徐維軍，陳曉麗

（1.華南理工大學(xué) 工商管理學(xué)院，廣州 510641；2.廣東金融學(xué)院 互聯(lián)網(wǎng)金融與信息工程學(xué)院，廣州 510521））

在日常生產(chǎn)和生活中，租賃是一種常見(jiàn)的經(jīng)濟(jì)行為，作為一種僅次于銀行信貸的重要融資方式，受到眾多企業(yè)經(jīng)營(yíng)者的廣泛關(guān)注。然而，科技的不斷進(jìn)步使得設(shè)備更新速度加快，再加上市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)日益激烈，以及企業(yè)對(duì)設(shè)備未來(lái)需求的不確定性，使得企業(yè)決策者只能在當(dāng)前若干租賃信息的基礎(chǔ)上立即做出決策，使決策者面臨巨大的決策壓力。租賃決策顯示的這種在線特征為在線算法和競(jìng)爭(zhēng)分析在這方面的應(yīng)用提供了契機(jī)，使得租賃問(wèn)題進(jìn)入了更深層次的研究。

在線算法和競(jìng)爭(zhēng)分析方法在在線租賃問(wèn)題上的應(yīng)用首次由Karp[1]提出，他以“雪橇租賃”為例介紹了在線問(wèn)題及在線算法和競(jìng)爭(zhēng)分析方法。一位滑雪愛(ài)好者去滑雪時(shí)需要使用雪橇，他可以選擇一直進(jìn)行租賃，并在每期支付租金1，也可以直接以價(jià)格p購(gòu)買雪橇，那么，以后滑雪就不需要支付任何費(fèi)用。若不知未來(lái)滑雪次數(shù)，則該問(wèn)題被稱為在線問(wèn)題，反之為離線問(wèn)題。Karp運(yùn)用在線算法和競(jìng)爭(zhēng)分析方法給出了最優(yōu)在線策略：在前p-1期一直租雪橇，在第p期若還滑雪則購(gòu)買雪橇。該策略的競(jìng)爭(zhēng)比為2-1/p，即不管未來(lái)需求如何變化，在線成本最多是事后最優(yōu)成本的2-1/p倍。該例被稱為經(jīng)典的雪橇租賃問(wèn)題，由于與經(jīng)濟(jì)管理領(lǐng)域的設(shè)備租賃問(wèn)題類似，故得到了租賃決策領(lǐng)域大量學(xué)者的青睞。此后，關(guān)于設(shè)備租賃問(wèn)題的研究都是在雪橇租賃問(wèn)題的基礎(chǔ)上進(jìn)行的擴(kuò)展研究?？紤]到資金的時(shí)間價(jià)值，El-Yaniv等[2]首次將利率引入到在線設(shè)備租賃問(wèn)題中，運(yùn)用在線算法和競(jìng)爭(zhēng)分析方法得到了最優(yōu)確定策略和最優(yōu)隨機(jī)性策略?？紤]到現(xiàn)實(shí)生活中通貨膨脹形勢(shì)日益嚴(yán)峻，徐維軍等[3]基于物價(jià)指數(shù)上漲因素給出了對(duì)應(yīng)在線租賃問(wèn)題的最優(yōu)確定性和隨機(jī)性算法，并通過(guò)數(shù)值分析說(shuō)明通貨膨脹因素對(duì)在線租賃決策的影響。除了利率和通貨膨脹因素，折舊也是一個(gè)影響決策的不可忽視因素。張衛(wèi)國(guó)等[4]考慮隨機(jī)選擇設(shè)備租賃或購(gòu)買的方式，給出可折舊設(shè)備的最優(yōu)在線租賃策略，并提出了轉(zhuǎn)化隨機(jī)策略，將隨機(jī)選擇多種獲得設(shè)備的方式轉(zhuǎn)化為隨機(jī)選擇兩種獲得設(shè)備的方式，并得到了相應(yīng)的競(jìng)爭(zhēng)比。王揚(yáng)等[5]考慮二手貨市場(chǎng)中出售價(jià)格與設(shè)備剩余價(jià)值之間的關(guān)系，分兩種情況研究存在二手貨市場(chǎng)的在線租賃問(wèn)題。進(jìn)一步，王揚(yáng)等[6]從合同因素的角度進(jìn)行研究，以非線性指數(shù)函數(shù)作為回購(gòu)合同中的回購(gòu)價(jià)格，建立了在線租賃模型，并給出了最優(yōu)的競(jìng)爭(zhēng)策略?？紤]到以往研究均假設(shè)設(shè)備的使用壽命是無(wú)限的，馬衛(wèi)民等[7]研究了有限使用壽命情況下的設(shè)備租賃問(wèn)題。此外，由于價(jià)格并不是永遠(yuǎn)不變的，Epstein等[8]研究了固定時(shí)長(zhǎng)的雪橇租賃問(wèn)題的各種變形，其中滑雪總天數(shù)和雪橇的購(gòu)買價(jià)格固定，但是每天的租賃價(jià)格發(fā)生變化，并給出了租賃價(jià)格是任意變化、非增和非減變化情形下的最優(yōu)在線算法。從市場(chǎng)信息角度，F(xiàn)ujiwara等[9]考慮未來(lái)市場(chǎng)需求輸入服從指數(shù)分布，給出了平均意義上的最優(yōu)競(jìng)爭(zhēng)策略及其競(jìng)爭(zhēng)比。從合作博弈角度，馬衛(wèi)民等[10]利用合作博弈理論從雙人合作的角度研究了在線決策者與離線決策者的合作博弈模型，給出了最優(yōu)競(jìng)爭(zhēng)策略及雙方合作分擔(dān)成本時(shí)的納什均衡解。

