常立凡，任高峰，胥 彪，李 爽

(1.南京航空航天大學 航天學院，江蘇 南京 210016； 2.中國空空導彈研究院，河南 洛陽 471009)

0 引言

目前各國空空導彈大多采用比例導引律，其結(jié)構(gòu)簡單，對低機動目標打擊效果較好[1-3]?？紤]到新一代目標的機動能力更強[1-3]，國內(nèi)外學者提出了一些修正形式的比例導引律[4-5]。如：侯明善等[6]設(shè)計了一種非線性狀態(tài)估計器，其利用導引頭信息估算出彈目視線角，并對比例導引系統(tǒng)進行補償，與傳統(tǒng)比例導引率相比，指令加速度更小，彈道特性更好；GURFIL[7]針對大機動目標提出一種基于零脫靶量修正的比例導引律，其零脫靶量是基于隨機過程建立的目標機動模型，制導精度取決于目標實際機動情況與模型的匹配度；周華等[8]提出了一種針對機動目標時間可控的協(xié)同制導律，其由時間誤差反饋、引入目標機動補償?shù)臄U展比例導引結(jié)合推導得出，結(jié)構(gòu)簡單，易于實現(xiàn)。

目標模型是目標估計算法的基礎(chǔ)，目前典型模型有Singer、Jerk、“當前”統(tǒng)計(CS)等。其中，CS模型最為常用[9],該模型認為當目標以某一加速度機動時，下一時刻的加速度取值有限，且只能在當前加速度范圍內(nèi)。CS模型本質(zhì)上是一種時間相關(guān)模型，機動目標“當前”加速度的預測值即為均值[10]。白亞騰等[11]在CS模型和擴展卡爾曼濾波(EKF)算法基礎(chǔ)上提出一種基于狀態(tài)噪聲方差自適應(SNVA)的機動目標狀態(tài)估計方法，利用位置預測值與位置估計值之間的偏差對加速度方差進行自適應調(diào)節(jié)，采用SNVA對目標加速度噪聲方差進行自適應調(diào)整，并通過EKF算法估計目標速度和加速度，所得精度較高；戚靖等[12]對CS模型機動頻率進行了自適應調(diào)整，提出了一種改進的勻速運動(CV)模型，彌補了CS模型在弱機動情況下跟蹤精度不高的缺點；CHEN等[13]針對抗大機動目標的制導問題提出了一種基于模型的方法，該方法對目標套用1個振幅和頻率未定的三角函數(shù)模型，包括1個可變增益的卡爾曼濾波器，以估計相對位置、相對速度、加速度的幅值和頻率，再利用組合導引律根據(jù)目標狀態(tài)估計來發(fā)出導彈的加速度指令，但該方法估計過程具有明顯的延遲；王利芳等[14]設(shè)計了一種評估目標機動意圖的算法，將目標機動意圖分為9種類型,根據(jù)所測量、估計的目標運動參數(shù)，提取目標特征參數(shù)，判斷目標威脅，評估機動意圖，該方法流程簡單，判斷過程易于實現(xiàn)。

上述方法僅將目標機動描述為與時間相關(guān)的隨機過程，使用的模型種類較少，并沒有研究各種典型的規(guī)避動作。由于單個模型適用范圍有限，無法涵蓋一些特殊的機動情況，當目標進行模型庫以外的機動時，會有較大的估計誤差，造成制導精度嚴重下降。為此，本文調(diào)研了以第五代戰(zhàn)斗機為主的高機動目標在規(guī)避導彈時所使用的典型規(guī)避機動形式，建立運動學模型，構(gòu)成了可擴展的目標機動軌跡離線模型庫，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)建了卡爾曼濾波器，根據(jù)模型庫的函數(shù)類型特征設(shè)計了目標機動辨識預測器，對目標進行機動辨識與預測，規(guī)定了數(shù)據(jù)采樣的法則、機動辨識的標準和延遲補償?shù)乃惴ǎ槍θ呛瘮?shù)擬合的缺點，優(yōu)化了函數(shù)次序，優(yōu)先擬合低階函數(shù)，在線判斷目標所處的機動狀態(tài)及相關(guān)機動參數(shù)，并給出預測位置。

