崔 寧 王 博 紀 毅

1. 珠海城市職業(yè)技術(shù)學院機電工程學院，珠海 519090 2. 吉林大學珠海學院機械與汽車工程系，珠海 519041 3. 北京理工大學宇航學院，北京 100081

無人機作為新興航空器，廣泛應用于戰(zhàn)場監(jiān)測和海關稽查、森林防火、橋梁檢修、地勢勘測、災害救援等任務中。在諸多無人機工程應用實際情景中，很多條件下單一無人機無法完成任務，如：多無人機牽引。受自身能量、載荷及其他因素限制，單一無人機承重有限，對于較重的物體，只能采用協(xié)同牽引的方式，由多個無人機一起完成。在此情況下，多無人機協(xié)同作業(yè)是一種必要的且行之有效的手段。

無人機協(xié)同導引是無人機協(xié)同作業(yè)的基礎，其基本要素為對各無人機飛行時間的規(guī)劃與控制，即各無人機在期望時刻同時飛行至既定區(qū)域，完成既定任務。如何使飛行時間收斂于期望時間，如何規(guī)劃期望飛行時間，是無人機協(xié)同制導的2個重要問題。針對以上2個問題，在已公開的文獻中已有很多研究。針對第1個問題Jeon等人[1]基于經(jīng)典比例導引法設計導引律，利用最優(yōu)控制理論引入剩余飛行時間估測項，通過控制剩余飛行時間估測與期望剩余飛行時間的差值實現(xiàn)時間的約束；Kumar等人[2]提出了較為精確的剩余飛行時間估計式，并利用經(jīng)典滑動模態(tài)控制理論約束飛行時間；在此基礎上，Yang等人[3]對剩余飛行時間估計式進行簡化，建立了一種新型協(xié)同導引模型，其特點為在系統(tǒng)狀態(tài)方程中，各系統(tǒng)狀態(tài)量均對橫向飛行距離求導數(shù)，從而將已用時間以函數(shù)形式表示；Zhang等人[4]在大落角條件下，設計了飛時約束制導律等。針對第2個問題，McLain等人[5]提出了協(xié)調(diào)變量和協(xié)調(diào)函數(shù)的概念，并將其應用于多機協(xié)同、路徑歸劃和智能避障等任務中；基于此概念，Beard等人[6]設計了無人機分布式協(xié)同導引結(jié)構(gòu)；在文獻[1]和[6]的基礎上，趙世鈺等人[7-8]設計了雙層協(xié)同制導結(jié)構(gòu)，其特點是上層為基于協(xié)調(diào)變量與協(xié)調(diào)函數(shù)的飛時協(xié)調(diào)一致算法，下層為飛行時間約束導引律，在導引過程中，各無人機實時溝通，實時解算期望剩余飛行時間，從而實現(xiàn)協(xié)同導引。

設計一種通用的協(xié)同導引算法，該算法利用二階滑?？刂评碚摚故Ｓ鄷r間估計曲線在有限時間內(nèi)收斂于期望剩余飛行時間曲線。在此基礎上利用文獻[7]提出的雙層協(xié)同控制結(jié)構(gòu)對期望剩余飛行時間進行規(guī)劃。

1 問題提出與數(shù)學模型建立

1.1 無人機導引的物理模型與數(shù)學模型

首先考慮對單一無人機的導引律進行獨立設計，將無人機視為一質(zhì)點后，在二維平面內(nèi)，其物理模型如圖1所示。

圖1 無人機導引的平面物理模型

圖中，M(M0)為無人機(初始)位置，T為指定的航跡目標點，V為無人機的速度模量，A為無人機的加速度模量，r為無人機與目標航跡點的距離，λ(λ0)為(初始)視線角，γ(γ0)為(初始)速度角。

由圖1建立無人機導引的數(shù)學模型，如下式所示：

(1)

為便于后續(xù)解算，應將已用飛行時間t在數(shù)學模型中解放出來。因而，可使系統(tǒng)狀態(tài)量對橫向距離求導數(shù)。對任意變量ζ，有

(2)