除了從上述角度進(jìn)行分析外，部分學(xué)者也考慮了決策者的風(fēng)險(xiǎn)偏好，因?yàn)椴⒉皇撬械臎Q策者都規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)。Al-Binali[11]最早將競(jìng)爭(zhēng)分析方法和概率假設(shè)綜合起來(lái)，并引入在線決策者的風(fēng)險(xiǎn)偏好，提出了著名的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償模型，指出投資者有時(shí)有目的的增加風(fēng)險(xiǎn)以期預(yù)測(cè)成功將獲得更高的收益，即便預(yù)測(cè)失敗，其風(fēng)險(xiǎn)也在決策者可接受范圍內(nèi)。進(jìn)一步，許多學(xué)者在風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行了更深入的研究，如考慮投資者風(fēng)險(xiǎn)偏好的同時(shí)考慮利率[12]、通貨膨脹[13]以及折舊[14]等因素。

此外，考慮到實(shí)際租賃市場(chǎng)中還存在除純購(gòu)買和純租賃形式之外的多種可選租賃形式，Lotker等[15-16]研究了只有純租賃和部分購(gòu)買兩種租賃形式下的隨機(jī)算法，并推廣到多租賃選擇的決策問(wèn)題，給出了最優(yōu)隨機(jī)策略及最優(yōu)競(jìng)爭(zhēng)比。Fujiwara等[17-18]通過(guò)求解多個(gè)租賃選擇下的最優(yōu)化模型，得到了確定性最優(yōu)選擇策略及最優(yōu)競(jìng)爭(zhēng)比下界，并討論了包括純購(gòu)買在內(nèi)的只有2種和3種租賃選擇下的最優(yōu)競(jìng)爭(zhēng)比上界。另外，以可選租賃形式的個(gè)數(shù)為輸入，給出了一個(gè)計(jì)算競(jìng)爭(zhēng)比下界的算法，并得到了2～10 個(gè)租賃選擇情況下具體的競(jìng)爭(zhēng)比下界。

