☉山東省廣饒縣實(shí)驗(yàn)中學(xué) 李國(guó)慶

課本習(xí)題是數(shù)學(xué)探究活動(dòng)很好的切入素材，是問(wèn)題延伸、解法衍生的關(guān)鍵材料.對(duì)習(xí)題進(jìn)行拓展變式探究，有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、形成解題方法、培養(yǎng)理性思維，下面將對(duì)一道幾何習(xí)題進(jìn)行拓展探索.

一、習(xí)題挖掘

1.習(xí)題解析

在課本教材中存在如下一道習(xí)題：如圖1，△ABD和△ACE是兩個(gè)等邊三角形，試猜想CD、BE的大小關(guān)系，并結(jié)合幾何性質(zhì)加以證明.

圖1

解析：猜想CD=EB，證明時(shí)需要將CD和EB放在△ACD和△AEB中，通過(guò)證明兩個(gè)三角形全等，利用全等三角形的性質(zhì)來(lái)求解.

2.結(jié)構(gòu)、本質(zhì)分析

從問(wèn)題的結(jié)構(gòu)上來(lái)看，可以將△ABD和△ACE看成△ABC的邊AB、AC上衍生的等邊三角形.從問(wèn)題的本質(zhì)來(lái)看，CD和EB分別位于擁有共同頂點(diǎn)A的△ACD和△ABE中，且△ACD?△AEB，則可以將△ACD看成△AEB經(jīng)過(guò)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到的，因此解題時(shí)需要利用圖形旋轉(zhuǎn)的位置變而大小不變的性質(zhì)，從三角形全等的角度來(lái)求解，這也是該習(xí)題教學(xué)中所承擔(dān)的任務(wù)，即強(qiáng)化學(xué)生全等三角形的證明及性質(zhì)利用.

二、拓展探索

拓展探究1：由問(wèn)題的本質(zhì)認(rèn)識(shí)可知，本題的求解核心是證明△ACD?△AEB，利用到了SAS定理，因此使上述兩個(gè)三角形獲得全等的條件是實(shí)現(xiàn)CD=EB的基礎(chǔ)，原習(xí)題中△ABC的邊上衍生了兩個(gè)等邊三角形，具有極大地特殊性，分析后易知若將衍生的三角形換成一般的三角形結(jié)論將不再成立，現(xiàn)嘗試將其換為等腰三角形，并配合一對(duì)頂角相等，繼續(xù)探究.

變式1：△ABC為一銳角三角形，分別以它的邊AB、AC為邊向外作等腰三角形△ABD和△ACE，使得AD=AB、AC=AE，∠BAD=∠CAE，然后連接CD、BE，如圖2，試猜想CD、BE的大小關(guān)系，并對(duì)其加以證明.

解析：猜想CD=EB，因?yàn)椤螧AD=∠CAE，則∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠DAC=∠BAE.又因?yàn)锳D=AB、AC=AE，所以△ADC?△ABE（SAS），則CD=EB（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.

本題目的條件換成了衍生等腰三角形，并配合一對(duì)頂角相等來(lái)繼續(xù)猜想，由于全等條件依然滿(mǎn)足，很顯然結(jié)論依然成立.以此為探究環(huán)境，可以隱去圖形中的一部分，進(jìn)行探究，如下：

變式2：在如圖3所示的四邊形ABCE中，有AB=a，BC=b，∠ABC=∠ACE=∠AEC=45°，試求BE的長(zhǎng).

圖2

圖3

圖4

解析：題目中的△ACE為一等腰直角三角形，而隱去了由邊AB衍生的同類(lèi)型三角形（等腰直角三角形），求BE的長(zhǎng)可以參考變式1對(duì)圖像進(jìn)行完善，以AB為直角邊作等腰直角三角形，如圖4，使得AD=AB，且∠DAB=90°，并連接CD.同樣可以證明△ADC?△ABE（SAS），有BE=DC，則只需要求出CD的長(zhǎng)即可，可將其放在Rt△DBC中，可知BD=a，則由勾股定理可知CD=

剖析：上述的拓展探究所展開(kāi)的兩個(gè)變式，實(shí)際上都是在同一平臺(tái)上進(jìn)行的，即由一三角形的兩邊衍生特殊的三角形.其中變式2將其中的一個(gè)衍生三角形進(jìn)行了隱去處理，給出相應(yīng)的線(xiàn)段長(zhǎng)，構(gòu)建了一個(gè)四邊形.求解線(xiàn)段長(zhǎng)同樣需要對(duì)圖形進(jìn)行完善，即構(gòu)造輔助線(xiàn)還原衍生三角形，利用習(xí)題的解題思路，先證明三角形全等建立邊長(zhǎng)關(guān)系，再求解.整個(gè)過(guò)程涉及到眾多的思維活動(dòng)，其中作圖、計(jì)算是基本操作，類(lèi)比、猜想、證明是高層次的思維探究，充分掌握習(xí)題所呈現(xiàn)的衍生三角形解法是解題的關(guān)鍵.

