(jī)會(huì)就畫(huà)一碰到學(xué)生難以解決的問(wèn)題就畫(huà)讓學(xué)生有“不會(huì)做就圖”的習(xí)慣思維久而久之學(xué)生就能逐步掌握.