但是對(duì)于多種租賃選擇情形，他們并未給出當(dāng)租賃選擇的數(shù)量確定時(shí)具體的競(jìng)爭(zhēng)比表達(dá)式，更未考慮決策者的風(fēng)險(xiǎn)偏好?？紤]到實(shí)際租賃活動(dòng)中除純租賃外，還可以先支付一部分費(fèi)用，然后享受較優(yōu)惠的租賃價(jià)格，類似于購(gòu)買一張會(huì)員卡。因此，本文基于只有租賃和部分購(gòu)買兩種租賃選擇情形下的在線租賃問(wèn)題[15-16]，提出二重在線租賃問(wèn)題。并將投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好及對(duì)未來(lái)設(shè)備使用時(shí)長(zhǎng)的概率預(yù)期引入，建立二重在線租賃問(wèn)題的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償策略，為多租賃選擇下風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償策略的研究提供參考。

1 風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償模型

在在線租賃問(wèn)題中，假設(shè)在線人有一個(gè)可選的策略集S=｛S（1），S（2），…｝，對(duì)于在線人給出的一個(gè)策略S（t）及離線對(duì)手發(fā)出的任何不確定輸入σ∈Σ，其中Σ為離線對(duì)手發(fā)出的不確定輸入序列集，記在線人決策策略的總成本為coston（σ；t），離線對(duì)手的設(shè)備租賃總成本為costoff（σ）。如果存在一個(gè)與σ無(wú)關(guān)的常數(shù)β，使得對(duì)于任何輸入σ∈Σ均有coston（σ；t）≤βcostoff（σ）成立，則稱策略S（t）是β競(jìng)爭(zhēng)的。

令R（t）表示策略S（t）的競(jìng)爭(zhēng)比，則有

設(shè)在線策略S（t）的風(fēng)險(xiǎn) 為λ（t），根據(jù)Al-Binali[11]的定義可知，λ（t）=R（t）/R*，即為策略S（t）的競(jìng)爭(zhēng)比與最優(yōu)競(jìng)爭(zhēng)比的比值。設(shè)在線人的風(fēng)險(xiǎn)容忍度為λ（λ≥1），則在該風(fēng)險(xiǎn)容忍度下的可選策略集Iλ=｛S（t）|R（t）≤λR*｝。而對(duì)于離線對(duì)手的不確定輸入，風(fēng)險(xiǎn)偏好者往往有自己的預(yù)期，令F?Σ為風(fēng)險(xiǎn)偏好在線人的預(yù)期，如果預(yù)期成功，則得到的競(jìng)爭(zhēng)比稱為約束競(jìng)爭(zhēng)比，記策略S（t）在預(yù)期F下的約束競(jìng)爭(zhēng)比為

根據(jù)Al-Binali[11]關(guān)于預(yù)期成功時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償?shù)亩x可知，當(dāng)F預(yù)期成功時(shí)，策略S（t）的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償為。若在線人有多個(gè)預(yù)期Fi（i=1，2，…），則滿足Fi∩Fj=φ（i=j）且∪Fi=Σ，每個(gè)預(yù)期Fi的概率為P i，且ΣPi=1。那么，在預(yù)期｛（Fi，Pi）|i=1，2，…｝下，策略S（t）的約束競(jìng)爭(zhēng)比為。在概率預(yù)期｛（Fi，Pi）|i=1，2，…｝下，Al-Binali的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償模型為：

通過(guò)求解上述模型，就可以得到在一定概率預(yù)期下的最優(yōu)決策時(shí)間。

2 問(wèn)題陳述及確定性在線競(jìng)爭(zhēng)分析

二重在線租賃問(wèn)題：承租人在進(jìn)行設(shè)備租賃時(shí)，有兩種可選租賃方式：①直接在每一期以租賃價(jià)格r0進(jìn)行租賃；②先支付一部分購(gòu)買費(fèi)用B，然后每期以較低的價(jià)格r1進(jìn)行租賃。本文稱這兩種租賃方式分別為Fashion A 和Fashion B，面對(duì)未來(lái)設(shè)備使用時(shí)長(zhǎng)的不確定性，承租人是選擇Fashion A 租賃設(shè)備還是Fashion B 租賃設(shè)備，或者是先采用Fashion A 租賃設(shè)備一段時(shí)間后再用Fashion B 租賃設(shè)備，哪種方法最為劃算？