拓展探究2：習(xí)題中所呈現(xiàn)的是以△ABC的邊AB、AC衍生的特殊三角形，且可以將△ACD看成△ABE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定的角度得到的，同樣可以考慮在邊BC上增加一個(gè)同側(cè)衍生三角形，使得平面內(nèi)存在三個(gè)衍生三角形，并與頂點(diǎn)A形成一個(gè)四邊形，繼續(xù)從三角形的旋轉(zhuǎn)角度來(lái)探究圖形的形狀.

變式3：如圖5，△ABD、△AFC和△BCE分別是以△ABC的三邊AB、AC、BC為一邊在同側(cè)所作的三個(gè)等邊三角形.

（1）試證明四邊形ADEF為一平行四邊形；

（2）問(wèn)：當(dāng)△ABC滿(mǎn)足什么條件時(shí)，四邊形ADEF為矩形？

解析：證明四邊形ADEF為平行四邊形，需要對(duì)其角和線(xiàn)段關(guān)系進(jìn)行研究，從圖形旋轉(zhuǎn)角度來(lái)分析，可以將△BDE和△ECF看成△BAC旋轉(zhuǎn)得到的，證明過(guò)程可以結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，之后就可以利用旋轉(zhuǎn)特性、結(jié)合證明平行四邊形的條件來(lái)完成.而第（2）問(wèn)證明四邊形為矩形，則需要加入一內(nèi)角為直角，因?yàn)椤鰽BD和△AFC為等邊三角形，則有∠BAD=∠CAF=60°，要確?！螪AF=90°，則∠BAC=360°-90°-60°-60°=150°.因此條件就是△ABC的內(nèi)角∠BAC=150°.

上述的變式3是在三角形的同一側(cè)所作的三角衍生三角形，解題時(shí)發(fā)現(xiàn)可以從圖形旋轉(zhuǎn)角度思考，獲得了三個(gè)全等的三角形.同樣的可以在三角形的外側(cè)作三個(gè)三角形，并增加一定的條件，探究其中隱含的結(jié)論，現(xiàn)對(duì)其進(jìn)行變式.

圖5

圖6

變式4：如圖6，△ABD、△AFC和△BCE分別是以△ABC的三邊AB、AC、BC為一邊在外側(cè)所作的三個(gè)等邊三角形.當(dāng)∠ACB=60°時(shí)，試判斷S△ABC+S△ABD與S△BCE+S△ACF的大小關(guān)系.

解析：初步判斷S△ABC+S△ABD=S△BCE+S△ACF，求證時(shí)需要構(gòu)建涉及到的四個(gè)三角形面積關(guān)系.很顯然，單純的利用面積公式來(lái)求解則會(huì)很復(fù)雜，需要從三角形全等的角度進(jìn)行思考，我們可以利用∠ACB=60°先構(gòu)建一個(gè)與△ACF全等的三角形，在BC邊上取一點(diǎn)G，使得AG∥FC，很容易獲得△ACF≌△ACG，則必然兩者面積相等，下面則只需證明四邊形AGBD與△BCE的面積大小相等即可，連接DG、EG，將四邊形AGBD切割為△DBG和△ADG，將△BCE切割為△CGE和△EGB，只需要證明△DBG≌△EGB、△DGA≌△ECG就可以完成證明，經(jīng)推導(dǎo)證明條件可以獲得.

剖析：拓展探究二是從三角形構(gòu)建的方向來(lái)進(jìn)行的，即內(nèi)側(cè)和外側(cè)，并發(fā)現(xiàn)內(nèi)側(cè)構(gòu)建時(shí)圖形中存在由一個(gè)三角形旋轉(zhuǎn)得到的兩個(gè)三角形，即有三個(gè)相互全等的三角形；而外側(cè)構(gòu)建衍生三角形時(shí)，發(fā)現(xiàn)其中存在三角形的面積大小規(guī)律，當(dāng)然這些結(jié)論是建立在特定條件上的，但總體來(lái)說(shuō)是建立在以三角形的三邊衍生三角形的基本框架之上，其解題思路依然是習(xí)題中所陳述的利用三角形全等、旋轉(zhuǎn)角度進(jìn)行分析，尤其是對(duì)于變式4的面積大小關(guān)系，通過(guò)三角形的切割依然可以看作是三角形的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題，利用旋轉(zhuǎn)的特性本質(zhì)分析求解.

