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(大廠高級中學(xué),江蘇 南京 210044)

如果兩個變量x，y滿足一組一次不等式，求這兩個變量的一個線性函數(shù)(例如z=2x+y)的最大值或最小值，那么我們就稱這個線性函數(shù)為目標函數(shù)，稱一次不等式組為約束條件，像這樣的問題叫作二元線性規(guī)劃問題.

1 加減變乘除，對數(shù)來還原

線性運算指加法和數(shù)量乘法，在實數(shù)領(lǐng)域中只包含加法和數(shù)量乘法的二元一次方程就屬于線性運算，如y=2x+1.在線性規(guī)劃問題中，無論是約束條件還是目標函數(shù)都只有加法和數(shù)量乘法這兩種運算.利用指數(shù)式和對數(shù)式的關(guān)系，將對數(shù)間的線性運算隱藏于指數(shù)式的乘除關(guān)系中，不失為一種同時考查學(xué)生轉(zhuǎn)化能力的命題視角.

(2010年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題第12 題)

分析由條件知x>0，y>0.對兩個不等式均取以10為底的對數(shù)，得

lg 3≤lgx+2lgy≤lg 8，

lg 4≤2lgx-lgy≤lg 9，

此時

問題等價于設(shè)x，y為實數(shù)，滿足

求3x-4y的最大值.

圖1

畫出不等式組表示的可行域(是一個矩形)，如圖1.令z=3x-4y，即

zmax=3lg 3=lg 27,

評注通過取對數(shù)，代數(shù)式的乘(方)除運算可以轉(zhuǎn)化為對數(shù)的加減運算，實現(xiàn)非線性運算向線性運算的轉(zhuǎn)化.需要注意的是，當約束條件和目標函數(shù)都是代數(shù)式的乘(方)除運算時，只有同時對它們?nèi)?shù)，才能借用線性規(guī)劃的思想求解.類似地，同底冪的乘(方)除運算就是指數(shù)間的線性運算，從運算轉(zhuǎn)化的視角也可以命制相應(yīng)的試題.

2 目標非線性，畫出曲線看

在線性規(guī)劃問題中，線性目標函數(shù)被理解為坐標系中的一條直線，觀察其在與可行域有公共點的前提下縱截距(含z的式子)的幾何意義.循此思路，目標函數(shù)是曲線同樣可以觀察其幾何意義——選擇合適的視角.

圖2

當它的圖像過點A(1，1)時，z取得最大值，故

評注目標函數(shù)是非線性函數(shù)，z+1為曲線與y軸交點的縱坐標，以這個幾何意義為依據(jù)確定最優(yōu)解.循此思路命題：畫好一個可行域(如例2中的△ABC及其內(nèi)部)，構(gòu)造含待定量的任意函數(shù)，確定待定量的取值范圍.

3 三元變二元，關(guān)鍵齊次式

二元線性規(guī)劃的關(guān)鍵詞之一是“二元”，一般地，齊次式通過“同除”可以減元，因此在命題實踐中，有時呈現(xiàn)的約束條件是三元，但一定是齊次式形式，求解時必須“同除”以實現(xiàn)減元.

分析由已知及構(gòu)成三角形的條件，得

圖3

4 一次變二次，思想不會變

約束條件是線性的，也就是說，可行域的邊界是直線型的.顯然，也可以將可行域的邊界改成曲線，即約束條件之一是二元二次不等式.

分析因為a>0，所以函數(shù)f(x)的圖像是開口向上的拋物線.又f(x)在區(qū)間[1，2]上有兩個不同的零點，從而

圖4

評注將約束條件用“一元二次方程根的分布”背景包裝，其中的每一個不等式都是齊次式，目標函數(shù)也是齊次式，因此通過“同除”就可以將三元轉(zhuǎn)化為二元規(guī)劃問題，所不同的是，約束條件中有一個是二次的，即x2-4y>0，不難理解其表示的區(qū)域——拋物線x2-4y=0開口外的部分(不含邊界).類似地，可以設(shè)計圓內(nèi)(外)、橢圓內(nèi)(外)，雙曲線開口內(nèi)(外)等二次約束條件.解題過程中要注意兩點：一是考慮定義域；二是不要過分人為地復(fù)雜化.

5 數(shù)形結(jié)合好，萬變不離宗

先畫好一個曲邊三角形(為控制難度，僅有一邊是曲線)，擬定一條過定點(如原點)的動直線，求動直線斜率的取值范圍.問題擬好后，再適當代換成三元問題，并改變個別約束條件的運算形式.下面的高考真題是否就是這樣編擬的呢？

(2012年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題第14 題)

分析由5c-3a≤b≤4c-a及c>0，得

(1)

由clnb≥a+clnc得

(2)

于是式(1)即為 5-3x≤y≤4-x,

(3)

式(2)即為y≥ex.

(4)

圖5

y-ex0=ex0(x-x0),

萬變不離其宗，多變量不等關(guān)系約束下求(非)線性目標函數(shù)的取值范圍，數(shù)形結(jié)合思想不變.從命題的角度看，一般先有圖，將需要考查的想法融于圖中；然后編擬二元規(guī)劃問題，進行字母代換或運算代換后變?yōu)槿?、非線性的問題；最后給約束條件和目標函數(shù)賦予恰當、新穎的背景.遵循這樣的命題思路，讀者也可以命制更多形式新穎、思路靈活、更有難度的試題.