為了方便，將上述二重在線租賃問(wèn)題簡(jiǎn)記為Fashion A-B。在Fashion A-B中，假設(shè)T為總的設(shè)備使用時(shí)間，則最優(yōu)離線成本函數(shù)為

式中，T*為離線對(duì)手采用Fashion A 或Fashion B的臨界時(shí)間點(diǎn)，令Fashion A 和Fashion B 產(chǎn)生的成本相等，即r0T*=B+r1T*，可得T*=B/（r0-r1）。這里假設(shè)T*≥1，即B-r0+r1≥0；否則，F(xiàn)ashion B永遠(yuǎn)優(yōu)于Fashion A，承租人也不會(huì)選擇Fashion A，即退化為只有一種租賃方式可以選擇的租賃問(wèn)題，此處不作考慮。

設(shè)在線承租人采取的策略S（t）為：在前t-1期采用Fashion A 進(jìn)行租賃，第t期開(kāi)始采用Fashion B進(jìn)行租賃。記在線策略S（t）的成本為

根據(jù)式（1）、（2），并根據(jù)競(jìng)爭(zhēng)分析方法和在線算法，可得策略S（t）關(guān)于T的競(jìng)爭(zhēng)比為

下面分兩種情況進(jìn)行討論：

（1）當(dāng)t＜T*時(shí)，由于r0＞r1，故當(dāng)T＜T*或T≥T*時(shí)，R（t；T）關(guān)于T單調(diào)遞減。此外，經(jīng)計(jì)算知，那么，R（t；T）關(guān)于T連續(xù)，所以當(dāng)T≥t時(shí)，R（t；T）關(guān)于T單調(diào)遞減，離線對(duì)手為了使競(jìng)爭(zhēng)比達(dá)到最大，對(duì)策略S（t）做出的最優(yōu)選擇是T=t，則可得競(jìng)爭(zhēng)比：

易知，R1（t）關(guān)于t單調(diào)遞減，那么，在線人為了使競(jìng)爭(zhēng)比達(dá)到最小，會(huì)選擇t=T*-1，則此時(shí)的最優(yōu)競(jìng)爭(zhēng)比為R1（T*-1）。

（2）當(dāng)t≥T*時(shí)，由于T≥t，故

關(guān)于T單調(diào)遞減，離線對(duì)手為了使競(jìng)爭(zhēng)比達(dá)到最大，對(duì)策略S（t）做出的最優(yōu)選擇是T=t，因?yàn)門=t≥T*，所以costoff（t）=B+r1t，則可得競(jìng)爭(zhēng)比：

容易驗(yàn)證，R′2（t）＞0，即R2（t）關(guān)于t單調(diào)遞增，那么，在線人為了使競(jìng)爭(zhēng)比達(dá)到最小，會(huì)選擇t=T*，則此時(shí)的最優(yōu)競(jìng)爭(zhēng)比為R2（T*）。

因?yàn)?/p>

所以，在線人為了得到最小的競(jìng)爭(zhēng)比而選擇t=T*及策略S（T*），得到最優(yōu)競(jìng)爭(zhēng)比為

則有如下定理成立：

定理1在有Fashion A 和Fashion B 兩種租賃方式的二重在線租賃問(wèn)題中，最優(yōu)在線策略為：前T*-1期采用Fashion A 進(jìn)行租賃，在第T*期開(kāi)始采用Fashion B 進(jìn)行租賃，即最優(yōu)決策時(shí)間為T*。由此得到最優(yōu)競(jìng)爭(zhēng)比為

其中：r0為Fashion A 的租賃價(jià)格；B為Fashion B的部分購(gòu)買價(jià)格；r1為對(duì)應(yīng)的租賃優(yōu)惠價(jià)格；T*=B/（r0-r1）。

