江蘇省東南大學(xué)(211189)徐文平

侯明輝老師運用三角函數(shù)方法證明了三割線定理[1],在平面幾何中圓類問題的計算和論證方面有著廣泛的應(yīng)用,依靠這個定理解題的步驟可以大大的簡化.下文筆者依據(jù)極點和極線性質(zhì),探尋三割線定理的本質(zhì),并擬推廣到圓錐曲線之中,驗證圓錐曲線三割線定理的正確性,開展三割線定理的運用討論,供大家鑒析.

一、關(guān)于三割線定理的本質(zhì)

1.三割線定理簡介

定理1PAB、PCD為圓的任意二條割線,AD與BC交于點Q,PQ連線與圓交于點E、F點,則PQ調(diào)和分割

圖1

2.極點極線方法作橢圓切線

1)勒姆柯爾方法

勒姆柯爾過橢圓外一點P,引四條割線PAiBi(i=1,2,3,4),直線A1B2與A2B1交于Q點,直線A3B4與A4B3交于R點,直線QR交橢圓于S、T兩個點,則S、T是橢圓對應(yīng)點P的兩個切點,直線PS、PT就是所求的切線(圖2).

圖2

2)舒馬赫方法

大數(shù)學(xué)家高斯的朋友舒馬赫不滿足勒姆柯爾的方法,寫信給高斯,信中說他找到了一個只需引三條割線就可以作橢圓切線的方法.(圖3).

圖3

3)高斯方法

高斯在收到舒馬赫的信第六天,回信提出了一個只需引兩條割線.就可以作橢圓切線的簡捷方法(圖4).

圖4

3.三割線定理的本質(zhì)

勒姆柯爾、舒馬赫和高斯三人提出的橢圓切線作圖方法均為極點極線方法,依據(jù)極點P探尋極線ST上的二點Q、R,連接QR直線交橢圓于S、T二個切點,即PS和PT為二條切線.

依據(jù)射影幾何知識可知,圖4中三角形PQR是自配極三角形,其中P極點的極線是QR極線,可用于尋找ST切點,R極點的極線是PQ極線,Q極點的極是PR極線.

在圖1中,三割線定理中的P、Q二點就是極點P和極線上一點Q的對應(yīng)關(guān)系,三割線定理的本質(zhì)就是過橢圓外一點P作任意割線PEF交圓于E、F二點,割線PEF交極點P的極線于Q點,則P、E、Q、F形成調(diào)和點列.

二、簡明的三割線定理的證明方法

1.三割線定理的純幾何證明

引理1從圓外一點P,引圓的兩條切線和一條割線,S、T為切點,A、B點為割線與圓的交點,切點弦線ST與PAB割線交于Q點,那么PQ調(diào)和分割A(yù)B.

圖5

證明如圖5,假設(shè)N點為AB的中點,分析得知,AB⊥ON,所以Q、M、N、O四點共圓,則PQ·PN=PM·PO.因為△POT與△PMT是相似三角形,PT2=PM·PO.因為PT2=PA·PB,所以PQ·PN=PA·PB.因為所以PQ·(PA+PB)=2PA·PB.所以所以PQ調(diào)和分割A(yù)B.

引理2從圓外一點P引兩條切線,得到兩個切點S、T點,從圓外一點P引兩任意割線,與圓交于A、B與C、D四點,交叉連接AD、BC直線交于Q點,AC與BD延伸交于R點,則S、T、Q、R四點共線.(高斯配極三角形命題)

圖6

證明聯(lián)結(jié)AS、SB、BD、DT、TC、CA直線,得圓內(nèi)接的凸六邊形ASBDTC.欲證S、Q、T三點共線,只需證明AD、BC、ST三線共點.對于圓內(nèi)接凸六邊形ASBDTC,利用塞瓦定理,只須證明因為△PBD∽△PCA,△PTC∽△PDT,△PAS∽△PSB,則又因為PS=PT,所以所以因此,BC、AD、ST三線共點,S、Q、T三點共線.在三角形△RCD中,假設(shè)M點為RQ與CD的交點,由賽瓦定理得因為△RCD被直線PB所截,由梅涅勞斯定理得：將上面兩個式子相乘得：所以CD被PM調(diào)和分割,同時PM被CD也調(diào)和分割.依據(jù)引理1可知,M點在極線ST上,所以M、R、S、T四點共線,所以M、S、T、Q、R五點共線,因此S、T、Q、R四點共線.

三割線定理簡證

圖1中,PAB、PCD為過橢圓外一點P引出的兩條任意割線,AD與BC交于Q,直線PQ交橢圓于E、F二點.由引理2可知,AD與BC交于Q,則Q點在以P點為極點的ST極線上.由引理1可知,因為Q點在ST極線上,則PQ調(diào)和分割EF,即因此,對于在圓的情況下,三割線定理成立.如圖7,依據(jù)坐標(biāo)線性變換原理,圓轉(zhuǎn)換為橢圓,直線段僅是線性變換其位置,線段比例關(guān)系不變,因此,對于在橢圓的情況下,三割線定理也成立.

圖7

2.圓錐曲線三割線定理的極點極線方法證明

引理3(完美四邊形的調(diào)和性質(zhì))如圖8中,完美四邊形ABCDEF有三條對角線AC、BD和EF,則一條對角線的兩端點必定調(diào)和分割該對角線與另兩條對角線的兩個交點.即：EF調(diào)和分割MN;BD調(diào)和分割KM;AC調(diào)和分割KN.

