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        關(guān)于哥德巴赫猜想、孿生素?cái)?shù)猜想的新思路以及因數(shù)分解的一個多項(xiàng)式算法

        2018-08-27 17:27:16謝翰
        文理導(dǎo)航 2018年11期
        關(guān)鍵詞:哥德巴赫猜想

        謝翰

        【摘 要】 證明哥德巴赫猜想的思路有四種,這四種思路分別是:例外集合,小變量的三素?cái)?shù)定理,幾乎哥德巴赫問題,殆素?cái)?shù)。本文提出了不同以往的第五種思路,創(chuàng)建出了α數(shù)集和β數(shù)集,成功地將哥德巴赫猜想拆解成為兩個更基本的猜想。此外,給出了孿生素?cái)?shù)猜想的一個證明途徑以及因數(shù)分解的一個多項(xiàng)式算法。

        【關(guān)鍵詞】孿生素?cái)?shù)猜想;哥德巴赫猜想;第五種思路;α數(shù)β數(shù);因數(shù)分解多項(xiàng)式算法

        史上和素?cái)?shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)猜想中,最著名的當(dāng)然就是“哥德巴赫猜想”了。

        1742年6月7日,德國數(shù)學(xué)家哥德巴赫在寫給著名數(shù)學(xué)家歐拉的一封信中,提出了兩個大膽的猜想:

        (一)每一個不小于6的偶數(shù),都是兩個奇素?cái)?shù)之和;

        (二)每一個不小于9的奇數(shù),都是三個奇素?cái)?shù)之和。

        這就是數(shù)學(xué)史上著名的“哥德巴赫猜想”。顯然,第二個猜想是第一個猜想的推論。因此,只需在兩個猜想中證明第一個猜想就足夠了。證明哥德巴赫猜想的思路有四種,這四種思路分別是:例外集合,小變量的三素?cái)?shù)定理,幾乎哥德巴赫問題,殆素?cái)?shù)。

        這四種思路中只有殆素?cái)?shù)的思路取得了比較重大的突破。

        殆素?cái)?shù)就是素因子個數(shù)不多的正整數(shù)?,F(xiàn)設(shè)N是偶數(shù),雖然不能證明N是兩個素?cái)?shù)之和,但足以證明它能夠?qū)懗蓛蓚€殆素?cái)?shù)的和,數(shù)學(xué)家把命題“任一充分大的偶數(shù)都可以表示成為一個素因子個數(shù)不超過a個的數(shù)與另一個素因子不超過b個的數(shù)之和”記作“a+b”。1966年,我國著名數(shù)學(xué)家陳景潤攻克了“1+2”,也就是:“任何一個足夠大的偶數(shù),都可以表示成兩個數(shù)之和,而這兩個數(shù)中的一個就是奇素?cái)?shù),另一個則是兩個奇素?cái)?shù)的積。”這個定理被世界數(shù)學(xué)界稱為“陳氏定理”。由于陳景潤的貢獻(xiàn),人類距離哥德巴赫猜想的最后結(jié)果“1+1”僅有一步之遙了。但為了實(shí)現(xiàn)這最后的一步,也許還要?dú)v經(jīng)一個漫長的探索過程。有許多數(shù)學(xué)家認(rèn)為,要想證明“1+1”,必須通過創(chuàng)造新的數(shù)學(xué)方法,以往的路很可能都是走不通的。據(jù)此,本文作者從基本問題出發(fā),為學(xué)界提供了不同以往的第五種思路。

        奇素?cái)?shù)可分為兩大類:模4余3(即余-1)的素?cái)?shù)稱為α素?cái)?shù),模4余1的素?cái)?shù)稱為β素?cái)?shù)。

        α素?cái)?shù)與1的和除以4得出來的數(shù)就是α數(shù){1,2,3,5,6,8,11,12,15,17,18,20,21,26,27,32,33,35,38,…},β素?cái)?shù)與1的差除以4得出來的數(shù)就是β數(shù):{1,3,4,

        7,9,10,13,15,18,22,24,25,27,28,34,37,39,…}。

        α素?cái)?shù)可表示為4α-1,β素?cái)?shù)可表示為4β+1。

        一、證明了以下猜想(猜想一和猜想二)可以推出(從而強(qiáng)于)哥德巴赫猜想:

        我們還需要建立“和集”的概念:設(shè)A,B是正整數(shù)集的非空子集,則它們的和集A+B={a+b:a∈A,b∈B}。

        兩個α素?cái)?shù)的和集:(4α■-1)+(4α■-1)=4(α■+α■)-2;

        α素?cái)?shù)與β素?cái)?shù)的和集:(4α■-1)+(4β■+1)=4(α■+β■)。

        當(dāng)α■+α■={2,3,4,…}且α■+β■={2,3,4,…}時,4(α■+α■)-2和4(α■+β■)就構(gòu)成不小于6的全體偶數(shù)的集合{6,8,10,12,…}。哥德巴赫猜想于是就歸結(jié)為以下兩個猜想(猜想一、猜想二):

        α數(shù)與α數(shù)的和集等于{2,3,4,…}。

        α數(shù)與β數(shù)的和集等于{2,3,4,…}。

        證明過程(以下n∈N+):

