游禮星

【摘要】自然數(shù)數(shù)量龐大，無(wú)窮無(wú)盡，這是數(shù)論研究中一個(gè)棘手的問(wèn)題.但如果能化無(wú)限為有盡，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，那么將會(huì)有非常奇妙的結(jié)果.本文根據(jù)自然數(shù)的性質(zhì)、特點(diǎn)，把自然數(shù)壓縮成幾種類(lèi)型，雖然壓縮后的幾類(lèi)數(shù)與自然數(shù)在外在方面差別巨大，但卻保留了自然數(shù)本質(zhì)方面的特點(diǎn).對(duì)這幾類(lèi)數(shù)，同樣可以做加、減、乘、除等方面的運(yùn)算，從而更方便地對(duì)自然數(shù)進(jìn)行分析，把握自然數(shù)更多的內(nèi)在本質(zhì)、規(guī)律，解決數(shù)論中的一些問(wèn)題.

【關(guān)鍵詞】自然數(shù)；壓縮；分解

分類(lèi)號(hào)：數(shù)學(xué)筆者偶然產(chǎn)生了壓縮自然數(shù)的想法：餅干能壓縮，壓縮后的餅干量并不減少，而餅干的質(zhì)量也未改變.如果能像壓縮餅干似的把自然數(shù)進(jìn)行壓縮，那么或許能產(chǎn)生奇妙的效果.

一、數(shù)的壓縮的含義

所有的自然數(shù)都可以壓縮成以下十種類(lèi)型：1s，2s（我們把任一自然數(shù)的各位數(shù)字相加，然后把得到的數(shù)值的各位數(shù)字再次相加，如此反復(fù)，最終得到的結(jié)果必然是0，1，我們把這樣的過(guò)程叫作數(shù)的壓縮，其中8，9是初級(jí)壓縮的核心數(shù)，1s，2s為壓縮結(jié)果）如7 864 391的各位數(shù)字相加和為38，再把38兩位數(shù)字相加和為11，再把11兩位數(shù)字相加和為2，則壓縮成的核心數(shù)為11，其為90n+11.以上為一級(jí)壓縮，有時(shí)為了不同的運(yùn)算目的，我們還可以做更細(xì)的壓縮，如二級(jí)壓縮，三級(jí)壓縮等.壓縮的形式還可以有其他的類(lèi)型，比如，跳躍式壓縮，綜合壓縮等，需要我們更進(jìn)一步的研究.壓縮的核心數(shù)越大，與被壓縮數(shù)各方面的屬性越接近.

二、數(shù)的壓縮的運(yùn)算方法

示例：254 198+419 053=2s+4s=6s（為了壓縮方便可采用合九歸零的方法，以提高壓縮的速度，一級(jí)二級(jí)三級(jí)壓縮等相類(lèi)似數(shù)相加，核心數(shù)也相加）.

（1）以下為初級(jí)壓縮的數(shù)的和的部分運(yùn)算法則：1s+1s=2s；1s+2s=3s；1s+3s=4s；1s+4s=5s；1s+5s=6s；1s+6s=7s；1s+7s=8s；1s+8s=9s；1s+9s=1s.（2）以下為初級(jí)壓縮的數(shù)的差的部分運(yùn)算法則：（當(dāng)被減數(shù)大于減數(shù)時(shí)，適合以下法則，否則結(jié)果不同）1s-1s=9s；1s-2s=8s；1s-3s=7s；1s-4s=6s；1s-5s=5s；1s-6s=4s；1s-7s=3s；1s-8s=2s；1s-9s=1s.（3）以下為初級(jí)壓縮的數(shù)的積的部分運(yùn)算法則：1s×1s=1s；1s×2s=2s；1s×3s=3s；1s×4s=4s；1s×5s=5s；1s×6s=6s；1s×7s=7s；1s×8s=8s；1s×9s=9s.（4）以下為初級(jí)壓縮的數(shù)的商的運(yùn)算法則：（因下文未涉及，故此處略）（5）以下為初級(jí)壓縮的數(shù)的乘方的運(yùn)算法則表：1ns=1s；26n+1s=2s；26n+2s=4s；26n+3s=8s；26n+4s=7s；26n+5s=5s；26ns=1s；31s=3s；3ns=9s；43ns=1s；43n+1s=4s；43n+2s=7s；56n+1s=5s；56n+2=7s；56n+3s=8s；56n+4s=4s；56n+5s=2s；56ns=1s；61s=6s；3ns=9s；73ns=1s；73n+1s=7s；43n+2s=4s；82ns=1s；82n+1s=8s；9ns=9s.數(shù)的乘方的壓縮的運(yùn)算法則：數(shù)的乘方是自然數(shù)中特殊的一種類(lèi)型，它的一級(jí)二級(jí)三級(jí)等運(yùn)算法則也有特殊的地方，即它們的壓縮值除了有上面初級(jí)壓縮的數(shù)的乘方的變化外，它們的核心數(shù)也發(fā)生變化，它們的核心數(shù)為原核心數(shù)的相應(yīng)次方.

