甘肅省酒泉市西洞學(xué)區(qū)(735000) 李芳紅

一、問題的引出和解決

如圖1,四邊形ABCD為正方形,邊長為4,BE=1,點(diǎn)F為線段AC上的動(dòng)點(diǎn)(與A點(diǎn)C點(diǎn)不重合),當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),△EFB的周長最小?

由于幾何畫板在處理動(dòng)點(diǎn)的問題有很好的效果,我設(shè)計(jì)了關(guān)于動(dòng)點(diǎn)F的動(dòng)作按鈕,將線段長度的屬性中數(shù)值的精確度設(shè)置為0.1,得到動(dòng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到如圖2所示的位置,△EFB的周長=EF+FB+EB=6,發(fā)現(xiàn)△EFB的最小值為6.

圖1

圖2

通過分析,本題中BE=1是確定的,所以只需要計(jì)算(FE+FB)的最小值,這時(shí)進(jìn)一步引發(fā)我們的思考,這樣的問題似曾相識(shí).如圖3有A、B兩個(gè)村莊,如何在河邊修一個(gè)電站,它到A、B兩個(gè)村莊的距離最短?我們是做了B點(diǎn)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn),如圖4那么點(diǎn)P即為所求.

圖3

于是我們發(fā)現(xiàn)問題有了新的解法,我們可以把線段AB作為河流,在AB上找一點(diǎn)F,使得(FE+FB)的值最小,可以作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn),發(fā)現(xiàn)如圖5點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)就是點(diǎn)D,連接DE,那么點(diǎn)F即為所求,所以△EFB的周長=DF+FB+EB=DE+EB=5+1=6.

于是我們成功的解決了此問題,發(fā)現(xiàn)兩種方法的結(jié)果是一樣的.但是,作為一名教師應(yīng)該有不斷探究問題的能力,我們不僅是知識(shí)的傳授者,更應(yīng)該是知識(shí)的探索者.對(duì)于變化的量,我們是否可以用函數(shù)來解決此問題,于是我們以正方形ABCD的AB邊和AD邊分別為x軸和y軸,建立如圖6的直角左邊系,

圖5

圖6

我們利用導(dǎo)數(shù)成功的解決了此問題,發(fā)現(xiàn)最小值也為6.

為什么不是6那?我們產(chǎn)生了這樣的疑問?到底什么地方出現(xiàn)了問題,是不是不能利用上面的絕對(duì)值不等式計(jì)算?丟失的0.05去哪里了?

同時(shí),我們驚奇的發(fā)現(xiàn)f′(x)和G′(x)的圖像驚人的相似如圖7、圖8,但是通過計(jì)算它們的圖像并不完全相同,數(shù)值上的0.05和圖像上的驚人相似,是否為巧合,還是有著必然的聯(lián)系,那么這其中的奧秘到底是什么?

圖7

圖8

二、問題的進(jìn)一步探究

在上面的題目中只有點(diǎn)F是運(yùn)動(dòng)的,如果點(diǎn)F和點(diǎn)E同時(shí)運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)E在線段AB上運(yùn)動(dòng)),那么△EFB的周長的最小值是多少那?最小值還是6嗎?我們驚奇的發(fā)現(xiàn),△EFB的周長的最小值也為6.我們用幾何畫板建立兩個(gè)動(dòng)作按鈕E和F,同時(shí)讓點(diǎn)E和點(diǎn)F分別在線段AB和AC上運(yùn)動(dòng),我們驚奇的發(fā)現(xiàn),雖然兩個(gè)點(diǎn)都在運(yùn)動(dòng),但是△EFB得最小周長還是沒有變,當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到如圖9所示的位置,發(fā)現(xiàn)周長的最小值為6.雖然多加了一個(gè)動(dòng)點(diǎn),但是周長并沒有發(fā)生變化.

我們進(jìn)一步思考,時(shí)候可以利用函數(shù)的思想解決此問題,如圖10建立直角坐標(biāo)系.可以設(shè)F(x,x),E(y,0),B(4,0),4,0＜y＜4).問題轉(zhuǎn)換為求F(x,y)這個(gè)二元函數(shù)的最小值,那么如何求F(x,y)的最小值?是否存在F(x,y)的最小值,如何有更高的技能解決?

圖9

圖10

三、啟示和疑問

通過本文對(duì)一道中考題的研究,筆者提出了三個(gè)問題,敬請(qǐng)其他老師指正研討.

1、在解決△EFB的周長的最小值時(shí),我們是否能夠利用絕對(duì)值不等式,如果能用,那么丟失的0.05到底去哪里了?如果不能用,那么為什么不能用?

2、f′(x)和G′(x)的圖像驚人的相似,但是通過計(jì)算它們的圖像并不完全相同,數(shù)值上的0.05和圖像上的驚人相似,是否為巧合,還是有著必然的聯(lián)系,那么這其中的奧秘到底是什么?

3、我們能否計(jì)算出F(x,y)這個(gè)二元函數(shù)的最小值,如何計(jì)算,還是根本就沒有辦法計(jì)算?能否用更高的觀點(diǎn)去解決.

新課程已經(jīng)開展了好多年,隨著知識(shí)的不斷更新,教師的角色也發(fā)生了很大的變化,教師不在是單純的“傳道、授業(yè)、解惑也”,而更應(yīng)該是知識(shí)的發(fā)現(xiàn)者,知識(shí)的探索者,更應(yīng)該是一名研究性的學(xué)者,這樣才可以真正成為一名教育者,一名未來的教育家.