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        一類特殊的二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的解法

        2018-08-11 01:15:02朱立明
        關(guān)鍵詞:法求特征方程實(shí)根

        周 愷,高 芳,朱立明

        (池州學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,安徽 池州 247100)

        常系數(shù)線性非齊次微分方程是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容,許多文獻(xiàn)都討論了其求解問題[1-4].根據(jù)線性微分方程解的結(jié)構(gòu),求解問題轉(zhuǎn)化為求對(duì)應(yīng)齊次方程的通解和非齊次方程的特解.一般教材中都利用待定系數(shù)法求方程的特解.筆者在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn),學(xué)生利用待定系數(shù)法求特解時(shí),經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤.因此,本文給出一類特定形式下二階常系數(shù)線性非齊次微分方程特解的巧妙計(jì)算.

        對(duì)于微分方程

        當(dāng) f(x)=eλxP1(x)時(shí),其中 λ∈R,P1(x)=rx+s我們分三種情形給出相應(yīng)結(jié)論.

        (1)當(dāng) λ2+pλ+q≠0 時(shí),可設(shè)特解 y*=eλx(ax+b),則

        將 y*",y*',y*代入(1)中,整理可得

        比較系數(shù),可知

        此時(shí),待求特解表達(dá)式中的未知系數(shù)可由P1(x)的系數(shù)和p,q,λ唯一確定,這樣可以省去中間的求導(dǎo)計(jì)算.下面我們給出一個(gè)教材中的例子,通過兩種方法的計(jì)算,說明上面結(jié)論在具體計(jì)算中的簡(jiǎn)潔性.

        例1[5]求微分方程y"-2y'-3y=3x+1的通解.

        原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為

        它的特征方程

        有兩個(gè)實(shí)根r1=-1,r2=3,

        于是與所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為

        下面求非齊次方程的特解.

        解法1 由于f(x)=3x+1,所以可設(shè)特解y*=ax+b,帶入原方程得到

        比較兩邊系數(shù)得到,

        解法 2 設(shè)特解y*=ax+b,由于 r=3,s=1,λ=0,p=-2,q=-3,利用(2)(3)兩式可得,因此特解也為

        (2)當(dāng) λ2+pλ+q=0,2λ+p≠0 時(shí),可設(shè)特解 y*=eλxx(ax+b),則

        將 y*",y*',y*代入(1)中,整理可得

        比較系數(shù),可知

        例2[5]求微分方程y"-5y'+6y=xe2x的通解.

        原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為

        它的特征方程

        有兩個(gè)實(shí)根r1=2,r2=3,

        于是與所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為

        下面求非齊次方程的特解.

        解法1 由于f(x)=xe2x,所以可設(shè)特解y*=x(ax+b)e2x,則

        代入原方程得到

        比較兩邊系數(shù)得到,

        解法2 設(shè)特解y*=x(ax+b)e2x,由于r=1,s=0,λ=2,p=-5,q=6,利用(4)(5)兩式可得

        (3)當(dāng) λ2+pλ+q=0,2λ+p=0 時(shí),可設(shè)特解 y*=eλxx2(ax+b),則

        將 y*",y*',y*代入(1)中,整理可得

        比較系數(shù),可知

        注:特別地在 s=0,即 f1(x)=rxeλx,當(dāng) λ 是(1)對(duì)應(yīng)的齊次方程特征方程的二重特征根時(shí),b=0.因此,可以設(shè)特解y*=eλxx2·ax.由于不含有常數(shù)項(xiàng),可以簡(jiǎn)化特解y*的求導(dǎo),從而使得計(jì)算過程變得簡(jiǎn)單.筆者查閱了大部分高校選用的高等數(shù)學(xué)[5]及常微分方程[7]教材,都沒有明確指出這一點(diǎn).

        下面我們舉一例加以說明.

        例3[6]求微分方程y"+6y'+9y=6xe-3x的通解.

        原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為

        它的特征方程

        有實(shí)根r1=r2=-3,

        于是與所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為

        在教材[6]中,設(shè)特解為 y*=x2(ax+b)e-3x.由于 f(x)=6xe-3x,根據(jù)上面的注記,可設(shè)特解y*=ax3e-3x,則y*'=(-3ax3+3ax2)e-3x,y*"=(9ax3-18ax2+6ax)e-3x,

        代入原方程得

        所以a=1,y*=x3e-3x,故原方程的特解為

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