三、數(shù)的壓縮原理的應(yīng)用

1.以下試圖用數(shù)的壓縮的原理證明費(fèi)馬爾猜想（由于論題太大，本文只證明某些類(lèi)的數(shù)符合費(fèi)馬爾猜想的要求）證明xn+yn=gn只要證明以下不等式成立即可.以下一些形式有相似的特點(diǎn)，我們先證明其中一種：（1）證明不成立，即不可能等于任何正整數(shù)的相應(yīng)次方.當(dāng)k不為零時(shí)，6k+3為合數(shù)，因前人早已證明，當(dāng)n為合數(shù)時(shí)，xn+yn=gn不成立，故16k+2s+26k+2s也不可能為任何數(shù)的相應(yīng)次方.6k+4為合數(shù)，當(dāng)n不為1時(shí)，沒(méi)有任何數(shù)的相應(yīng)次方為6s，綜合以上分析，可知不等于任何數(shù)的相應(yīng)次方.與情況相近，也可以很容易地得到證明，這里不再贅述.（2）證明1ns+9ns=gns不成立.其壓縮值為1s，而這些n皆為合數(shù)，所以才可能成立.展開(kāi)后得：上式中，右邊有因數(shù)9，而左邊各項(xiàng)至少有92，因此，k2-k不含有9的因數(shù)時(shí)，上式肯定不成立；而當(dāng)k2-k含有9n時(shí)，左邊各項(xiàng)也同時(shí)多了9n，上式自然也不成立.所以不可能成立.這些類(lèi)型相似，它們也可用相似的方法證明.剩下的數(shù)字等形式要使用二級(jí)壓縮或三級(jí)壓縮的方法，過(guò)程繁雜，這里就不說(shuō)了.

2.用自然數(shù)壓縮的原理簡(jiǎn)化素?cái)?shù)判斷的步驟：（1）用一級(jí)壓縮和二級(jí)壓縮相結(jié)合的方法簡(jiǎn)化素?cái)?shù)判斷的步驟，下面隨手寫(xiě)一個(gè)數(shù)字：3 048 571，要判斷這個(gè)數(shù)是素?cái)?shù)還是合數(shù)，我們現(xiàn)有的做法是要找出小于這個(gè)數(shù)的所有素?cái)?shù)，然后用這些素?cái)?shù)分別去除這個(gè)數(shù)，都不能整除的才是素?cái)?shù).而用自然數(shù)壓縮的原理則需要驗(yàn)證的素?cái)?shù)量將大大減小.上面這個(gè)數(shù)壓縮后為1s，個(gè)位數(shù)為1，我們先假設(shè)它為合數(shù)，則它可能至少屬于以下幾種情形之一（以下是分別用一級(jí)和二級(jí)壓縮的方法）：我們?cè)隍?yàn)證是否具有以上的因數(shù)時(shí)，驗(yàn)證了（90m+73）這一類(lèi)后，就無(wú)須驗(yàn)證（90n+37）；驗(yàn)證了（90m+61）這一類(lèi)后，也無(wú)須驗(yàn)證（90n+31）；驗(yàn)證了（90m+43）這一類(lèi)后，也無(wú)須驗(yàn)證（90n+67）……也因此，我們可以少驗(yàn)證近一半的數(shù).（2）用三級(jí)壓縮的方法簡(jiǎn)化素?cái)?shù)判斷的步驟以上采用的是二級(jí)壓縮的方法，如果改用三級(jí)壓縮的方法，驗(yàn)證的數(shù)將更進(jìn)一步減少.在3 048 571中，個(gè)位是1，十位是7，我們先判斷出是什么樣的兩個(gè)兩位數(shù)相乘的值的最小兩位數(shù)是71，我們先來(lái)看，個(gè)位數(shù)不變，十位數(shù)有一百種不同的組合變化，而最小兩位數(shù)是71的三級(jí)壓縮式有以下十種：經(jīng)過(guò)三級(jí)壓縮后分析，可知形如（90m+73）（90n+37）的數(shù)的驗(yàn)證只有這10種十位數(shù)是7，其他90種的十位數(shù)不是7.因此，就可以排除了.如果要判斷一個(gè)巨大的數(shù)，我們采用四級(jí)壓縮，或五級(jí)壓縮等方式，則驗(yàn)證的數(shù)的量可相應(yīng)大大地減少.如果把這種方法運(yùn)用到篩法中，那么可有效地改進(jìn)篩法.