三、解后反思

1.關(guān)注教材習(xí)題，強(qiáng)化知識(shí)理解

本文所探究的習(xí)題，在教材中的目的是為鞏固學(xué)生全等三角形的證明及性質(zhì)等知識(shí)，由于設(shè)計(jì)新穎，具有極好的拓展價(jià)值，因此本文對(duì)其進(jìn)行了深度的拓展變式，近幾年的中考題也越來(lái)越多的注重從教材習(xí)題中提取素材，在教學(xué)中需要注重引導(dǎo)學(xué)生加以學(xué)習(xí).另外，依托課本教學(xué)習(xí)題，從不同的角度、不同的層面進(jìn)行拓展變式，有助于引導(dǎo)學(xué)生挖掘問(wèn)題中的“變”與“不變”的內(nèi)容，把握問(wèn)題本質(zhì)，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)于知識(shí)的理解.

2.提煉數(shù)學(xué)模型，形成解題方法

上述開(kāi)展習(xí)題的拓展探究實(shí)際上是對(duì)習(xí)題中隱含數(shù)學(xué)模型的探究，即從習(xí)題中提煉出研究問(wèn)題的模型，然后對(duì)模型進(jìn)行深度挖掘，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題模型的拓展推廣，因此可以說(shuō)幾何解題的過(guò)程是對(duì)問(wèn)題模型的研究過(guò)程，透析數(shù)學(xué)模型才是解題思路的核心所在.在教學(xué)中，教師應(yīng)緊抓教材習(xí)題，提煉問(wèn)題研究的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)對(duì)模型的不斷發(fā)掘、聯(lián)想、變形、歸納，使學(xué)生充分掌握數(shù)學(xué)解題的本質(zhì)方法.另外，在解題教學(xué)中應(yīng)適當(dāng)?shù)慕Y(jié)合中考題，將模型與考題進(jìn)行結(jié)合，逐步凝題成鏈，由鏈結(jié)網(wǎng)，使學(xué)生通過(guò)一道題的探究掌握一類(lèi)題的解法，真正達(dá)到“明題理，通類(lèi)題”的頓悟境界.

3.探究習(xí)題規(guī)律，發(fā)展學(xué)生思維

對(duì)習(xí)題的拓展變式不是單純的一種創(chuàng)新與改編，而是基于知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系性的一種深度拓展，是一種研究型的學(xué)習(xí)方式.在問(wèn)題的探究過(guò)程中可以引導(dǎo)學(xué)生多角度看待問(wèn)題，發(fā)掘問(wèn)題的隱含規(guī)律，總結(jié)其中的基本解法，獲得思維層面上的解題思路，如本習(xí)題的幾何圖形旋轉(zhuǎn)與特性利用，貫穿在整個(gè)變式問(wèn)題中，它是求解三角形三邊衍生問(wèn)題的核心方法，無(wú)論問(wèn)題的形式如何變化，建立三角形全等關(guān)系是解題的基本途徑.因此在教學(xué)中，需要教師引導(dǎo)學(xué)生探究習(xí)題的隱含規(guī)律，掌握問(wèn)題探究的基本方法，幫助學(xué)生完成從知識(shí)學(xué)習(xí)到方法總結(jié)、應(yīng)用的過(guò)渡，使學(xué)生形成自我更新、完善的思維習(xí)慣.

四、總結(jié)

教材習(xí)題是十分有價(jià)值的教學(xué)資源，是中考的源題精化所在，對(duì)習(xí)題進(jìn)行探究學(xué)習(xí)，不僅是一種高效的研究性學(xué)習(xí)手段，由于習(xí)題與階段性知識(shí)有著很好的銜接，還可以通過(guò)習(xí)題探究來(lái)幫助學(xué)生整合知識(shí)，探索規(guī)律，形成方法，獲得解題思路.課堂上開(kāi)展習(xí)題的拓展變式，是實(shí)現(xiàn)課堂基礎(chǔ)教學(xué)向?qū)嵱眯越忸}研究的自然過(guò)渡，是實(shí)現(xiàn)學(xué)生概念思維向變式思維的完美銜接，數(shù)學(xué)之美融于習(xí)題，精心研磨習(xí)題，學(xué)生的思維才可以在解題中得以放飛.