蘇宇鋒，秦立振

1 引言

Earnshaw定理[1]指出，永磁體不能在外界靜磁場(chǎng)中實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定的懸浮，除非有外力使其保持平衡。隨著抗磁性材料的發(fā)現(xiàn)，抗磁懸浮系統(tǒng)的可行性[2]得到了論證，并且在1939年，Braunbek在不均勻的強(qiáng)電磁場(chǎng)（2.1～2.4）T中利用微小片狀石墨和鉍建立起來(lái)懸浮[3]。此后，抗磁懸浮的研究一直在不斷的發(fā)展。

利用抗磁懸浮能夠在常溫下獲得穩(wěn)定無(wú)摩擦懸浮這一特點(diǎn)，很多學(xué)者將抗磁懸浮系統(tǒng)應(yīng)用到不同的研究領(lǐng)域中。文獻(xiàn)[4]將一個(gè)包含小型懸浮永磁體的抗磁懸浮系統(tǒng)應(yīng)用在磁驅(qū)動(dòng)薄膜執(zhí)行機(jī)構(gòu)中，通過(guò)懸浮永磁體的穩(wěn)定懸浮來(lái)調(diào)節(jié)磁驅(qū)動(dòng)薄膜的中間位置，在感應(yīng)線圈內(nèi)通入交流信號(hào)，則會(huì)改變懸浮永磁體所處環(huán)境的磁場(chǎng)，進(jìn)而驅(qū)動(dòng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)。文獻(xiàn)[5]則利用磁偶極子模型和圖形法對(duì)垂直方向上的抗磁懸浮系統(tǒng)進(jìn)行了理論分析，利用半解析法和離散體積法對(duì)系統(tǒng)中提升永磁體、懸浮永磁體和圓柱型熱解石墨材料薄板進(jìn)行參數(shù)化研究，以分析這些參數(shù)對(duì)懸浮永磁體懸浮間隙、系統(tǒng)的尺寸以及固有頻率的影響，在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)出的振動(dòng)式能量采集器，在加速度為0.081m/s2，頻率為2.1Hz的外界激勵(lì)下，產(chǎn)生的有效輸出功率為1.72μW。文獻(xiàn)[6]將通電導(dǎo)線圈包覆在環(huán)形永磁鐵外，并且不同的位置包覆的線圈匝數(shù)不同，這樣就得到了外形上近似為圓錐，倒圓錐和菱形的等效提升永磁體，通過(guò)改變通電導(dǎo)線圈內(nèi)的電流來(lái)改變懸浮永磁體所受外界磁場(chǎng)的磁場(chǎng)強(qiáng)度，進(jìn)而得到懸浮永磁體在垂直方向上穩(wěn)定懸浮空間的變化，并通過(guò)理論分析，發(fā)現(xiàn)要獲得更大的穩(wěn)定空間就需要距離提升永磁體更遠(yuǎn)，或者能夠使得在懸浮永磁體處的磁感應(yīng)強(qiáng)度關(guān)于位置變化的二階導(dǎo)數(shù)更小。文獻(xiàn)[7]則分析了非垂直方向上實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定懸浮的條件，通過(guò)理論分析，模擬仿真以及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，實(shí)現(xiàn)了在水平方向上的穩(wěn)定懸浮。文獻(xiàn)[8]則利用這一方案實(shí)現(xiàn)了在低頻外界振動(dòng)作用下的能量采集器的設(shè)計(jì)，所設(shè)計(jì)的能量采集器的共振頻率為1.2Hz，輸出功率為3.6μW。

文獻(xiàn)[9]利用在垂直方向上比較容易實(shí)現(xiàn)抗磁懸浮設(shè)計(jì)出了一種能量采集器，但只分析了在兩熱解石墨板間距一定時(shí)的懸浮狀態(tài)，并未就兩熱解石墨板間距變化對(duì)懸浮永磁體懸浮狀態(tài)的影響予以深入討論。在文獻(xiàn)[9]提出的抗磁懸浮能量采集器結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上，通過(guò)有限元軟件仿真計(jì)算，分析了懸浮永磁體平衡位置和兩熱解石墨板間距的關(guān)系，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)予以驗(yàn)證。

