范迪 高潔 祁亞萍 薛立勤 張麗麗

摘 要：拉氏變換、傅里葉變換、Z變換是工程類專業(yè)重要、基本的數(shù)學工具，是相關(guān)科目教學中的重點和關(guān)鍵。但由于其理論性強，故也是教學的難點。文章比較系統(tǒng)地對所涉及的幾種變換及其相互關(guān)系進行剖析、歸納和總結(jié)，從時域、變換域細致地進行描述和呈現(xiàn)，旨在使學生對它們的本質(zhì)和內(nèi)在關(guān)聯(lián)有更深入的認識和理解。

關(guān)鍵詞：拉氏變換；傅里葉變換；Z變換；時域；變換域；變換間的關(guān)系

中圖分類號：G640 文獻標志碼：A 文章編號：2096-000X（2018）14-0106-03

Abstract： Laplace transform， Fourier transform and Z transform are important and basic mathematical tools for engineering majors， and they are the key points in teaching related subjects. However， due to its theoretical strength， it is also a difficult point in teaching. This paper systematically analyzes several kinds of transformations， summarizes their interrelationships and describes and presents them in detail from the time domain and the transformation domain. The purpose is to enable students to have a deeper understanding of their nature and intrinsic connections.

Keywords： laplace transform； fourier transform； Z transform； time domain； transform domain； relationship between transforms

一、概述

積分變換是電子信息工程、通信工程、自動化、電氣工程等工科專業(yè)主要的數(shù)學工具。對連續(xù)信號和系統(tǒng)而言，主要有拉普拉斯變換（簡稱拉氏變換，Laplace Transform， LT）、連續(xù)信號的傅里葉變換（Continuous Time Signal Fourier Transform，CTFT）、連續(xù)周期信號的傅里葉級數(shù)（Continuous Time Fourier Series，CTFS）。對時域離散信號而言，主要有序列的傅里葉變換（Discrete Time Signal Fourier Transform， DTFT）、周期序列的傅里葉級數(shù)（Discrete Fourier Series，DFS）、離散傅里葉變換（Discrete Fourier Transform， DFT）和Z變換（ZT）。[1-7]

變換開啟了觀察和分析信號與系統(tǒng)的新視角。它可把信號和系統(tǒng)從時域或空域等原域變換到s域、z域、頻域等變換域中，在變換域中，信號和系統(tǒng)呈現(xiàn)出了在原域中難以觀察到的特性和特點。因而，一般來說，信號或系統(tǒng)在時域或空域的表達形象與直觀，易于理解；在s域、z域或頻域等中的表達則更為抽象和簡練，剖析問題也更為深刻和方便。而事實上，越來越多的信號分析或者復雜信號分析更多地需要在變換域進行。

然而，越來越重要和有用的幾種變換，由于其數(shù)學理論性強，教師授課及學生學習的過程中，往往在講清楚說明白上，在學明白和會應用上存在較大的難度，致使相關(guān)科目的教學，如《信號與系統(tǒng)》、《數(shù)字信號處理》、《數(shù)字圖像處理》等，一直以來處于難教難學的狀態(tài)。[8，9]本論文系統(tǒng)地對這幾種變換及其相互之間的關(guān)系進行剖析，旨在使相關(guān)老師和學生借助幾種變換間關(guān)系的描述，對它們的本質(zhì)和內(nèi)部之間的關(guān)聯(lián)有比較深刻的認識和理解，從而解決了相關(guān)科目教學中的難題。

四、結(jié)束語

拉氏變換、傅里葉變換、Z變換是信號與系統(tǒng)、數(shù)字信號處理及數(shù)字圖像處理等課程中重要的數(shù)學工具，能把信號從時域或空域轉(zhuǎn)換到頻率、復頻域或者Z域等變換域，實際上就是從另一個視角來呈現(xiàn)信號的特點。但由于其數(shù)學理論性強，致使相關(guān)科目的教學一直存在較大難度。

本文比較系統(tǒng)地對幾種變換及其相互關(guān)系進行歸納和總結(jié)，從時域、變換域角度分別描述它們的特點及之間的關(guān)系，借助這些關(guān)系的描述，使讀者對幾種變換的本質(zhì)和內(nèi)部之間的關(guān)聯(lián)有比較深刻的認識和理解，對后續(xù)利用這幾種變換分析信號和系統(tǒng)將有較大的幫助。

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