1 基本模型

在建立導彈目標模型時，假設(shè)導彈與目標的速度保持不變，導彈為可控質(zhì)點，則彈目之間的三維相對運動模型如圖1所示。

圖1 導彈、目標追擊三維模型Fig.1 3D model of missile and target

圖1中：

(1)

為便于描述目標各種機動動作并以此建模，選取地理坐標系(O-XYZ)為基準。該坐標系原點為導彈發(fā)射點在當?shù)厮矫嫔系耐队包c，OX軸沿原點所在緯線的切線方向指向東方，OZ軸沿原點所在經(jīng)線的切線方向指向北方，OY軸根據(jù)右手定則指向天。

2 機動描述與模型建立

在空戰(zhàn)中，戰(zhàn)斗機可根據(jù)局勢進行機動以規(guī)避來襲導彈。隨著戰(zhàn)斗機氣動設(shè)計和發(fā)動機性能的改進，現(xiàn)有空空導彈的制導律難以有效打擊高機動目標，因此，需對高機動目標的具體特征進行詳細建模，設(shè)計相應的導引律。本節(jié)針對一些典型的戰(zhàn)斗機規(guī)避動作進行分析研究，根據(jù)典型的目標機動特征建立運動學模型。機動模型庫中使用的模型如圖2所示，均以X軸為前進方向。當目標執(zhí)行模型庫以外有規(guī)律機動時，可離線補充新的機動模型。

2.1 加速機動

加速機動是最簡單的規(guī)避機動。目標發(fā)現(xiàn)導彈來襲后，一般會增大節(jié)流閥以獲得更快速度，為后續(xù)的大過載規(guī)避機動進行準備。該機動在X軸有加速度a1，在Y、Z軸沒有速度和加速度。機動模型的加速度可描述為

(2)

式中：x，y，z分別為目標坐標值。

當目標在Y，Z軸的分速度為0 m/s時，對應的目標速度表示為

(3)

目標的機動軌跡可描述為

x=0.5a1t2+v1xt+x0，y=y0，z=z0

(4)

式中:x0,y0,z0為目標初始位置；v1x為初始時刻的目標速度；t為時間。

2.2 盤旋/筋斗機動

盤旋機動為一類常見的平面機動，其飛行軌跡在機動平面內(nèi)近似為圓形，其機動平面平行于當?shù)厮矫妗＝疃窓C動的機動平面垂直于當?shù)厮矫?。這2種機動可維持較長時間的橫向加速度，在末制導段利用超強的機動性強行避開導彈的殺傷區(qū)，此外，在中制導段可利用該機動消耗空空導彈的能量，使其在進入末制導時速度不足。盤旋/筋斗機動模型如圖2(a)所示。

盤旋機動是平面機動，在Y軸沒有速度和加速度，其軌跡為圓形。假設(shè)在機動平面內(nèi)的加速度為a2，則各軸加速度為

(5)

圖2 機動模型Fig.2 Maneuver models

式中：ω，ω0分別為目標的機動頻率、初相位。X，Z軸的偏置速度一般為0，對應的目標速度為

(6)

在盤旋機動中，v1x，v1z一般為0，其機動軌跡表示為

(7)

筋斗機動相當于把盤旋機動的平面換成XOY平面。

2.3 殷麥曼/破S機動

殷麥曼機動、破S機動用于動能與勢能之間轉(zhuǎn)換，兩者類型相同，方向相反，初始狀態(tài)均為平飛。殷麥曼機動先完成半個周期的筋斗機動，此時飛機狀態(tài)為倒飛，然后滾轉(zhuǎn)半周改為平飛，損失速度以獲得高度；破S機動先滾轉(zhuǎn)半周進入倒飛，然后完成半周的筋斗機動，最后改為平飛，損失高度以獲得速度。殷麥曼/破S機動為平面機動，相當于筋斗機動執(zhí)行半個周期(初始狀態(tài)為平飛)，模型如圖2(b)、(c)所示。

2.4 蛇形機動

蛇形機動既可保持可觀的前進速度，又能產(chǎn)生一定的橫向加速度，其周期和幅值有較大的調(diào)節(jié)空間，機動軌跡在空中為“S”形。蛇形機動操作復雜，每半個周期需通過滾轉(zhuǎn)來改變機動方向，此時目標橫向加速度較小，易受到攻擊。蛇形機動的模型如圖2(d)所示。