2 裝置模型與理論分析

抗磁懸浮系統(tǒng)中永磁體的磁場(chǎng)強(qiáng)度以及抗磁性材料的磁化率是影響懸浮系統(tǒng)的兩個(gè)關(guān)鍵的參數(shù)。永磁體的磁場(chǎng)強(qiáng)度越大，抗磁性材料的磁化率越大，兩者之間相互作用的抗磁力也越大。因此，選擇磁能積和矯頑力比較大的釹鐵硼（NdFeB）作為懸浮系統(tǒng)中永磁體材料，選擇磁化率很大的熱解石墨（磁化率χ=-450×10-6）作為抗磁性材料?？勾艖腋∧芰坎杉髯陨隙率怯商嵘来朋w、上熱解石墨板、懸浮永磁體、下熱解石墨板以及鍍?cè)趦蔁峤馐迳暇€圈組成，其模型側(cè)重受力分析，沒(méi)有畫(huà)出線圈，如圖1所示。其中，懸浮永磁體受力分析，如圖2所示。

圖1 抗磁懸浮能量采集器結(jié)構(gòu)模型Fig.1 The Structure Model of Energy Harvester Based on Diamagnetic Levitation

圖2 懸浮永磁體受力分析圖Fig.2 The Force Analysis of Floating Magnet

在豎直方向上，懸浮永磁體受到提升永磁體對(duì)其作用的吸引力F，上下熱解石墨板對(duì)其作用的抗磁力F2、F1以及其所受到的重力G，因此，懸浮永磁體所受合力：

在穩(wěn)定狀態(tài)下，懸浮永磁體所受合力F合=0，懸浮永磁體在實(shí)驗(yàn)中穩(wěn)定時(shí)的懸浮狀態(tài)，如圖3所示。

圖3 實(shí)驗(yàn)裝置圖Fig.3 The Experimental Setup for This Study

當(dāng)外界對(duì)懸浮裝置施加振動(dòng)激勵(lì)時(shí)，由于熱解石墨板上的銅線圈和懸浮永磁體振動(dòng)不同步而發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而切割磁感線，在線圈內(nèi)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。

為求得懸浮永磁體所受合力和系統(tǒng)各參數(shù)之間的關(guān)系，需要將懸浮永磁體所受各個(gè)力進(jìn)行參數(shù)化表示。提升永磁體對(duì)懸浮永磁體在豎直方向上的作用力可用如下表達(dá)式計(jì)算。

式中：d1、h1、d3、h3—提升永磁體和懸浮永磁體的直徑和厚度；μ0=4π×10-7H/m，為真空中磁導(dǎo)率；M1、M2—提升永磁體和懸浮永磁體磁化強(qiáng)度。

下熱解石墨板對(duì)懸浮永磁體在豎直方向上的作用力可從文獻(xiàn)[10]推導(dǎo)如下：

相似地，上熱解石墨板懸浮永磁體作用力為：

從圖1中模型的幾何關(guān)系可知，兩熱解石墨板間距L為：

不難看出，當(dāng)h=h′時(shí)，兩熱解石墨板對(duì)懸浮永磁體作用力大小相等，方向相反，如果此時(shí)提升永磁體對(duì)懸浮永磁體作用的引力和懸浮永磁體所受重力相等，即F=G，那么F合=0?？汕蟮茫?/p>

