陳東東，沐年國

（上海理工大學(xué) 管理學(xué)院，上海 200093）

匯率是用一國貨幣表示另一國貨幣的價(jià)格水平，是一種外匯資產(chǎn)價(jià)格水平的貨幣表現(xiàn)。匯率作為一國重要的宏觀經(jīng)濟(jì)變量，不僅影響一國宏觀經(jīng)濟(jì)的運(yùn)行和微觀層次上的資源配置，而且還是維系全球經(jīng)濟(jì)發(fā)展的一條重要紐帶[1]。2015年8月11日，我國匯改又進(jìn)一步松綁了人民幣匯率，使得人民幣匯率更加市場(chǎng)化。因此，正確預(yù)測(cè)人民幣匯率的變化也變得越來越重要。

一、研究現(xiàn)狀

時(shí)間序列分析方法一直是研究匯率的有效并可靠的方法，可以獲得觀測(cè)樣本序列產(chǎn)生的隨機(jī)機(jī)制，也就是建立數(shù)學(xué)模型；亦可以根據(jù)在歷史數(shù)據(jù)規(guī)律，估算觀測(cè)樣本序列未來的可能取值[2]。由于匯率具有復(fù)雜的非線性特征，而ARIMA模型是建立在線性關(guān)系的假設(shè)上，因此很難有效地捕捉到并解釋非線性關(guān)系，存在難以調(diào)和的矛盾。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Neural Networks，NN）具有良好的逼近能力，能挖掘數(shù)據(jù)背后復(fù)雜的非線性特征，是目前非線性系統(tǒng)研究的熱門工具之一[3]。Thomas和Yu分別使用BP和RBF非線性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對(duì)美元匯率進(jìn)行了短期預(yù)測(cè)，但由于需要估計(jì)的參數(shù)較多，導(dǎo)致所模型容易產(chǎn)生數(shù)據(jù)過擬合，泛化能力不夠，從而使其預(yù)測(cè)精度不高，在短期匯率預(yù)測(cè)應(yīng)用中受到了限制[4～5]。

ARIMA模型是基于線性技術(shù)來預(yù)測(cè)的，而對(duì)非線性處理效果不佳；NN模型則在挖掘數(shù)據(jù)背后非線性關(guān)系方面有著不可比擬的優(yōu)勢(shì)。但匯率市場(chǎng)是復(fù)雜演化的動(dòng)態(tài)市場(chǎng)，是高噪聲、非平穩(wěn)的，包含了線性和非線性的混沌系統(tǒng)[6]，因此，使用單一的線性模型或者非線性模型都不能完全描述匯率時(shí)間序列的特征。Tseng等人組合ARIMA模型與BP神經(jīng)網(wǎng)路模型預(yù)測(cè)季節(jié)性時(shí)間序列[7]，Yu等結(jié)合廣義線性自回歸模型與NN模型預(yù)測(cè)匯率[8]，結(jié)果顯示組合模型的總體預(yù)測(cè)效果顯著優(yōu)于單一的時(shí)間序列模型預(yù)測(cè)效果。熊志斌采用ARIMA模型預(yù)測(cè)序列的線性主體，運(yùn)用NN模型對(duì)ARIMA的殘差部分進(jìn)行估計(jì)，結(jié)果表明融合模型的預(yù)測(cè)精準(zhǔn)率高[9]。

本文在總結(jié)前人研究的基礎(chǔ)上，將HP濾波分解融合到時(shí)間序列ARMA與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（BPNN）組合模型里預(yù)測(cè)人民幣匯率。即采用HP濾波將樣本序列分解成平穩(wěn)趨勢(shì)項(xiàng)與方差時(shí)變的波動(dòng)項(xiàng)；對(duì)平穩(wěn)序列建立ARMA模型，對(duì)波動(dòng)非線性序列建立BPNN模型，然后將模型的預(yù)測(cè)值整合，得到樣本短期預(yù)測(cè)值。

二、理論概述

（一）HP濾波

Hodrick-Prescott濾波法把經(jīng)濟(jì)運(yùn)行看作是長(zhǎng)期內(nèi)在的或者潛在的增長(zhǎng)趨勢(shì)和短期波動(dòng)的結(jié)合[10]。該方法采用對(duì)稱數(shù)據(jù)移動(dòng)平均的方法原理，設(shè)計(jì)了一個(gè)濾波器，高頻部分通過，低頻部分濾除[11]，即HP過濾器是一種將趨勢(shì)和周期成分從原始時(shí)間序列中分離出來的工具[12]，這就是通常意義上的時(shí)間序列趨勢(shì)成分和波動(dòng)成分[13]。

