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        行星做橢圓軌道運動周期和能量的證明

        2018-08-31 07:49:16張海利
        物理通報 2018年9期
        關(guān)鍵詞:角動量行星橢圓

        張海利 侯 恕

        (東北師范大學(xué)物理學(xué)院 吉林 長春 130024)

        1 問題引出

        在本文的推導(dǎo)中需要引入角動量的知識,角動量是描述物體轉(zhuǎn)動狀態(tài)的物理量,角動量是參考點到質(zhì)點的位置矢量與質(zhì)點動量的叉乘,是矢量.角動量的方向一定垂直于位置矢量與質(zhì)點的動量所構(gòu)成的平面,表達式為L=r×mv,大小為L=mvτr,其中L是行星角動量的大小,vτ是垂直于徑向方向的速度,r是行星到太陽之間的距離[2].

        2 公式推導(dǎo)

        行星在太陽引力作用下沿橢圓軌道運動,軌道如圖1所示,行星和太陽的連線在相等的時間間隔內(nèi)掃過的面積相等.

        圖1 行星角動量沿橢圓軌道運動

        設(shè)行星的質(zhì)量為m,行星到太陽之間的距離為r,其在dt時間內(nèi)掃過的面積為

        單位時間內(nèi)掃過的面積為

        (1)

        式中L為行星角動量的大小.

        如圖2所示,A和B分別為行星的遠(yuǎn)日點和近日點,v1和v2分別表示在遠(yuǎn)日點和近日點的速度,下面對行星做橢圓軌道運動的周期和能量做一證明.

        圖2 遠(yuǎn)日點和近日點及其速度

        由圖2中的幾何關(guān)系可知

        r1=a+cr2=a-c

        其中r1+r2=2a

        r1·r2=a2-c2=b2

        (2)

        行星運動總機械能E等于其動能與勢能之和,設(shè)行星到太陽之間的距離為r,角動量的大小為L,近日點和遠(yuǎn)日點的機械能和角動量可表示為

        (3)

        L=mvr

        (4)

        將式(4)代入式(3)得

        (5)

        對式(5)變形得

        (6)

        r1和r2為方程(6)的解,結(jié)合式(2)并由韋達定理有[3]

        (7)

        (8)

        由式(7)推得

        (9)

        由式(8)推得

        (10)

        由式(1)推得行星運動的周期為

        (11)

        式中πab為橢圓的面積.

        將式(9)及式(10)代入式(11)得到

        (12)

        由式(12)可得

        則行星做橢圓軌道運動的周期和能量為

        其中M是太陽的質(zhì)量,G是引力常數(shù),a是半長軸.

        行星做橢圓軌道運動周期和能量的公式在解決問題中有很大的用處,下面的典型問題就是公式的實際應(yīng)用.

        3 解題應(yīng)用

        3.1 典型問題1

        要發(fā)射一顆人造地球衛(wèi)星,使它在半徑為r2的預(yù)定軌道上繞地球做勻速圓周運動,為此先將衛(wèi)星發(fā)射到半徑為r1的近地暫行軌道上繞地球做勻速圓周運動.如圖3所示,在A點,實際使衛(wèi)星速度增加,從而使衛(wèi)星進入一個橢圓的轉(zhuǎn)移軌道上,當(dāng)衛(wèi)星到達轉(zhuǎn)移軌道的遠(yuǎn)地點B時,再次改變衛(wèi)星速度,使它進入預(yù)定軌道運行,試求在橢圓軌道上A點,B點的速度和衛(wèi)星從A點到達B點所需的時間,設(shè)萬有引力恒量為G,地球質(zhì)量為M.

        圖3 典型問題1題圖

        分析:以vA和vB分別表示衛(wèi)星在橢圓軌道上A點和B點的速度,在橢圓軌道上A點和B點的機械能等于動能和勢能之和,根據(jù)推導(dǎo)出的行星能量的公式列式,有

        解得

        衛(wèi)星做橢圓軌道運動的周期

        則衛(wèi)星從A點運動到B點所需時間

        3.2 典型問題2

        從赤道上C點發(fā)射洲際導(dǎo)彈,使之精確地?fù)糁斜睒O點N,要求發(fā)射所用的能量最少.假定地球是一質(zhì)量均勻分布的半徑為R的球體,R=6 400 km.若不考慮地球的自轉(zhuǎn),則最小發(fā)射速度的大小為多少?

        圖4 典型問題2題圖

        圖5 幾何關(guān)系分析

        由幾何關(guān)系可知

        設(shè)發(fā)射時導(dǎo)彈的速度為v,則有

        代入數(shù)據(jù)得

        v=7.2 km/s

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