圖8

簡證由于AF、EC和DM三線共點B,由賽瓦定理得：又直線ACN截△DEF,由梅涅勞斯定理有EF調(diào)和分割MN.類似可證：BD調(diào)和分割KM;AC調(diào)和分割KN.

引理4(圓錐曲線三割線定理)極點P與對應(yīng)極線上任意一點Q調(diào)和分割該兩點連線與圓錐曲線相交的A、B兩點.如圖9,已知橢圓外一點P,作兩條切線PS和PT,連接ST極線.作割線PAB,且該割線與ST交于點Q,則A、B調(diào)和分割線段PQ.即

圖9

證明由帕斯卡定理可知,EPF三點共線,EF為Q點的極線,圖8形狀成立.依據(jù)完美四邊形ASBTEF的基本特性可知,E、P、F、R四點調(diào)和分割,EF調(diào)和分割PR.由射影幾何知識可知[2],以B點為射影點分析S、Q、T、R四點連線,ST調(diào)和分割QR.由射影幾何知識可知,以E點為射影點分析B、Q、A、P四點連線,AB調(diào)和分割PQ.依據(jù)極點與極線的對偶性,如果P點在橢圓內(nèi)部,任意選取極線上一點Q,引理3也成立.

采用射影幾何思想用于圓錐曲線,可得到許多新穎的結(jié)果.大數(shù)學(xué)家笛沙格采用一種有效的方法—投射取截法來實現(xiàn)二次圓錐曲線的連續(xù)變化.只要改變截景平面的位置,就可使圓的截景從圓連續(xù)變?yōu)闄E圓、拋物線和雙曲.因此,對于圓成立的許多性質(zhì),都可通過取截景的方法來證明它們對其他二次圓錐曲線也成立.這就提供了一種相當(dāng)簡便的方法.

因此,同理采取類似構(gòu)圖方法,可以快速證明雙曲線和拋物線中,引理4也成立.

如圖10,拋物線外一點P,作割線PAB和PCD,BC和AD交于點Q,連線PQ交拋物線于E、F點,則PQ調(diào)和分割EF,即

圖10

三、關(guān)于三割線定理的運用

1.簡化解題

例1圓I是三角形ABC的內(nèi)切圓,圓I切BC邊于D點,AD交圓I于M點,過M、D兩點的圓I的切線交于P點,E是DM上的一點,BE、CE分別交圓I于G、F兩點,求證：MP、DP、GF三線交于P點.

圖11

在圖11中,從P點作一個割線PFG,交AMD于Q點.極點P與極線AMD相對應(yīng),依據(jù)三割線定理,則G、Q、F、P四點調(diào)和.依據(jù)題意可知：B、D、C、P四點調(diào)和分割.(詳見補證1)依據(jù)射影幾何原理,E點是射影點,則BG、DM、CF交于一點E,證明完畢.

補證1如圖12中,假定S、T為切點,圓I是三角形ABC的內(nèi)切圓,則,AS=AT,BS=BD,CD=CT,即：切線長度相等.利用比賽瓦定理,可以證明AD、BT、SC三線交于一點R,由于A、M、D三點共線,依據(jù)極點與極線對偶性,則ST、MP、DP交于一點P,分析ASRTBC完美四點形,可知,BC調(diào)和分割DP,B、D、C、P四點調(diào)和分割.

圖12

2.尺規(guī)作圖做橢圓的切線

例2(過橢圓上一點作切線)如圖13,取AB的中點M,連接MO,延伸與橢圓交于C、D兩點,作CD為直徑的圓,作MP垂直于CD,過P點作圓切線,CD與切線PN交于N點,則極線AB的極點為N點.(原理：MN調(diào)和分割CD),證明略.

圖13

例3(過橢圓外一點作切線)如圖14,連線OM,交橢圓于C、D兩點,作CD為直徑的圓,過N點作圓的切線,切點為P點,作PM垂直CD,過C點作橢圓的切線,過M點作切線的平行線交橢圓于A、B兩點,則AB為極線.(原理：MN調(diào)和分割CD),證明略.

圖14

3.證明六點共橢圓

利用帕斯卡定理或者卡諾定理證明六點共橢圓常常是非常復(fù)雜有難度,然而,利用完美四邊形獲得四點調(diào)和分割條件,依據(jù)極點極線對偶性質(zhì),再利用三割線定理的調(diào)和分割性質(zhì),就可以判定六點共橢圓,事半功倍效果,屢試不爽.

例4在橢圓外任意一條直線上,任意選取四點,過四點作橢圓的切線,形成二個外切橢圓的牛頓四邊形,則二個外切牛頓四邊形的八個頂點共橢圓.

如圖15,牛頓四邊形ABCD外切小橢圓,Q點為極點,XY為極線.在極線XY上,任意選取二點M和N,做小橢圓的切線,形成新的四邊形EFGH,則二個外切四邊形ABCD和外切四邊形EFGH的八點共橢圓.

圖15

簡證運用牛頓幾何定理3,由極點和極線性質(zhì)可知,新構(gòu)成的牛頓四邊形EFGH對角線也是交于極點Q,假設(shè)四邊形ABCD加上一點E點,可以構(gòu)成一個外橢圓(五點定橢圓).由完美四邊形EFGHMN可知,PQ調(diào)和分割EG.由三割線逆定理可知,PQEG滿足調(diào)和分割條件,則G點也在外橢圓之上,即ABCDEG六點共橢圓.同理,也可以證明ABCDFH六點共橢圓.因此ABCDEFGH八點共橢圓.同時,也完成了彭色列閉合定理(N=4)證明.