則式(1)可改寫為

(3)

如此，數(shù)學模型建立完畢。

1.2 剩余飛行時間估計式

在無人機協(xié)同導引中，剩余飛行時間的估計至關重要，其值是否準確往往決定了協(xié)同效果是否優(yōu)異。文獻[3]提出了一種較為精確的剩余飛行時間估計式

(4)

式中，σ=γ-λ，σf=γd-λ

在小角度假設條件下，式(4)略去高階無窮小項，得

(5)

式(5)對橫向距離求導可得

(6)

式(6)可改寫為

(7)

至此，得到了較為精確的剩余飛行時間估計式。

2 基于二階滑模理論的導引律

為保證飛行時間為期望飛行時間，根據(jù)滑?？刂评碚?，可設計滑模面為

s=tgo+telap-Td

(8)

式中，telap為已用時間，Td為期望總飛行時間。由上式，可設計制導律為

(9)

式中，k1>0，k2>0，p>2為制導律的設計參數(shù)。

定理1：考慮系統(tǒng)式(3)、剩余飛行時間估計式(5)和(7)，制導律式(9)可使滑模面在有限時間內(nèi)收斂至0。

證明：首先引入引理1、假設1和引理2。

引理1[9]：假設定義于U∈n上的V(x)是一個C1型光滑正定函數(shù)。對于任意的α1>0和α2∈(0,1)，存在一個定義在區(qū)間U∈R上的函數(shù)滿足

(10)

即，存在一個域U0∈n使得任何從域中開始的函數(shù)V(x)在有限時間Treach內(nèi)滿足V(x)≡0。且Treach可由式(11)得出：

(11)

其中，V(x0)是變量V(x)的初始值。

假設1[10]：由無人機的物理特性，無人機至航跡點的距離存在最大值與最小值。其最大值為初始距離，最小值為無人機翼展半徑。

式(8)對橫向距離求導，得

(12)

將式(9)帶入(12)，得

(13)

引入2個中間變量

(14)

對式(14)求導，得

(15)

之后，根據(jù)參數(shù)K2的正負性，為證明以上系統(tǒng)的有限時間收斂特性，分3種情況討論：

1)當K2>0時，考慮以下Lyapunov函數(shù)：

(16)

由式(16)可知V為連續(xù)函數(shù)且恒大于或等于0，因而函數(shù)V可用來判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

對式(16)求導，有

(17)

(18)

(19)

其中，

(20)

由k1>0，k2>0，p>2可知矩陣Q正定。

將Lyapunov函數(shù)改寫成以下矩陣形式

V=ωTPω

(21)

其中，

(22)

由k1>0，k2>0，p>2可知矩陣P正定且V徑向無界，且滿足

(23)

(24)

式中，由p>2可知(2p-3)/(p-1)∈(0,0.5)，由引理1可知系統(tǒng)狀態(tài)量將在有限時間內(nèi)收斂，且收斂時間為

(25)

2)當K2<0時，考慮以下Lyapunov函數(shù)：

(26)

由式(26)可知V為連續(xù)函數(shù)且恒大于或等于0，因而函數(shù)V可用來判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

具體證明方法與情況1類似，這里不再贅述。經(jīng)理論證明，可得系統(tǒng)狀態(tài)量將在有限時間內(nèi)收斂，且收斂時間為

(27)

3)當K2=0時，選取Lyapunov函數(shù)式(16)和(26)，并分別求導數(shù)，其值均為0。即證得K2=0時對系統(tǒng)的穩(wěn)定性沒有影響。證畢。

3 基于協(xié)調(diào)變量的雙層協(xié)同制導結(jié)構(gòu)

由趙世鈺等人提出的雙層協(xié)同制導結(jié)構(gòu)，是一種行之有效的協(xié)同制導方式，其特點為根據(jù)飛行過程中各無人機的剩余飛行時間信息，實時解算出期望剩余飛行時間，無人機起飛前無需裝訂預期飛行時間信息，從而避免了預期飛行時間設計過程中的不足之處。