通過(guò)定理1可知，在二重在線租賃問(wèn)題中，在線決策者采用策略S（T*）能夠達(dá)到最優(yōu)的競(jìng)爭(zhēng)比，花費(fèi)的成本最多是最優(yōu)離線決策者成本的1+（r0-r1）（B-r0+r1）/（Br0）倍。此外，一方面，當(dāng)r1=0時(shí)，二重在線租賃問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為經(jīng)典的雪橇租賃模型；另一方面，通過(guò)定理1可知，當(dāng)r1=0時(shí)，二重在線租賃問(wèn)題的最優(yōu)競(jìng)爭(zhēng)比為R*=2-r0/B，且最優(yōu)決策時(shí)間T*=B/r0，與經(jīng)典的雪橇租賃問(wèn)題一致。由此說(shuō)明，本文給出的二重在線租賃問(wèn)題是經(jīng)典雪橇租賃問(wèn)題的一種自然地推廣。

3 風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償策略

在本節(jié)中，將風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償模型引入到二重在線租賃問(wèn)題中，給出兩種概率預(yù)期下的最優(yōu)決策時(shí)間和最優(yōu)競(jìng)爭(zhēng)比，為風(fēng)險(xiǎn)偏好投資者提供一個(gè)最優(yōu)的競(jìng)爭(zhēng)策略。

假設(shè)預(yù)期F1=｛T：T＜T*｝和F2=｛T：T≥T*｝的概率分別為P1和P2，其中，P1+P2=1，在線承租者的風(fēng)險(xiǎn)容忍度為λ，且λ≥1。根據(jù)定義可知，在風(fēng)險(xiǎn)容忍度λ下的可選策略集

在預(yù)期｛（F1，P1），（F2，P2）｝下，策略S（t）的約束競(jìng)爭(zhēng)比為

通過(guò)求解上述模型，即可得到最優(yōu)的決策時(shí)間，從而得到最大的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償。

定理2給定風(fēng)險(xiǎn)容忍度λ（λ≥1），當(dāng)預(yù)期F1=｛T：T＜T*｝和F2=｛T：T≥T*｝的概率分別為P1和P2時(shí)，策略S（t）的最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償為最優(yōu)決策時(shí)間為

其中，t1、Δ和函數(shù)的表達(dá)式參見(jiàn)證明過(guò)程。

證明首先，根據(jù)R（t）≤λR*計(jì)算出風(fēng)險(xiǎn)容忍度λ下的可選策略集Iλ。

（1）當(dāng)t＜T*時(shí)，有

通過(guò)求解可得

通過(guò)比較可知，t1≤T*，則此時(shí)的可容忍策略集I1=｛S（t）|t1≤t＜T*｝。

（2）當(dāng)t≥T*時(shí)，有

則式（3）可轉(zhuǎn)化為W1t≤W2，易知，W2≥0。通過(guò)求解可得，當(dāng)W1＞0 時(shí)，式（3）的解為T*≤t≤此時(shí)的可容忍策略集

當(dāng)W1≤0時(shí)，不等式W1t≤W2恒成立，此時(shí)的可容忍策略集I3=｛S（t）|t≥T*｝。

綜合（1）、（2）可知，當(dāng)W1＞0時(shí)，在風(fēng)險(xiǎn)容忍度λ下的可選策略集

當(dāng)W1≤0時(shí)，在風(fēng)險(xiǎn)容忍度λ下的可選策略集

然后，計(jì)算在預(yù)期｛（F1，P1），（F2，P2）｝下，策略S（t）的約束競(jìng)爭(zhēng)比為

最后，求解在預(yù)期｛（F1，P1），（F2，P2）｝下的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償模型：

由此可知，當(dāng)t≥T*時(shí)單調(diào)遞增，在t=T*時(shí)取得最小值。接下來(lái)討論當(dāng)t＜T*時(shí)的單調(diào)性。令