        α數(shù)與α數(shù)的和集等于{2,3,4,…,n+1,…} α素?cái)?shù)與α素?cái)?shù)的和集等于{6,10,14,…,4(n+1)-2,…}——①

        α數(shù)與β數(shù)的和集等于{2,3,4,…,n+1,…} α素?cái)?shù)與β素?cái)?shù)的和集等于{8,12,16,…,4(n+1),…}——②

        ①、②每一個不小于6的偶數(shù),都是兩個奇素?cái)?shù)之和。

        二、只要證明猜想三(或猜想四):α數(shù)集與β數(shù)集的交集是一無窮數(shù)集(或α數(shù)集與β數(shù)集加1的交集是一無窮數(shù)集,也就證明了孿生素?cái)?shù)有無窮對。這是因?yàn)楫?dāng)α=β時α素?cái)?shù)4α-1與β素?cái)?shù)4β+1兩者是孿生素?cái)?shù),當(dāng)α=β+1時α素?cái)?shù)4α-1=4(β+1)-1=4β+3與β素?cái)?shù)4β+1兩者也是孿生素?cái)?shù)。

        三、對α數(shù)集的研究發(fā)現(xiàn)α數(shù)集缺少形如1+3n(n∈N■)的數(shù),用2■+5n、3■+7n、4■+9n…試驗(yàn)也符合,于是得到α數(shù)的重要性質(zhì)(猜想五):α數(shù)集是{x:x=a■+(2a+1)n,a、n∈N■}在正整數(shù)集中的補(bǔ)集。對β數(shù)集的研究發(fā)現(xiàn)β數(shù)集缺少2、形如k+(4k+1)n(k、n∈N■)的數(shù)、形如3k-1+(4k-1)n(k、n∈N■)的數(shù),于是得到β數(shù)的重要性質(zhì)(猜想六):β數(shù)集是三個數(shù)集{2}、{x:x=k+(4k+1)n,k、n∈N■}、{x:x=3k-1+(4k-1)n,k、n∈N■}的并集在正整數(shù)集中的補(bǔ)集。

        四、因數(shù)分解是數(shù)論中的一個基本問題,從其誕生到現(xiàn)在已有數(shù)百年歷史,然而真正引起數(shù)學(xué)家、計(jì)算機(jī)科學(xué)家及密碼學(xué)家的極大關(guān)注卻是近幾年的事,最直接的原因是因?yàn)橐恍┬碌拿艽a體系及簽名格式的安全性被認(rèn)為是基于大整數(shù)因數(shù)分解的難解性,因而大整數(shù)因數(shù)分解的任何一點(diǎn)進(jìn)展,都將引起密碼學(xué)家的關(guān)注;另外,大整數(shù)因數(shù)分解屬于NP類,它是否存在多項(xiàng)式時間的算法是數(shù)學(xué)家及計(jì)算機(jī)科學(xué)家所極為關(guān)心的。

        合數(shù)中的偶合數(shù)約去2n后化為奇數(shù),所以因數(shù)分解問題歸結(jié)為奇數(shù)的分解問題。經(jīng)過多番艱苦嘗試,我發(fā)展出一套獨(dú)樹一幟的分解方法,M<100000000時分解成功率高達(dá)100%,而時間上限僅為3216·(lnM)■,(時間≤2·log■M·log■M)。以下是我的多項(xiàng)式算法(雙覆蓋法):

        (1)輸入被分解數(shù)M(設(shè)M是一個大于1的奇數(shù))。

        (2)執(zhí)行:a=M。

        (3) 執(zhí)行賦值:a=[a·0.99■·0.94■]+1-mod([a·0.99■·0.94■],2).x、y∈N,x+y=1。

        (4)執(zhí)行:求a與M的最大公因子r。

        (5)條件:r>1或a窮盡了① ?否,返回(3);是,進(jìn)入(6)。

        (6)條件:r>1?是,則(7);否,則(8)。

        (7)輸出:被分解數(shù)M有真因子r及M/r。

        (8)執(zhí)行:b=M+[M■]+mod([M■],2)M<[M■]*([M■]+1)時;或b=M-{[M■]+mod([M■],2)}M>[M■]*([M■]+1)時。

        (9)執(zhí)行:求b與M的最大公因子r。

        (10) 執(zhí)行賦值:b=[b·0.99■·0.94■]+1-mod([b·0.99■·0.94■],2).x、y∈N,x+y=1。

        (11)條件:r>1或b窮盡了①?否,返回(9);是,進(jìn)入(12)。

        (12)條件:r>1?否,則(13);是,則(14)。

        (13)輸出:被分解數(shù)M不能經(jīng)由本法分解或M是素?cái)?shù)。

        (14)輸出:被分解數(shù)M有真因子r及M/r。

        注①:在Excel上就可直觀地看到。

        設(shè)M是二素積合數(shù),M=p■p■(p■

        【參考文獻(xiàn)】

        [1]閔嗣鶴,嚴(yán)士健.初等數(shù)論[M].第三版.北京:高等教育出版社,2003:212-214

        [2]p.里本伯姆,孫淑玲,馮克勤譯.博大精深的素?cái)?shù)[M].北京:科學(xué)出版社,2007:220-225

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