蛇形機動在XOZ平面內(nèi)，目標沿X軸勻速前進，同時沿Z軸正弦運動，假設(shè)最大加速度為a3，在Y軸沒有速度和加速度，則加速度可描述為

(8)

一般來說，目標在X軸有初速度v3x，在Z軸的偏置速度為0，則對應的速度為

(9)

蛇形機動的軌跡可描述為

(10)

2.5 滾筒機動

滾筒機動是最有效的導彈防御機動之一，其軌跡為1條螺旋線，既能像蛇形機動那樣在前進中保持較高的橫向加速度，又能克服蛇形機動操作復雜的缺點。滾筒機動的周期取決于目標的滾轉(zhuǎn)周期，略長于目標滾轉(zhuǎn)1周的時間。滾筒機動的橫向過載方向隨時間快速變化，可針對導彈制導系統(tǒng)有時間延遲的缺陷，使導彈制導系統(tǒng)反復改變指令。當指令變化頻率超過系統(tǒng)帶寬時，導彈舵面無法及時跟蹤制導系統(tǒng)的加速度指令，造成動態(tài)誤差不斷增大，最終導致導彈脫靶。滾筒機動模型如圖2(e)所示。

滾筒機動可分解為沿X軸的直線前進和在YOZ平面內(nèi)的圓周運動，在Y、Z軸進一步分解可得到2個正弦軌跡。假設(shè)在機動平面內(nèi)的加速度為a4，則各軸加速度可描述為

(11)

一般來說，目標在X軸的初速度為v4x，在Y、Z軸的偏置速度為0，對應的目標速度為

(12)

滾筒機動的軌跡為

(13)

3 帶預測的制導與控制

3.1 導彈導引律

采用現(xiàn)役主動尋的空空導彈常用的比例導引律，將導彈姿態(tài)角速度與彈目視線角速度的比值作為比例系數(shù)，俯仰控制和偏航控制相互獨立，其公式為

(14)

(15)

3.2 卡爾曼濾波器

機動目標狀態(tài)的位置向量為

X=[xyz]

(16)

式中：x，y，z分別為目標在X，Y，Z軸上的位置。根據(jù)卡爾曼濾波模型，機動目標的離散狀態(tài)方程為

X(k+1)=F(k)X(k)+Q(k)

(17)

式中：Q(k)為零均值高斯白噪聲；F(k)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。由于離散間隔很短，目標機動狀態(tài)未知，默認下一時刻的位置不變，即

(18)

假設(shè)機動目標的測量方程為

Z(k)=H(k)X(k)+R(k)

(19)

式中：H(k)為測量矩陣；R(k)為測量過程中的高斯白噪聲，則狀態(tài)的一步預測為

(20)

測量的預測值為

(21)

協(xié)方差的一步預測為

P(k+1|k)=F(k)P(k|k)F′(k)+Q(k)

(22)

卡爾曼濾波增益為

K(k+1)=P(k+1|k)H′(k+1)/

[H(k+1)P(k+1|k)H′(k+1)+

R(k+1)]

(23)

校正后的最優(yōu)估計為

(24)

協(xié)方差更新為

P(k+1|k+1)=

[1-K(k+1)H(k+1)]P(k+1|k)

(25)

3.3 引入漸消因子的擴展卡爾曼濾波器

經(jīng)典卡爾曼濾波器具有記憶無限增長的特點，當前濾波值會使用之前所有數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)逐漸積累，使新測量值對最優(yōu)估計值的修正能力逐漸下降。當目標改變機動狀態(tài)時，經(jīng)典卡爾曼濾波器會導致較大的時間延遲和誤差積累。因此，本文使用擴展卡爾曼濾波，在濾波時提高新測量數(shù)據(jù)的影響能力，避免舊數(shù)據(jù)的過度積累。

新的協(xié)方差預測公式為

P(k+1|k)=λkF(k)P(k|k)F′(k)+Q(k)

(26)

式中：λk為漸消因子，λk≥1。λk值使卡爾曼濾波的增益變大，增加了測量數(shù)據(jù)在計算狀態(tài)估計時的權(quán)重，并因估算方法不同而有所區(qū)別。為此，徐定杰等[15]提出了一種基于新息的計算方法，其公式為