式中：ρ=7.4×103kh/m3，為永磁體材料釹鐵硼（NdFeB）的密度。

以H0作為運(yùn)動(dòng)初始位置，向下為正方向，位移x，其作用力隨位置變化關(guān)系式為：

從式（7）可以看出，兩熱解石墨板間距L對(duì)懸浮永磁體在偏離初始位置x時(shí)所受合力有很大影響。為便于計(jì)算，利用有限元軟件COMSOLMultiphysicsTM建立裝置模型，進(jìn)行受力計(jì)算，并通過(guò)MATLAB進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，進(jìn)而求得平衡位置與兩熱解石墨板間距的關(guān)系表達(dá)式。

3 抗磁懸浮裝置模型仿真分析

在有限元軟件COMSOLMultiphysicsTM下建立抗磁懸浮裝置模型，模型參數(shù)，如表1所示。對(duì)該模型進(jìn)行靜力分析，通過(guò)消除磁力計(jì)算的累積誤差[11]后進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，得到提升永磁體與懸浮永磁體之間作用力隨其間距H變化曲線，如圖4所示。懸浮永磁體受到的單塊熱解石墨板對(duì)其的抗磁力隨兩者之間間距h變化曲線，如圖5所示。

表 1抗磁懸浮裝置有限元模型建模參數(shù)Tab.1 Parameter for the Finite Element Model of the Diamagnetic Levitation Structure

圖4 磁力隨間距H變化曲線Fig.4 Curve of Magnetic Force Varying with Gap H

圖5 抗磁力隨間距h變化曲線Fig.5 Curve of Diamagnetic Force Varying with Gap h

通過(guò)對(duì)圖4和圖5中仿真得到的力分別進(jìn)行多項(xiàng)式擬合可得：

這樣得到懸浮永磁體的受力與兩熱解石墨板間距L和位移x的關(guān)系表達(dá)式為：

為便于分析，令：

顯然，x=0是方程F合=0的一個(gè)根。方程是否還有其它實(shí)根，則需要分析：

4 懸浮永磁體靜平衡位置分析與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

由以上分析可知，在兩熱解石墨板間距L在L＞5.54mm時(shí)，懸浮永磁體所受合力有3個(gè)零點(diǎn)，但這3個(gè)零點(diǎn)并非全是平衡位置。選擇兩熱解石墨板中間對(duì)稱平面為勢(shì)能為0的平面，繪制懸浮永磁體在兩熱解石墨板間距為5mm和7.4mm時(shí)，和對(duì)稱平面相距x的受力和勢(shì)能曲線，如圖6所示。由勢(shì)能變化曲線可以看出，當(dāng)熱解石墨板間距L=5mm時(shí)，勢(shì)能在懸浮永磁體活動(dòng)空間內(nèi)只有一個(gè)最低點(diǎn)，由能量最小原理可知這個(gè)點(diǎn)即是懸浮永磁體的平衡位置。而當(dāng)L=7.4mm時(shí)，在x=0處，即兩熱解石墨板對(duì)稱平面上，懸浮永磁體勢(shì)能并不是最低，懸浮永磁體并不能夠穩(wěn)定靜止，它會(huì)向能量更低的方向運(yùn)動(dòng)。因此x=0點(diǎn)并非其運(yùn)動(dòng)的平衡位置，通過(guò)之前分析得到受力的另外兩個(gè)零點(diǎn)才能夠保證懸浮永磁體穩(wěn)定懸浮。

圖6 熱解石墨板間距分別為5mm、7.4mm時(shí)懸浮永磁體受力和勢(shì)能變化Fig.6 The Resultant Force and Potential Energy of Floating Magnet Varying with Distance x when the Gap of Two Pyrolytic Graphite Plates are 5mm and 7.4mm

