黃真輝

【摘要】解析幾何問題在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中是重點(diǎn)內(nèi)容，其難度較高，運(yùn)算量大.在高考試題中出現(xiàn)頻率較高.在分析解析幾何問題時(shí)，最常見的方法就是將代數(shù)方法與數(shù)形結(jié)合思想相結(jié)合輔以思考.而在解決解析幾何問題時(shí)，加以必要的平面幾何知識，則可以更好地幫助學(xué)生了解解析幾何特性，并有效地突破、解決解析幾何問題的難點(diǎn)與重點(diǎn).

【關(guān)鍵詞】平面幾何；解析幾何；代數(shù)方法；數(shù)形結(jié)合

解析幾何作為高中數(shù)學(xué)重要的教學(xué)內(nèi)容之一，其主要是在建立坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，用坐標(biāo)表示點(diǎn)，用方程表示曲線，通過代數(shù)運(yùn)算處理幾何問題.解析幾何的基本思想是通過坐標(biāo)法將幾何圖形轉(zhuǎn)化成方程，通過對方程的研究達(dá)到研究幾何圖形性質(zhì)的目的，并利用坐標(biāo)法，將形與數(shù)有效地統(tǒng)一起來.

但是，一味強(qiáng)調(diào)解析幾何中的計(jì)算，會(huì)導(dǎo)致解題過程繁瑣.如果在進(jìn)行計(jì)算的同時(shí)能綜合考慮平面幾何因素，則能夠簡化運(yùn)算.以“圓”為例，在解析幾何中，涉及直線和圓的有關(guān)問題時(shí)，若能抓住題設(shè)中圖形特征和數(shù)量關(guān)系，充分利用平面幾何中的有關(guān)性質(zhì)，可得到簡捷解法.下面，筆者主要介紹五種基本平面幾何性質(zhì)，并將其用于解決解析幾何問題.

一、利用平行四邊形的判定與性質(zhì)

巧妙利用平行四邊形的判定定理——對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，可把解析幾何問題中的條件綜合在一起，從而達(dá)到問題的巧解.

已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，O為坐標(biāo)原點(diǎn).P是雙曲線在第一象限上的點(diǎn)，直線PO，PF2分別交雙曲線C左、右支于另一點(diǎn)M，N.若|PF1|=2|PF2|，且∠MF2N=60°，則雙曲線C的離心率.

分析 P，M關(guān)于原點(diǎn)對稱，F(xiàn)1，F(xiàn)2也關(guān)于原點(diǎn)對稱.所以四邊形PF1MF2是平行四邊形，因此，PF1∥MF2，∴∠F1PF2=∠MF2N=60°在△F1PF2中由余弦定理可得e=ca=3.

這里體現(xiàn)了平面幾何性質(zhì)的妙用.

二、利用平行線及等腰三角形性質(zhì)

筆者研究2016高考全國卷的第20題時(shí)，進(jìn)一步體會(huì)到平面幾何的妙用.并在平時(shí)教學(xué)中滲透這種思想，提高學(xué)生思維能力.

設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點(diǎn)B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.

（1）證明|EA|+|EB|為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；

（2）設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點(diǎn)，過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

分析 本題妙用兩直線平行，同位角相等.等腰三角形中等邊對等角、等角對等邊達(dá)到問題的轉(zhuǎn)化解決.

由EB∥AC得到∠EBD=∠ACD，由|AD|=|AC|得到∠ADC=∠ACD，故∠EBD=∠ACD=∠ADC，所以|EB|=|ED|，故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.

又圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+1）2+y2=16，從而|AD|=4，就有|EA|+|EB|=4為定值.

（2）略.

因此，在平時(shí)教學(xué)中常滲透這種思想，以提高學(xué)生思維能力，使學(xué)生在考慮問題時(shí)養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣.

三、利用相似三角形性質(zhì)

已知拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn).若FP=4FQ，則|QF|=.

分析 由拋物線定義可過點(diǎn)Q作QM⊥l，垂足為M，則QM∥x軸，準(zhǔn)線l與x軸交于N點(diǎn)，就有△PQM∽△PFN，所以PF=4FQ，|MQ|4=|PQ||PF|=34，可得|QF|=|MQ|=3.

四、利用中垂線的性質(zhì)

中垂線的基本性質(zhì)有以下兩點(diǎn)：（1）中垂線上的任意一點(diǎn)到線段兩端的距離相等；（2）到線段兩端距離相等的點(diǎn)在這條線段的中垂線上.

教材中的習(xí)題：圓B：（x+1）2+y2=16，點(diǎn)A（1，0），P是圓上任意一點(diǎn).線段AP的垂直平分線l和半徑BP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)P點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡方程.

分析 ∵p為圓O上的一動(dòng)點(diǎn)，線段AP的垂直平分線交直線OP于點(diǎn)Q，則QA=QP，QA-QP=OP-OQ=r-OQ，∴QA+OQ=r>OA，故Q的軌跡是：以O(shè)，A為焦點(diǎn)，r為長軸的橢圓.

五、利用圓與正六邊形關(guān)系

圓的內(nèi)接正六邊形的六個(gè)頂點(diǎn)與圓心連接把正六邊形分割成六個(gè)全等的正三角形.以此性質(zhì)可巧妙地解決下面這個(gè)解析幾何題.

例題 以橢圓M：x2a2+y2=1（a>1）的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的四條邊與⊙O：x2+y2=1共有6個(gè)交點(diǎn)，且這6個(gè)點(diǎn)恰好把圓周六等分.求橢圓M的方程.

分析 依題意，A（0，1），B（a，0），又設(shè)⊙O與AB交于M點(diǎn)，則△AOM為正三角形就有∠OAB=60°，從而得到a=3，由此就能求出橢圓方程.

綜上所述，解答解析幾何問題時(shí)，要切實(shí)掌握巧用平面幾何性質(zhì)解決解析幾何問題這一基本思想.同時(shí)，在解題時(shí)應(yīng)注意積極應(yīng)用平面幾何定理，在將幾何問題化歸為代數(shù)的過程中，可以直接應(yīng)用一些平面幾何知識，這是解答解析幾何問題的一種基本技巧.近幾年，應(yīng)用平面幾何定理解決問題也是高考的熱點(diǎn)之一，這也有助于學(xué)生了解幾何特性在解決解析幾何問題中的作用.

【參考文獻(xiàn)】

[1]徐凌，吳寶樹.巧用平面幾何性質(zhì) 簡化解析幾何運(yùn)算[J].數(shù)理化解題研究，2016（25）：32.

[2]林慧斌.巧用平面幾何知識解解析幾何的問題[J].亞太教育，2016（29）：178.