設(shè)一個(gè)時(shí)間序列Yt表示成：

HP濾波依賴于參數(shù)λ的設(shè)定，該參數(shù)λ需要先給定。參數(shù)λ是對(duì)趨勢(shì)光滑程度和對(duì)原始數(shù)據(jù)擬合程度的一個(gè)權(quán)衡參數(shù)：隨著λ值的增加，估計(jì)的趨勢(shì)越光滑，當(dāng)λ趨于無窮大時(shí)，估計(jì)的趨勢(shì)將接近線性函數(shù)。

（二）ARMA模型

ARMA是對(duì)平穩(wěn)時(shí)間序列進(jìn)行自回歸AR（p）和滑動(dòng)平均過程MA（q）建模，并有一整套的建模、估計(jì)、檢驗(yàn)和控制方法[14]。

模型的表達(dá)式：

式中：c為常數(shù)項(xiàng)，p和q分別表示模型中自回歸項(xiàng)和移動(dòng)平均項(xiàng)的階數(shù)，αi為第i個(gè)自回歸項(xiàng)的系數(shù)；θj為第j個(gè)移動(dòng)平均項(xiàng)的系數(shù)；εt為殘差項(xiàng)，是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，服從均值為0、方差為1的分布。

（三）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是由大量的、簡(jiǎn)單的處理單元廣泛地互相連接而形成的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，它反映了人腦功能的許多基本特征，是一個(gè)高度復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)習(xí)系統(tǒng)。本文模型通過PSO算法來訓(xùn)練優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，并最終確定合適的模型參數(shù)（Wij和Wj）。PSO算法的基本原理是[9，15～16]：

設(shè)在n維的搜索空間中，由m個(gè)粒子組成的種群記為：X=（X1，…，Xi，…Xm），其中，第i個(gè)粒子的位置為Xi=（Xi1，Xi2，…Xin）T，其速度為Vi=（Vi1，Vi2，…Vin）T。粒子i的個(gè)體極值為pi=（pi1，pi2，…pin）T，種群的全局極值為pg=（pg1，pg2，…pgn）T。

粒子在搜索過程中通過跟蹤兩個(gè)目標(biāo)值來更新自己的速度和位置：一是粒子本身目前找到的最優(yōu)解，即個(gè)體極值；二是整個(gè)種群目前找到的最優(yōu)解，即群體極值。

其迭代公式：

三、實(shí)證分析

本文采用了對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行HP粗分解方法，首先獲得趨勢(shì)部分和波動(dòng)部分，然后分別對(duì)趨勢(shì)部分和變化部分建立ARMA、BPNN模型進(jìn)行預(yù)測(cè)；同時(shí)，對(duì)樣本數(shù)據(jù)直接建立ARIMA模型、BPNN模型進(jìn)樣本外預(yù)測(cè)；然后比較各模型預(yù)測(cè)值與真實(shí)值的均方根誤差（RMES）、平均絕對(duì)誤差（MAE）、平均絕對(duì)百分誤差（MAPE）和希爾不等系數(shù)（TIC）4個(gè)常用的預(yù)測(cè)誤差指標(biāo)。誤差指標(biāo)越小，說明模型的預(yù)測(cè)值和真實(shí)值最為接近，則可判斷為最佳模型[17]。

（一）數(shù)據(jù)來源

本文對(duì)人民幣匯率進(jìn)行短期預(yù)測(cè)，基于何丹青[18]比較大小樣本建立ARMA模型效果，證明一些久遠(yuǎn)的數(shù)據(jù)不利于ARMA模型的準(zhǔn)確預(yù)測(cè)。因此，本文選擇了2013年1月至2017年3月《中國統(tǒng)計(jì)年鑒》公布的美元兌換人民幣匯率的月度數(shù)據(jù)為樣本，進(jìn)行分析建立模型，預(yù)測(cè)匯率走勢(shì)。

（二）HP濾波分解

先將原始樣本數(shù)據(jù)對(duì)數(shù)處理，然后用軟件Eviews進(jìn)行HP濾波處理，根據(jù)月度數(shù)據(jù)的趨勢(shì)性特點(diǎn)，定義平滑指數(shù)λ=14 400[19]，結(jié)果（如圖1所示），平滑虛線Trend代表趨勢(shì)序列，增長(zhǎng)率沒有明顯的變化；實(shí)心圓線Cycle代表波動(dòng)項(xiàng)，有著周期性的不規(guī)則變化。

圖1 HP濾波分解圖

（三）建模

模型程序基于Matlab7.0軟件編寫并實(shí)現(xiàn)。本文采用試錯(cuò)法確定網(wǎng)絡(luò)輸入節(jié)點(diǎn)數(shù)和隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)，即計(jì)算每個(gè)粒子所對(duì)應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出誤差，并將該誤差作為對(duì)應(yīng)粒子的適應(yīng)值，找出適應(yīng)值最好的粒子，將此粒子的位置作為粒子群的群體極值；按照式（6）更新所有粒子位置即產(chǎn)生新的種群；然后計(jì)算每個(gè)粒子的個(gè)體極值進(jìn)；將每個(gè)粒子的個(gè)體極值與群體極值進(jìn)行比較，若更好，則將該粒子的個(gè)體極值更新為當(dāng)前的群體極值；若輸出誤差滿足設(shè)計(jì)要求，則終止訓(xùn)練并輸出結(jié)果；否則返回重新計(jì)算粒子適應(yīng)值，直到誤差平方和減小到某一目標(biāo)誤差，即認(rèn)為此算法是收斂的。