雙層協(xié)同制導結(jié)構(gòu)如圖2所示：

圖2 雙層協(xié)同制導結(jié)構(gòu)示意圖

在雙層協(xié)同制導結(jié)構(gòu)中，協(xié)調(diào)算法位于頂層，用來協(xié)調(diào)時間及其他協(xié)同信息，各無人機的制導律位于底層，獨立控制無人機的飛行軌跡。在協(xié)同制導過程中，底層導引律將其估算的剩余飛行時間上傳至協(xié)調(diào)云端，由云端利用協(xié)同算法實時統(tǒng)一解算最優(yōu)期望剩余飛時，并將其實時下載至各無人機處理器，從而完成多無人機在飛行時間上的協(xié)同。

協(xié)同制導律為雙層制導結(jié)構(gòu)的基礎，很大程度上決定了該制導結(jié)構(gòu)的性能。根據(jù)雙層制導結(jié)構(gòu)的特性，協(xié)同導引律應包含協(xié)調(diào)變量可控項，具體指預期剩余飛行時間可控項。為便于仿真研究，本文中，取預期剩余飛行時間為各無人機剩余飛行時間的數(shù)學期望，即

(28)

4 數(shù)學仿真結(jié)果

4.1 飛行時間約束導引律性能驗證

考慮制導律式(9)，仿真參數(shù)如表1所示。

導引律參數(shù)為k1=100，k2=10，p=2.5。

表1 各裝訂諸元的初始值

仿真結(jié)果如圖3所示：

圖3 仿真結(jié)果

由圖3(a)可以看出，導引律式(10)可將無人機精確導航至指定地點。由圖3(b) 可以看出，無人機到達指定地點的時間嚴格收斂于期望飛行時間。

值得注意的是，在本導引律或其他協(xié)同導引律中，期望飛行時間具有一定的范圍，并不能隨意選取。另外，導引律參數(shù)對導引效果影響較大，通常根據(jù)工程或仿真經(jīng)驗選取，還可以通過參數(shù)自適應律進行設計。

4.2 裝訂期望飛時的協(xié)同導引律性能驗證

考慮制導律式(10)，仿真參數(shù)如表2所示：

表2 各裝訂諸元的初始值

導引律參數(shù)為k1=100，k2=10，p=2.5。

仿真結(jié)果如圖4所示：

圖4 仿真結(jié)果

由圖4(a)可以看出，3駕無人機均可精確到達預期航跡點。由圖4(b)可看出，剩余飛行時間估計曲線嚴格收斂于期望飛行時間。

4.3 利用雙層協(xié)調(diào)制導結(jié)構(gòu)的制導律性能驗證

考慮制導律式(10)和協(xié)調(diào)一致算法式(28)，仿真參數(shù)如表3所示。

導引律參數(shù)為k1=100，k2=10，p=2.5。

仿真結(jié)果如圖5(a)所示：

圖5 仿真結(jié)果

由圖5(a)可以看出，3駕無人機均可精確到達預期點。為實現(xiàn)同時到達的目標，距預期點較近的無人機2采用“彎道繞行”的方式增加了飛行距離與飛行時間。由圖5(b)可以看出，3條剩余飛行時間軌跡均向預期剩余飛行時間軌跡靠攏。由此，進一步驗證了該協(xié)同導引體制的適用性。但從圖5(b)可以看出，該算法的收斂時間較長，在后續(xù)的研究中應進行進一步設計。

5 結(jié)論

設計了一種應用于多無人機系統(tǒng)的協(xié)同導引律，該導引律具有以下優(yōu)勢：1)時空信息精確，可使多無人機在同一時刻精確到達指定區(qū)域；2.)適用性強，稍加改進后既可適用于雙層協(xié)同制導結(jié)構(gòu)；3)可為后續(xù)無人機協(xié)同控制與時間調(diào)制的研究提供借鑒。