3.用自然數(shù)壓縮的原理分解合數(shù)：我把下文所講的分解合數(shù)的方法稱為“剝筍殼法”，這個(gè)數(shù)二級(jí)壓縮分解式的個(gè)位是3與7，這是剝的第一層“筍殼”；上文已分析過(guò)，3 048 571如果是合數(shù)，那么這個(gè)數(shù)的三級(jí)壓縮分解式有十種類(lèi)型，我們剝第二層“筍殼”就是要弄清其十位數(shù)的情況.（2）式中33 843中的個(gè)位數(shù)3是由37m中的m及個(gè)位數(shù)7和73n中的n及個(gè)位數(shù)3共同決定的，與90mn無(wú)關(guān).則由（1）整理得：從（2）知mn應(yīng)小于4，77這兩位數(shù)是由27m+73n決定的.當(dāng)m=0時(shí)，73n=3377無(wú)整數(shù)解；當(dāng)m=1時(shí)，n只有等于50時(shí)，27m+73n的個(gè)位和十位等于77；當(dāng)m=2時(shí)，n只有等于51時(shí)，27m+73n的個(gè)位和十位等于77；當(dāng)m=3時(shí)，n只有等于52時(shí)，個(gè)位和十位等于77；當(dāng)n=0時(shí)，127m=3377無(wú)整數(shù)解；當(dāng)n=1時(shí)，m只有等于52時(shí)，27m+73n的個(gè)位和十位等于77；當(dāng)n=2時(shí)，m只有等于53時(shí)，27m+73n的個(gè)位和十位等于77；當(dāng)n=3時(shí)，m只有等于54時(shí)，27m+73n的個(gè)位和十位等于77；綜合以上分析，幾種個(gè)位和十位等于77的類(lèi)型中，mn都大于4，因此，可知相關(guān)的因數(shù).（因篇幅限制，本文未能完整的表現(xiàn)合數(shù)判斷的全過(guò)程，但其他判斷過(guò)程的方法與上文相似，故略）