經(jīng)反復(fù)試驗(yàn)比較，確定模型為4輸入1輸出，隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)為5，即網(wǎng)絡(luò)模型采用4×5×1結(jié)構(gòu)。粒子群算法的各參數(shù)選取分別為：c1=1.5，c2=0.2，wmax=0.9，wmin=0.4，vmax=8，vmin=-10，Xmax=10，Kmax=500。利用建模樣本對(duì)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練500代，誤差達(dá)到0.0091745，訓(xùn)練過程的誤差曲線（如圖2所示）。

圖2 訓(xùn)練誤差曲線

3.模型預(yù)測(cè)值融合。將趨勢(shì)序列與波動(dòng)序列模型的預(yù)測(cè)值整合起來，得到樣本序列預(yù)測(cè)值（如圖3所示）。

4.建立ARIMA、BPNN模型。樣本數(shù)據(jù)直接建模進(jìn)行預(yù)測(cè)。先進(jìn)行單位根檢驗(yàn)，結(jié)果表明樣本序列的一階差分序列為穩(wěn)定序列；對(duì)一階差分序列建立ARMA，運(yùn)用Eviews軟件，經(jīng)過多次試設(shè)，遵循SC、AIC最小原則確定參數(shù)，建立如下模型ARMA（2，2），并進(jìn)行預(yù)測(cè)。模型表達(dá)式如下：

依然采用試錯(cuò)法確定樣本序列的網(wǎng)絡(luò)輸入節(jié)點(diǎn)數(shù)和隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)，建立BPNN并進(jìn)行預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)值（如圖3所示）。

圖3 各模型預(yù)測(cè)值

5.方差分析。為了更加全面地描述不同模型對(duì)匯率的預(yù)測(cè)效果，本文采用4個(gè)常用的預(yù)測(cè)誤差指標(biāo)來衡量模型預(yù)測(cè)效果，各模型誤差指標(biāo)（如下表所示）。

由上表可知，ARMA+BPNN模型向前短期3個(gè)月預(yù)測(cè)值的各項(xiàng)誤差指標(biāo)值都是最小的，比ARIMA模型的指標(biāo)值縮小了近6倍，比BPNN模型縮小近20倍；向前6個(gè)月預(yù)測(cè)值的誤差指標(biāo)與ARIMA的相近，比BPNN模型的指標(biāo)縮小近3倍；但向前9個(gè)月的預(yù)測(cè)值誤差指標(biāo)比ARIMA模型擴(kuò)大了近2倍，比BPNN模型的指標(biāo)縮小了近2倍，以上分析說明序列經(jīng)HP濾波處理后的ARMA+BPNN模型在短期預(yù)測(cè)精準(zhǔn)度得到很大提高。

模型的預(yù)測(cè)誤差指標(biāo)比較

四、結(jié)語

從模型理論上分析，ARIMA模型沒有考慮到外界相關(guān)因素的影響，導(dǎo)致短期預(yù)測(cè)效果相對(duì)低；而BPNN需要估計(jì)的參數(shù)較多，導(dǎo)致所得到的模型容易產(chǎn)生過擬合，泛化能力不夠，而使其預(yù)測(cè)精度不高，在短期匯率預(yù)測(cè)應(yīng)用中受到了限制；HP濾波分解出趨勢(shì)項(xiàng)和波動(dòng)項(xiàng)，既考慮了外界經(jīng)濟(jì)長(zhǎng)期趨勢(shì)的影響，也考慮到匯率自身因素，融合了單一模型的長(zhǎng)處，更深刻地挖掘匯率序列背后復(fù)雜的線性與非線性特征，極大地改善了模型的預(yù)測(cè)性能。

ARMA善于捕捉數(shù)據(jù)中的線性特征，而BPNN則擅長(zhǎng)挖掘數(shù)據(jù)背后的非線性關(guān)系。融合ARMA-BPNN模型對(duì)匯率序列的預(yù)測(cè)效果都要好于其他單一的模型，這也說明人民幣匯率序列不僅具有線性結(jié)構(gòu)特征，也具有非線性特征關(guān)系；而融合模型相比單一模型，更能捕捉到人民幣匯率的這種復(fù)雜的混合特征，極大地提高了模型的預(yù)測(cè)性能。同時(shí)，也表明我國人民幣匯率市場(chǎng)并不是一個(gè)有效市場(chǎng)，對(duì)匯率的預(yù)測(cè)是有必要的，也是可能的。