圖3 導彈制導回路Fig.3 Missile guidance circuit

(27)

(28)

S(k+1)=H(k+1)P(k+1|k)

H′(k+1)+R(k+1)

(29)

(30)

3.4 數(shù)據(jù)采樣

數(shù)據(jù)采樣需將導引頭所獲得的目標軌跡信息進行離散化，如果采樣時間跨度過短，則難以提供有效的信息，曲率較高的軌跡會被識別成直線，而時間跨度過長則會失去時效性?？紤]到現(xiàn)役高機動目標進行機動動作的周期為2～10 s，采集的時間跨度至少要達到機動周期的10%才能獲得足夠豐富的辨識信息。本文以0.1 s為時間間隔，采集最新的15個目標路徑點，即時間跨度為1.4 s。在平衡信息量和時效性的同時，盡可能減小預測計算量。

3.5 辨識預測器設(shè)計

尋的系統(tǒng)生成目標數(shù)據(jù)具有時間延遲，導彈只能獲得帶時間延遲的目標信息,而目標機動預測器根據(jù)收集到的位置信息列表，對軌跡進行辨識，將辨識的結(jié)果和預測位置點傳遞給制導系統(tǒng)。當設(shè)計預測器時，對預測對象開展特征分析，對機動模型的軌跡進行統(tǒng)計，所統(tǒng)計的機動軌跡的函數(shù)類型見表1。

表1 機動軌跡的函數(shù)類型

利用最小二乘法對目標軌跡進行實時的函數(shù)擬合和在線辨識，可擬合的函數(shù)類型為線性函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)。二次以上的函數(shù)雖然在理論上具有更小的殘差，但在時間延拓時極易發(fā)散，故不予考慮。

線性函數(shù)的參數(shù)為

f(t)=A1t+A2

(31)

二次函數(shù)的參數(shù)為

f(t)=B1t2+B2t+B3

(32)

三角函數(shù)的參數(shù)為

f(t)=C1sin(C2t+C3)+C4

(33)

式(31)～(33)中：A，B，C分別為3種函數(shù)的參數(shù)。

對目標采用三角函數(shù)模型有一個顯著的缺點：當目標進行勻速直線運動或機動加速度較小時，可能會造成較大的估計誤差。三角函數(shù)模型誤差如圖4所示。由圖可見：當目標沿平行于Z軸的直線勻速運動時，由于采樣時間是等距的，在X、Y軸的坐標不變，在X-T圖像中各采樣點等距分布；在用三角函數(shù)擬合時，理論上振幅應為0，但由于振幅未作限制，會出現(xiàn)振幅為1個非零有限值的情況，以此參數(shù)進行預測時，得到的預測點會和實際點有較大偏差。在該情況下采用未知三角函數(shù)法預測雖然可將采樣點的數(shù)據(jù)落在擬合的函數(shù)上，確保較小的殘差，但預測精度明顯不如線性函數(shù)擬合。當目標劇烈機動時，線性擬合的殘差會加大，而未知三角函數(shù)法的表現(xiàn)較好。也就是說，采用三角函數(shù)擬合雖能辨識成功，但精度較差。為解決該問題，本文在函數(shù)擬合順序上進行了優(yōu)化：優(yōu)先進行線性函數(shù)擬合，再進行二次函數(shù)擬合，最后進行三角函數(shù)擬合。當任意1項函數(shù)擬合滿足辨識成功條件時，中止擬合，直到遍歷所有函數(shù)類型。

圖4 三角函數(shù)模型誤差Fig.4 Error of trigonometric function model

圖5 辨識預測流程Fig.5 Flowchart of identification and prediction

辨識預測的流程如圖5所示。辨識預測的具體步驟如下：

1) 當導引頭檢測到目標后，根據(jù)自身運動姿態(tài)，將位置坐標轉(zhuǎn)換為絕對坐標系下的坐標，并生成隨時間變化的列表，默認在中末制導中，導引頭已鎖定目標并保持穩(wěn)定的跟蹤。