易知，當(dāng)t＞0時(shí)，D（t）單調(diào)遞增，令D（t）=0，可得

則當(dāng)0＜t＜Δ時(shí)，D（t）＜0；當(dāng)t＞Δ時(shí)，D（t）＞0。則：①當(dāng)Δ≥T*，即時(shí)，在t1≤t＜T*時(shí)單調(diào)遞減；②當(dāng)Δ＜T*，即時(shí)，若t1＜Δ，則在t1≤t＜Δ時(shí)單調(diào)遞減，在Δ≤t＜T*時(shí)單調(diào)遞增；若t1≥Δ，則在t1≤t＜T*時(shí)單調(diào)遞增。根據(jù)關(guān)于t的單調(diào)性可得圖1～3。

圖1 Δ≥T*時(shí)（t）的單調(diào)性

圖2 t1＜Δ＜T*時(shí)（t）的單調(diào)性

圖3 Δ≤t1時(shí)（t）的單調(diào)性

根據(jù)圖1可知，當(dāng)t＜T*時(shí)在t=T*-1處取得最小值；而當(dāng)t≥T*時(shí)在t=T*處取得最小值。又因?yàn)楫?dāng)P1≥B/（2B-r0+r1）時(shí)，，所以，此時(shí)的最小值在t=T*處取得。根據(jù)圖2可知，當(dāng)t1＜Δ＜T*時(shí)，的最小值在t=Δ或T*處取得，即為。根據(jù)圖3 可知，當(dāng)Δ≤t1時(shí)，的最小值在t=t1或T*處取 得，即為。綜上可知，在預(yù)期｛（F1，P1），（F2，P2）｝和風(fēng)險(xiǎn)容忍度λ下，策略S（t）在t*處的補(bǔ)償收益達(dá)到最大，即最優(yōu)決策時(shí)間為t*，最大的補(bǔ)償收益為

推論1給定風(fēng)險(xiǎn)容忍度λ（λ≥1），當(dāng)預(yù)期F1=｛T：T＜T*｝的概率為1時(shí)，最優(yōu)決策時(shí)間為t=T*，最優(yōu)的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償為r（T*）=R*；當(dāng)預(yù)期F2=｛T：T≥T*｝的概率為1時(shí)，最優(yōu)決策時(shí)間為t=t1，最優(yōu)的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償為

4 算例分析

根據(jù)前面分析得到的概率預(yù)期下的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償模型，本節(jié)將通過(guò)算例進(jìn)一步說(shuō)明風(fēng)險(xiǎn)容忍度和概率預(yù)期的引入對(duì)最優(yōu)約束競(jìng)爭(zhēng)比和收益補(bǔ)償?shù)挠绊?。假設(shè)某公司需要使用一塊場(chǎng)地用來(lái)做產(chǎn)品宣傳，但是需要根據(jù)產(chǎn)品銷售績(jī)效來(lái)決定何時(shí)結(jié)束宣傳，也即公司并不能確定場(chǎng)地的具體使用時(shí)長(zhǎng)，租賃方給出兩種租賃選擇：①以每天200元的價(jià)格進(jìn)行租賃；②支付2 000元的預(yù)付款，然后以每天150元的價(jià)格進(jìn)行租賃。那么，承租公司應(yīng)該采取怎樣的策略才是最優(yōu)的？ 另外，如果承租公司的決策者是一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)偏好者，那么，又要如何進(jìn)行決策？ 針對(duì)該問(wèn)題，可以采取本文給出的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償策略，對(duì)應(yīng)的參數(shù)取值為：r0=200，r1=150，B=2 000。則有T*=40，確定性策略的最優(yōu)競(jìng)爭(zhēng)比R*=1.243 75。設(shè)公司決策者的風(fēng)險(xiǎn)容忍度為λ，對(duì)總時(shí)間的預(yù)期有F1=｛T：T＜T*｝和F2=｛T：T≥T*｝，相應(yīng)的概率分別為P1和1-P1。表1即是根據(jù)決策者的風(fēng)險(xiǎn)容忍度和概率預(yù)期得到的對(duì)應(yīng)最優(yōu)決策時(shí)間t*和補(bǔ)償收益r（t*）。同時(shí)，為了說(shuō)明有預(yù)期時(shí)的最優(yōu)約束競(jìng)爭(zhēng)比相對(duì)于無(wú)預(yù)期時(shí)的最優(yōu)競(jìng)爭(zhēng)比有所改善，參考文獻(xiàn)[12]，采用表示當(dāng)預(yù)期成功時(shí)獲得的最優(yōu)約束競(jìng)爭(zhēng)比相對(duì)于確定性最優(yōu)競(jìng)爭(zhēng)比R*的改善幅度。