由于自然數(shù)的一個(gè)功能是描述有限集合的元素個(gè)數(shù)，即有限集合的基數(shù)，而空集很自然地歸類(lèi)于有限集，它的基數(shù)理所當(dāng)然地用0來(lái)表示.如果0不算自然數(shù)，那么自然數(shù)就不能承擔(dān)起描述有限集合的基數(shù)的任務(wù).因此，增加0作自然數(shù)就很有必要了.但是我們還必須考慮，把0作為自然數(shù)，會(huì)不會(huì)影響自然數(shù)的其他三個(gè)功能？自然數(shù)集合的一個(gè)重要特點(diǎn)是一個(gè)有序集合，即所有自然數(shù)可以按順序排列起來(lái)，正是這一性質(zhì)使自然數(shù)具有序數(shù)功能.很明顯，在自然數(shù)的最前面增加一個(gè)0不影響自然數(shù)的有序性.把皮亞諾公理中的1換成0，對(duì)這組公理也沒(méi)有影響，所以增加0以后，自然數(shù)的序數(shù)功能不會(huì)受到任何影響.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最為重要的根本就是明確數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目標(biāo).自然數(shù)的學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)當(dāng)中的根本所在，教師在教學(xué)當(dāng)中除了要傳授給學(xué)生必要的知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力以外，還需要重視起教學(xué)目標(biāo)的確定，讓學(xué)生能夠?qū)?shù)學(xué)產(chǎn)生較高的興趣，促使他們對(duì)數(shù)學(xué)能夠始終抱有正確的印象.當(dāng)前階段的自然數(shù)教學(xué)，首先學(xué)習(xí)的是1～5的自然數(shù)，然后學(xué)習(xí)相應(yīng)的加減法，然后學(xué)習(xí)6～10的數(shù)字以及10以內(nèi)的加減法……這樣的教學(xué)內(nèi)容必然是比較枯燥的，會(huì)導(dǎo)致學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生一種不良的認(rèn)識(shí)，認(rèn)為數(shù)學(xué)就是按照規(guī)定來(lái)計(jì)算的內(nèi)容，從而影響他們的學(xué)習(xí)興趣和積極性.如果教師能夠在這部分的學(xué)習(xí)當(dāng)中積極地利用各種數(shù)學(xué)材料并創(chuàng)新教學(xué)方法，那么能讓學(xué)生對(duì)此產(chǎn)生更加積極的認(rèn)識(shí)，并主動(dòng)地融入其中，對(duì)于達(dá)到積極的教學(xué)效果具有重要的意義.在對(duì)幼兒進(jìn)行蒙臺(tái)梭利教學(xué)法的實(shí)施當(dāng)中，當(dāng)兒童成長(zhǎng)到5歲以后，教師就會(huì)讓他們?cè)诩垪l上寫(xiě)上數(shù)字：1，2，3，….但是當(dāng)孩子們寫(xiě)到1 000多以后開(kāi)始發(fā)現(xiàn)，這就是數(shù)學(xué)，就是這樣的繼續(xù)下去.對(duì)于人類(lèi)來(lái)說(shuō)這樣的形式就是最為簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)，也是最為深?yuàn)W的數(shù)學(xué)，是無(wú)限的.從這方面可以看出，寫(xiě)數(shù)或者數(shù)數(shù)是自然數(shù)列當(dāng)中最為簡(jiǎn)單而有效的方法，這樣的方法同時(shí)也是教學(xué)當(dāng)中學(xué)生比較容易做到的.而孩子們不愿意繼續(xù)寫(xiě)下去是因?yàn)樗麄儼l(fā)現(xiàn)了當(dāng)中的奧秘，已經(jīng)掌握了自然數(shù)的計(jì)數(shù)方法，認(rèn)為沒(méi)有必要繼續(xù)進(jìn)行下去的，因?yàn)檫@會(huì)無(wú)窮無(wú)盡，是一件無(wú)限的事情.因此，在剛開(kāi)始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)候人們都會(huì)產(chǎn)生一種數(shù)學(xué)印象，就是數(shù)學(xué)是有規(guī)律的，當(dāng)中有著很深的奧秘，是需要不斷探索和發(fā)現(xiàn)的新領(lǐng)域.這樣的印象將會(huì)促使學(xué)生產(chǎn)生強(qiáng)烈的探索欲望，這樣的教學(xué)也可以說(shuō)是比較理想的.此外，觀察能力的培養(yǎng)對(duì)于數(shù)學(xué)的基本能力訓(xùn)練來(lái)說(shuō)也是非常重要的，在數(shù)學(xué)思維當(dāng)中觀察占有重要的地位，并且其起到的作用也是不可替代的.年齡越小的孩子越是對(duì)觀察的事物感興趣，而對(duì)于一些機(jī)械性的計(jì)算卻不感興趣.這就證明了觀察能力的重要性.因此，在教育當(dāng)中應(yīng)當(dāng)從兒童入學(xué)開(kāi)始就有計(jì)劃地培養(yǎng)兒童的數(shù)學(xué)觀察能力，為他們的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)奠定基礎(chǔ).自然數(shù)的分解是在數(shù)的壓縮的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究自然數(shù)的性質(zhì)、特點(diǎn)，其目的在判斷各個(gè)自然數(shù)有無(wú)因數(shù)，尋找、判斷素?cái)?shù).

四、結(jié) 論

本文探討的是非篩法素?cái)?shù)判定法，如果是合數(shù)，那么能找出它的因數(shù).我也知道，學(xué)界早有目前情況下素?cái)?shù)判定不可能的說(shuō)法，但我想用自然數(shù)壓縮的原理來(lái)研討自然數(shù)或許會(huì)有意外的收獲，利用數(shù)的壓縮的原理研究篩法，也會(huì)有可喜的發(fā)現(xiàn).

【參考文獻(xiàn)】

[1]徐建樣.自然數(shù)的序數(shù)理論[J].江蘇第二師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2006（2）：49-51.

[2]白淑珍.0和自然數(shù)[J].科教文匯（下半月），2006（2）：91-92.

[3]黃明.零是自然數(shù)引起的思考[J].畢節(jié)師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)（綜合版），2001（4）：51-52.

[4]胡重光.關(guān)于自然數(shù)的教學(xué)[J].湖南教育（下），2011（1）：38.

[5]胡炳生.關(guān)于擴(kuò)充自然數(shù)集的幾個(gè)理論問(wèn)題[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，1998（11）：1-3.

[6]王尚志.為什么要把“0”作為一個(gè)自然數(shù)？[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2001（1）：16-17.

[7]溫邦彥.存在最大的自然數(shù)嗎？——排除超限數(shù)悖論，無(wú)窮理論的新方案（2）[J].重慶工學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2009（7）：146-152.

[8]張水良.自然數(shù)集擴(kuò)充的意義和公理化[J].太原師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2003（3）：14-16.