2) 將數(shù)據(jù)列表在X，Y，Z軸方向上解耦，分解為3個數(shù)據(jù)列表。

3) 每個列表中以最新數(shù)據(jù)時間t，按照t-1.4，t-1.3，…，t的順序，選取15個有效數(shù)據(jù)點，時間間隔0.1 s。

4) 將有效數(shù)據(jù)點進行擬合，根據(jù)機動模型庫的內(nèi)容，對數(shù)據(jù)點進行擬合與辨識。通過最小二乘法，將有效數(shù)據(jù)點在不同函數(shù)下進行擬合，并計算出擬合的確定系數(shù)(R-Square)，確定系數(shù)的計算公式為

(34)

式中：

(35)

(36)

RSST=RSSE+RSSR

(37)

RSSR為預測數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)之差的平方和；RSST為原始數(shù)據(jù)的方差；RSSE為擬合殘差的平方和。

根據(jù)R-Square來判斷此類擬合是否成功，線性函數(shù)和二次函數(shù)要求R-Square>0.992，三角函數(shù)擬合要求R-Square>0.984。若擬合成功，則輸出函數(shù)類型和擬合參數(shù)；若模型庫中所有函數(shù)類型擬合后均未成功，則判定辨識失敗，輸出失敗標志。

5) 若辨識成功，則根據(jù)辨識成功的函數(shù)類型與參數(shù)，在最新的時間點后進行延拓，延拓的時間量等于導引頭生成數(shù)據(jù)的延遲，這樣理論上目標數(shù)據(jù)的延遲就能被機動預測器完全補償；若辨識失敗，則不進行時間延拓，僅輸出最新的數(shù)據(jù)點。采樣和預測的示意如圖6所示。

圖6 采樣與預測示意Fig.6 Schematic diagram of sampling and prediction

4 仿真算例

本文采用機動辨識預測制導律，對中低空的高機動目標進行模擬打靶，以驗證新導引律的性能。目標的初始狀態(tài)為勻速直線飛行，當發(fā)現(xiàn)來襲導彈后開始機動。導彈初始狀態(tài)為xm0=0，ym0=1 km，zm0=0；目標初始狀態(tài)為xt0=5 km，yt0=4 km，zt0=3 km。當仿真開始0～2 s后，導彈固連在載機上；仿真開始2～2.5 s后，導彈沿發(fā)射架飛出，發(fā)射方向角為30°，高度角為30°，發(fā)射后保持直線飛行，不受控制；當仿真開始2.5 s后，導彈根據(jù)控制系統(tǒng)的指令改變飛行軌跡，比例系數(shù)為4。導彈運動速度為300 m/s，目標進行直線巡航時速度為101 m/s，盤旋機動線速度為104 m/s，滾筒機動線速度為101.7 m/s。導引頭測得目標實時位置在每個坐標軸均帶有方差為3的高斯白噪聲，獲得目標信息并進行濾波的時間延遲共500 ms。作為對比，每個算例運行無預測比例導引和線性擬合預測比例導引(根據(jù)最新數(shù)據(jù)點的位置和速度，默認目標在帶預測時間內(nèi)保持勻速直線運動，以此補償延遲)的仿真試驗。3種導引律的目標預測方法如圖7所示。無預測比例導引的目標預測點為最新采樣點。以下3個算例對應3種典型的規(guī)避機動。

圖7 3種預測點示意圖Fig.7 Schematic diagram of three kinds of prediction points

4.1 盤旋機動

當仿真開始時，目標沿直線勻速巡航，高度角為-5.7°，方向角為185.7°。當仿真時間為12 s時，目標開始向左盤旋機動，過載為5.5g，盤旋周期為12 s，并保持10 m/s的垂直下降速度。當仿真開始2 s后，機動辨識預測器開始工作，之前狀態(tài)默認為線性函數(shù)，仿真結(jié)果如圖8所示，圖中：函數(shù)編號0表示未識別成功，2表示識別為線性函數(shù)，3表示識別為二次函數(shù)，4表示識別為三角函數(shù)。