表1 不同風(fēng)險(xiǎn)容忍度和概率預(yù)期下的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償策略

根據(jù)表1可知，在給定的風(fēng)險(xiǎn)容忍度λ下，最優(yōu)決策時(shí)間不遲于無(wú)預(yù)期時(shí)的最優(yōu)決策時(shí)間，有概率預(yù)期時(shí)的競(jìng)爭(zhēng)比均小于無(wú)概率預(yù)期時(shí)的競(jìng)爭(zhēng)比R*，如果預(yù)期成功，則可得風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償r（t*）＞1。特別地，當(dāng)預(yù)期F1=｛T：T＜T*｝的概率P1=1時(shí)，如果預(yù)期成功，則在線決策者的成本不會(huì)低于離線決策者的成本，該預(yù)期下的約束競(jìng)爭(zhēng)比為=1。此外，在相同概率預(yù)期下，隨著風(fēng)險(xiǎn)容忍度的增大，得到的最優(yōu)約束競(jìng)爭(zhēng)比逐漸減小，得到的收益補(bǔ)償也逐漸增大，相應(yīng)競(jìng)爭(zhēng)比的改善幅度也逐漸增大，如P1=0.1時(shí)，隨著風(fēng)險(xiǎn)容忍度λ從1.1變化至1.4，收益補(bǔ)償從1.054增加至1.089，最優(yōu)競(jìng)爭(zhēng)比的改善幅度也從26.08%增加至41.54%。這說(shuō)明，在相同概率預(yù)期下，決策者的風(fēng)險(xiǎn)容忍度與他得到的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償成正比。

5 結(jié)語(yǔ)

Karp[1]的“雪橇租賃”問(wèn)題作為運(yùn)用在線算法和競(jìng)爭(zhēng)分析方法研究在線設(shè)備租賃的經(jīng)典問(wèn)題，僅僅假設(shè)決策者有兩種獲得設(shè)備的方式，一種是純租賃方式，另一種是直接購(gòu)買設(shè)備的方式。而在現(xiàn)實(shí)租賃市場(chǎng)中，有很多種設(shè)備設(shè)施租賃方式，所以研究其他租賃方式下的最優(yōu)租賃策略是很有必要的。本文考慮了純租賃和支付部分購(gòu)買費(fèi)用后再租賃這兩種租賃方式，利用在線算法和競(jìng)爭(zhēng)分析方法得到確定性最優(yōu)在線策略，并給出了最優(yōu)競(jìng)爭(zhēng)比。此外，考慮到?jīng)Q策者并不都是風(fēng)險(xiǎn)厭惡的，他們往往更希望利用風(fēng)險(xiǎn)獲得更高的收益；再者，決策者往往可以根據(jù)經(jīng)驗(yàn)或市場(chǎng)其他信息對(duì)設(shè)備使用時(shí)長(zhǎng)進(jìn)行預(yù)期。因此，本文將決策者風(fēng)險(xiǎn)容忍程度及投資者的概率預(yù)期引入在線算法中，得到了二重在線租賃問(wèn)題的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償模型。并通過(guò)算例分析，說(shuō)明風(fēng)險(xiǎn)容忍度的引入能夠提高策略的競(jìng)爭(zhēng)性能，而且當(dāng)決策者對(duì)總的設(shè)備使用時(shí)間的預(yù)期正確時(shí)，決策者能夠獲得一定的補(bǔ)償收益。

然而，本文并未考慮市場(chǎng)上其他因素的影響，如通貨膨脹、利率、設(shè)備折舊等因素。另外，本文僅考慮了兩種不同租賃方式下的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償策略，對(duì)于多種不同租賃方式下的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償模型還有待研究。