段云

【摘要】圓是最簡單的圖形，也是一個(gè)特殊的平面曲線圖形.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中，學(xué)習(xí)圓的種種特殊性質(zhì)和解題方法尤為重要.在試卷中關(guān)于“圓”的試題占分比率不低，以及在應(yīng)用題中需要以圓做輔助線減小解題難度.圓有許多特殊性質(zhì)可以幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題.例如，在三角形、正多邊形、求取點(diǎn)的個(gè)數(shù)的問題中能夠?qū)⑻貏e復(fù)雜的問題簡單化.所以“圓”是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要教學(xué)內(nèi)容.

【關(guān)鍵詞】輔助圓；弦；直徑；弧；簡化問題；做輔助線；中心對(duì)稱；垂徑定理

一、圓的基本定義

圓的定義：圓是一種比較特殊的幾何圖形，指的是在一個(gè)平面當(dāng)中存在的點(diǎn)，這些點(diǎn)都遵從一個(gè)特性，它們到一個(gè)定點(diǎn)的距離都相等.而滿足條件的這些點(diǎn)的集合就稱為圓.這個(gè)給定的點(diǎn)稱為圓的圓心，到這個(gè)定點(diǎn)的距離就稱為圓的半徑.在教學(xué)當(dāng)中，用來作圖的工具是圓規(guī).（圓規(guī)的設(shè)計(jì)也正好說明了圓的性質(zhì)，一個(gè)確定的圓心和一段確定的半徑就能畫出一個(gè)圓）.圓是一條閉合的曲線，曲線以內(nèi)為圓的內(nèi)部，曲線以外為圓的外部.圓之間的內(nèi)切指的就是兩個(gè)圓在圓的內(nèi)部相切，圓之間的外切指的就是兩個(gè)圓在圓的外部相切.這條閉合曲線稱為圓周，圓周的長度稱為圓的周長.

二、與圓相關(guān)的一些其他參數(shù)

1.弦：連接已知圓上任意兩點(diǎn)的線段.一個(gè)圓可以由無數(shù)條弦組成，過圓心的弦就是圓的直徑.

2.直徑：通過圓心的弦就是直徑.直徑的兩個(gè)端點(diǎn)都在圓周上，用d表示.直徑所在的直線是圓的對(duì)稱軸.因?yàn)閷?duì)于一個(gè)圓來說，其直徑是唯一大小的.所以直徑是決定圓的大小的單位.

3.?。簣A上任意兩點(diǎn)之間的距離.（將一個(gè)圓以任意圓上的兩點(diǎn)截?cái)嗫傻玫絻啥吻€，這兩條曲線就是?。?弧分為劣弧和優(yōu)弧.小于半徑的弧稱為劣弧，通常用圓上的兩個(gè)點(diǎn)來表示，如AB.大于半徑的弧稱為優(yōu)弧，通常用圓上的三個(gè)點(diǎn)來表示，如ACB.

三、圓的對(duì)稱

關(guān)于圓的對(duì)稱有一個(gè)重要的定理——垂徑定理.圓的重要性質(zhì)需要通過垂徑定理來推敲，圓的對(duì)稱性也是證明弧相等、線段相等以及垂直關(guān)系的重要依據(jù).在進(jìn)行作圖、做圓輔助線以及圓的計(jì)算都涉及圓的對(duì)稱.因此，這部分內(nèi)容是圓教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn).

1.圓的軸對(duì)稱性及垂徑定理.垂徑定理指的是圓的直徑和弦，以及弦所對(duì)的弧之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如弦所對(duì)的弧之間的垂直或平分，是解決圓內(nèi)的弧、角、線段的關(guān)系以及垂直關(guān)系的定理.

例如，“已知四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接梯形，AB∥CD，AB=8，CD=6，圓O的半徑是5，則梯形的面積是？”想要求梯形面積就必須知道以下條件：上底、下底、高.求高則成了這道題的難點(diǎn).由于已知半徑，做一條垂直于底邊的垂直平分輔助線，由輔助線做出兩個(gè)三角形，由勾股定理求出未知直角邊，兩直角邊之和就是梯形的高.由梯形面積公式可得梯形面積為49.

2.圓的中心對(duì)稱性.圓是中心對(duì)稱圖形.中心對(duì)稱圖形是指一個(gè)圖形本身成中心對(duì)稱.圓的對(duì)稱中心點(diǎn)是圓心.圓上所有點(diǎn)都是關(guān)于它的對(duì)稱中心的對(duì)應(yīng)點(diǎn).而對(duì)應(yīng)點(diǎn)都在這個(gè)圖形上.如果將中心對(duì)稱的兩個(gè)圓看成一個(gè)圖形，那么這個(gè)由兩個(gè)圓組成的圖形就是中心對(duì)稱圖形.

四、圓周角定理

圓周角指的是頂點(diǎn)在圓周上，并且兩邊為圓的兩條弦的角.即圓周角的頂點(diǎn)在圓上，而它的兩邊為圓的兩條弦.圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.在圓周角的有關(guān)證明題、計(jì)算題當(dāng)中，如果能從圓心角與圓周角的關(guān)系來思考，一般都可以快捷地找到解題思路，從而使問題在短時(shí)間內(nèi)得到解答.

例如，“在一個(gè)圓當(dāng)中，已知一條圓心角為60度的弦，請(qǐng)畫出另外一條與其平行且長度為其二分之一弦.”解題思路：“想要畫出一條與已知弦平行且長度為其二分之一的一條弦，只需要畫一條圓心角為30度的且與其平行的弦即可.”

五、輔助圓的應(yīng)用

1.畫輔助圓求三角形的度數(shù).求三角形的度數(shù)的一般方法為在公共點(diǎn)做一個(gè)頂點(diǎn)，然后再畫出三角形的外接圓.從而建立三角形與輔助圓之間的相應(yīng)關(guān)系，從而解決問題.例如，“在一個(gè)不規(guī)則三角形中做出一個(gè)等腰三角形.”解題思路：“只需取三角形任意頂點(diǎn)為圓心以一條臨邊為半徑畫圓，該圓與三角形另一邊的交點(diǎn)則與其相等，從而得到等腰三角形.”

2.畫輔助圓求線段的長度.此方法較為簡單，只需遵循在同一圓內(nèi)任一半徑都相等的原則.

3.畫輔助圓求正多邊形的面積.正多邊形的面積是一個(gè)難點(diǎn)，如果在其外面畫輔助圓，然后通過畫三角形建立圓與多邊形之間的關(guān)系，即可簡化問題難度.

六、結(jié)語

圓是最基礎(chǔ)的平面圖形，在初中最常見的數(shù)學(xué)問題中都有涉及.當(dāng)我們遇到用常規(guī)思維方式不能解決的問題時(shí)，不妨利用畫輔助圓的方式將問題簡單化，仔細(xì)思考圓的各種特殊定義和性質(zhì)，即可將抽象題目直觀化，進(jìn)而解決我們遇到的各種復(fù)雜問題.

【參考文獻(xiàn)】

[1]趙守文.催生點(diǎn)·激發(fā)點(diǎn)·活化點(diǎn)——透過大賽綜觀“圓周角”教學(xué)[J].黑龍江教育（中學(xué)），2011（22）：67-70.

[2]李龍海.說說圓周角[J].初中生輔導(dǎo)，2014（36）：25-28.