盤旋機動情況下，機動辨識預測、無預測和線性擬合預測比例導引律的仿真結(jié)果見表2。

表2 大過載急轉(zhuǎn)機動脫靶量

4.2 大過載滾筒機動

當仿真開始時，目標沿直線勻速巡航，高度角為-5.7°，方向角為185.7°。當仿真時間為10 s時，目標開始進行滾筒機動，過載為19g，滾筒周期為2 s，大過載滾筒機動的仿真結(jié)果如圖9所示，圖中：函數(shù)編號0表示未識別成功，2表示識別為線性函數(shù)，3表示識別為二次函數(shù)，4表示識別為三角函數(shù)。

大過載滾筒機動情況下，3種導引律的仿真結(jié)果見表3。

表3 大過載急轉(zhuǎn)機動脫靶量

4.3 大過載復合機動

當仿真開始時，目標沿直線勻速巡航，高度角為-5.7°，方向角為185.7°；當仿真時間為6 s時，目標開始向左盤旋機動，過載為5.5g，周期為12 s；當仿真時間為11.8 s時，目標背對導彈開始進行大過載滾筒機動。仿真結(jié)果如圖10所示，圖中：函數(shù)編號0表示未識別成功，2表示識別為線性函數(shù)，3表示識別為二次函數(shù)，4表示識別為三角函數(shù)。

大過載復合機動下，3種導引律的仿真結(jié)果見表4。

表4 大過載復合機動脫靶量

圖10 大過載復合機動仿真Fig.10 Simulation of high-g complex maneuver

4.4 算例分析

由仿真結(jié)果可見：在有輸入干擾的情況下，本文設(shè)計的機動辨識預測器在對測量噪聲降噪處理后可較準確地辨識目標所處的機動狀態(tài)。當預測器采樣的數(shù)據(jù)段位橫跨2種機動模式時，辨識能力會受到影響。預測器在對盤旋機動辨識時，由于機動周期較長，當采樣的數(shù)據(jù)段位在三角函數(shù)平衡點附近時，曲率較低，會被優(yōu)先識別為線性函數(shù)或二次函數(shù)，但對預測精度影響較小。

本文所構(gòu)建的目標機動運動學模型是從目標實際機動類型出發(fā)，當目標機動類型是模型庫所涵蓋的類型時，相對將目標機動描述為隨機過程的方法會有更高的預測精度，從而減小導彈脫靶量。對于典型的機動目標，本文方法可將脫靶量控制在2 m以下，而采取其他簡單的比例導引律，導彈脫靶量多為幾十米。因此，采取無預測比例導引律會把導彈引導至有時間延遲的目標觀測點，導致脫靶量很大，僅略小于目標觀測點與實際點的距離；采取線性擬合預測導引律則默認目標在時間延遲期間不進行機動，根據(jù)最后觀測到的信息進行直線補償，目標機動過載越大，補償效果越差；而本文提出的機動辨識預測比例導引律對于典型的導彈規(guī)避機動具有很高的辨識精度，可準確補償目標的觀測時間延遲。

5 結(jié)束語

本文建立了導彈、目標追擊三維模型，對現(xiàn)有目標規(guī)避導彈的典型機動進行了分析和建模，并建立了配套的運動學模型庫，設(shè)計了自適應卡爾曼濾波器和包含了采樣、辨識、預測環(huán)節(jié)的目標機動辨識預測器。針對辨識函數(shù)特點進行了擬合次序優(yōu)化，基于比例導引率對不同類型的目標機動進行了仿真試驗。結(jié)果表明：當目標進行典型規(guī)避機動時，可準確辨識出目標機動類型，通過辨識系統(tǒng)給出的參數(shù)，可精確補償導彈導引頭獲得信息和濾波環(huán)節(jié)所產(chǎn)生的時間延遲，解決了單一模型適用面較窄、對低過載機動目標預測精度過低的問題。本文方法與其他方法相比，計算量相對較小，預測精度更高，特別在打擊高頻率、大過載機動目標方面優(yōu)勢明顯。當目標采用新的機動類型時，可進一步拓展模型庫。但本文在導引策略上采用了較為簡單的比例導引律，今后可利用目標辨識預測器所得到的加速度信息設(shè)計擴展比例導引律，以提高對目標的追蹤性能。此外，在實際情況中，由于導彈舵面具有執(zhí)行偏差、氣流不穩(wěn)定等缺點，目標的機動軌跡可能無法完全與模型庫匹配，對這樣的軌跡進行辨識會增加誤差，因此應進一步提高本文方法的魯棒性。