摘 要：現(xiàn)階段我們就二元函數已經取得了一定的研究成果，特別是針對其連續(xù)性與偏導數之間具有什么樣的聯(lián)系有了一定的研究。不過，我國目前并沒有把這些國際前沿成果編著在高等數學教材當中。學生在課本上看到的東西都是比較片面而淺顯的，沒有從根本上闡述清楚這些問題。僅僅憑借課本，學生想要對于這部分內容有一個比較全面而準確地把握是比較困難的。希望借助本篇文章能夠對于學習二元函數相關知識的人有所幫助。

關鍵詞：二元函數；連續(xù)性；偏導數

一、二元函數的連續(xù)性

設f為定義在點集上的二元函數，P0∈D（它或者是D的聚點，或者是D的孤立點）。對于任給的正數ε，總存在相應的正數δ，只要，就有則稱f關于集合D在點P0連續(xù)，在不致誤解的情況下，也稱f在點P0連續(xù)。要是說f在所有D中的點都是連續(xù)的，那么我們就說f這個函數在D這個集合連續(xù)。這樣的話我們能夠看到，要是說P0為D一個孤立點的話，其實P0肯定為f關于D的連續(xù)點。要是P0是聚點的話，那么其實f關于D在P0連續(xù)也可以寫成是。

二、二元函數的偏導數

由一元函數微分學知道：若在點x0可微，則函數增量為，這里面。而且我們能夠看到要是f在是可微函數的話，這個點處函數全增量。我們想要找到的是函數和兩個參數的聯(lián)系。在里面，讓，得到關于x的偏增量?xz。同時我們能夠知道。

如果說的話，那么我們就有。右邊其實就是的時候，的導數。令，由有，它是關于y的一元函數在處的導數。

這樣的話其實我們就能夠看到在這個點對x的偏導數，這樣其實就是把其中一個未知量y當成是常數，取值就是y0處的值， 也就是說函數偏導數能夠看成是當x=x0的時候的導數。那么要是說我們讓給x等于x0的話，要是?y存在極限的話，其實也就是在的時候對y的偏導數。

設函數，。若，且在x0的某一鄰域內有定義，則當極限存在時，稱這個極限為函數f在點關于x的偏導數，記作或。

三、二元函數偏導數存在性

當（x，y）=（x0，y0）的時候的偏導是有其特定意義的，而不是單純的一個數值。是上的點。過M0作平面y=y0，截得曲線，我們能夠得到y(tǒng)=y0上曲線方程是，也就是說有。這其實就是，也就是說曲線在M0處的切線對x軸的斜率。同樣的道理我們能夠知道其實就是曲面被x=x0截得曲線在點M0處的切線對y軸的斜率。

我們在上文當中提到，如果自變量個數是一的時候，其實點a處是可導的就意味著a處是連續(xù)的。不過如果說自變量變成兩個的話，其實這兩個概念就不存在這樣的關系了。之所以會出現(xiàn)這樣的情況是由于存在偏導數其實也就是說點P沿特定方向靠近P0，有f（P）慢慢向f（P0 ）靠近。這個方向是和坐標軸平行的。但不能保證點P按任何方式趨于P0時，函數值f（P）都趨于f（P0 ）。

四、二元函數連續(xù)性的進一步研究

我們在上文當中提到，如果自變量個數是一的時候，其實點a處是可導的就意味著a處是連續(xù)的。不過如果說自變量變成兩個的話，其實這兩個概念就不存在這樣的關系了。那么函數是否存在偏導數和函數是否連續(xù)之間存在怎樣的內在聯(lián)系，我們需要對此進行更深入地研究。

定理1：設函數在點的某鄰域內有定義，若作為y的一元函數在點y=y0連續(xù)，在內有界，則在點連續(xù)。

證明：任取，則： （1）

因為當x屬于的時候是一個有界函數，所以說，可導，所以有屬于區(qū)間（0，1），滿足。將它代入（1）式，得（2）

由于 ，故有界，因而當時，有：。

我們還能夠看到，當y=y0的時候是連續(xù)的，所以說的話，我們能夠得到。所以，由（2）有：。

這說明在點連續(xù)。

推論1：設函數在點的某鄰域內有定義，若作為y的一元函數在點y=y0連續(xù)，在點 連續(xù)，則在點連續(xù)。

下面我們給出證明。

因為在是一個連續(xù)函數，也就是說在某鄰域當中是一個界函數，所以我們知道在是一個連續(xù)函數。

推論2：設函數在點的某鄰域內有定義。 若在有界，存在，則 在點連續(xù)。

下面我們給出證明：因為，所以我們能夠知道在y=y0的時候是一個連續(xù)的一元函數，所以我們能夠知道在的時候是一個連續(xù)函數。

五、結束語

通過上文，我們能夠知道，在一元函數中函數在一點可導則意味著函數在這一點連續(xù)。但是對于二元函數來說即使在某一點是連續(xù)的，但是在該點其偏導數不一定存在，同樣的對于二元函數來說，在某一點偏導數存在但是也并不意味著函數在該點連續(xù)。

參考文獻：

[1]李承杭，苗靜靜.關于二元函數二階混合偏導數相等與否的進一步研究[J].中國培訓，2016（22）：210.

[2]吳發(fā)漢，隋艷，翁伯.關于二元函數的偏導數存在性問題的探討[J].教育界：高等教育研究，2017（15）：75-76.

作者簡介：胡嬌鈴（1991—），女，漢族，廣東汕頭人，本科，助教，主要研究方向：數學與應用數學。