為了驗(yàn)證上述關(guān)于懸浮永磁體靜平衡位置的研究結(jié)論，我們搭建了如圖3所示的實(shí)驗(yàn)裝置對(duì)抗磁懸浮裝置中懸浮永磁體的平衡位置加以研究。兩熱解石墨板間距分別為7.4mm和5mm時(shí)懸浮永磁體懸浮狀態(tài)，如圖7所示。通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)在兩熱解石墨板間距為5mm時(shí)，懸浮永磁體能夠穩(wěn)定懸浮在兩熱解石墨板中間對(duì)稱面上，給懸浮永磁體一微小擾動(dòng)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，其仍能回到初始位置，因此，在板間距為5mm時(shí)，懸浮永磁體呈現(xiàn)出單平衡現(xiàn)象。當(dāng)兩熱解石墨板間距為7.4mm時(shí)，懸浮永磁體并不能夠在兩熱解石墨板對(duì)稱面處懸浮，它會(huì)朝著其中一個(gè)熱解石墨板運(yùn)動(dòng)，然后逐漸穩(wěn)定懸浮下來(lái)，給予懸浮永磁體以擾動(dòng)，懸浮永磁體會(huì)越過(guò)兩熱解石墨板對(duì)稱平面在接近另一個(gè)熱解石墨板處穩(wěn)定懸浮下來(lái)，也即懸浮永磁體出現(xiàn)了明顯的雙平衡位置現(xiàn)象。圖8則給出了理論曲線和通過(guò)實(shí)驗(yàn)觀測(cè)到的數(shù)據(jù)點(diǎn)，可以看出，在雙平衡位置處，通過(guò)仿真計(jì)算得到的關(guān)系曲線和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)是相同的，只是在數(shù)據(jù)的契合程度上比較大的偏差，這是因?yàn)椋海?）實(shí)驗(yàn)中所用的永磁體會(huì)和其所標(biāo)定的規(guī)格有偏差。（2）實(shí)驗(yàn)中熱解石墨板厚度并不均勻（2.8～3.1）mm。（3）實(shí)驗(yàn)環(huán)境達(dá)不到仿真環(huán)境的理想程度。

圖7 熱解石墨板間距分別為7.4mm和5mm時(shí)懸浮永磁體懸浮狀態(tài)Fig.7 The States of Suspension of Floating Magnet when the Gap of Two Pyrolytic Graphite Plates are 7.4mm and 5mm

圖8 平衡位置x隨兩熱解石墨板間距L變化Fig.8 The Equilibrium Position x Varying with the Gap L of Two Pyrolytic Graphite Plates

5 結(jié)論

通過(guò)對(duì)抗磁懸浮裝置中懸浮永磁體受力的理論分析和仿真計(jì)算，發(fā)現(xiàn)當(dāng)兩個(gè)熱解石墨板間距變化時(shí)，懸浮永磁體在兩熱解石墨板間的平衡位置會(huì)發(fā)生變化，并且會(huì)出現(xiàn)多個(gè)平衡位置的現(xiàn)象。對(duì)抗磁懸浮能量采集器，當(dāng)兩塊熱解石墨板間距L處在時(shí)，懸浮永磁體只有一個(gè)平衡位置，平衡位置位于兩熱解石墨板中間對(duì)稱面上。當(dāng)兩塊熱解石墨板間距處在時(shí)，懸浮永磁體有兩個(gè)平衡位置，這兩個(gè)平衡位置相距兩熱解石墨板對(duì)稱面的間距呈對(duì)稱分布。搭建實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了懸浮永磁體平衡位置的存在。在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)會(huì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果和理論曲線變化趨勢(shì)相同，但數(shù)據(jù)點(diǎn)會(huì)有誤差，分析了這種誤差產(chǎn)生的原因，進(jìn)一步驗(yàn)證了理論分析的合理性。

抗磁懸浮振動(dòng)能量采集器的平衡位置的確定是能量采集器的設(shè)計(jì)和應(yīng)用上很重要的前提，但由于能量采集器的工作過(guò)程中其懸浮是動(dòng)態(tài)的，因此研究工作過(guò)程的平衡位置的影響因素對(duì)分析能量采集器的穩(wěn)定性、安全性以及輸出特性上都有很大的價(jià)值。研究為抗磁懸浮能量采集器工作過(guò)程的平衡位置的研究提供了理論基礎(chǔ)和實(shí)驗(yàn)依據(jù)。