嚴(yán) 芹

圖形的變換問題一般集眾多知識點(diǎn)于一題，解決方法往往也比較多。近年來，它已成為中考命題的一大熱點(diǎn)。有些同學(xué)在遇到此類題型時(shí)，會產(chǎn)生一定的畏懼心理，但是，如果從圖形的變換特點(diǎn)出發(fā)，在變換中瞄準(zhǔn)不變量，就能找到突破口，巧解中考題。下面，筆者以近幾年的中考試題為例進(jìn)行剖析，希望對同學(xué)們有所幫助。

一、平移變換

例1（2017·江蘇無錫）在如圖的正方形方格紙中，每個(gè)小的四邊形都是相同的正方形，A、B、C、D都在格點(diǎn)處，AB與CD相交于O，則tan∠BOD的值等于_____。

圖1

【解析】點(diǎn)O為非網(wǎng)格點(diǎn)，如果直接作垂線構(gòu)造直角三角形，那么在求解線段長度時(shí)會比較繁雜，有一定的難度。如果我們將CD平移到合適的位置，使得它與AB的交點(diǎn)恰好為格點(diǎn)，再根據(jù)平移的性質(zhì)——兩直線平行，同位角相等，則可較為簡捷地求解問題。

解：如圖2，平移CD到C′D′，交AB于格點(diǎn)O′，則∠BO′D′=∠BOD，tan∠BO′D′=tan∠BOD。

圖2

過點(diǎn)B作BE⊥O′D′于點(diǎn)E，設(shè)每個(gè)小正方形的邊長為1，則BD′=3，O′F=2，O′D′=22。

利用等積法，得：

【點(diǎn)評】本題在表述中沒有直接出現(xiàn)與“平移”相關(guān)的詞語，而是需要同學(xué)們通過分析、思考，借助平移的手段，利用平移的性質(zhì)，將結(jié)果中的角（∠BOD）轉(zhuǎn)換成以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的方便計(jì)算的角。這樣一來，問題就變得簡單多了。

二、翻折變換

例2（2016·江蘇淮安）如圖3，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)F在邊AC上，并且CF=2，點(diǎn)E為邊BC上的動點(diǎn)，將△CEF沿直線EF翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，則點(diǎn)P到邊AB距離的最小值是_____。

圖3

【解析】由翻折得FP=FC=2，所以點(diǎn)P到F的距離為定長2，故點(diǎn)P在以F為圓心、2為半徑的圓上。顯然，當(dāng)FP⊥AB時(shí)，點(diǎn)P到AB的距離最小。

解：由翻折知FP=FC=2，點(diǎn)P在以F為圓心、2為半徑的圓上。故當(dāng)FP⊥AB時(shí)，點(diǎn)P到AB的距離最小。

由勾股定理得AB=10。

當(dāng)FP⊥AB時(shí)，延長FP交AB于點(diǎn)M（如圖4）。

圖4

解得FM=3.2。

∴PM=FM-FP=3.2-2=1.2。

∴點(diǎn)P到邊AB距離的最小值是1.2。

【點(diǎn)評】翻折變換中，折疊前后重合的量相等，即對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等。在翻折過程中，點(diǎn)P的位置、點(diǎn)P到AB的距離都在變化，但是FP的長度始終等于2，且點(diǎn)F是定點(diǎn)，抓住這些不變量，再依據(jù)“垂線段最短”便可突破難點(diǎn)。

三、旋轉(zhuǎn)變換

例3（2017·江蘇蘇州）如圖5，在矩形ABCD中，將∠ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度后，BC的對應(yīng)邊B′C′交CD邊于點(diǎn)G。連接BB′、CC′，若AD=7，CG=4，AB′=B′G，則結(jié)果保留根號）。

圖5

【解析】由旋轉(zhuǎn)知AB′=AB，AC′=AC，若連接AC、AC′，則∠CAC′=∠BAB′。由此可構(gòu)造相似三角形△ABB′∽△ACC′，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得。若能求出AB的長，則問題得解。

解：連接AC、AG、AC′，如圖6所示。

圖6

由旋轉(zhuǎn)知 AB′=AB，AC′=AC，∠CAC′=∠BAB′。

∵AB′=B′G，∠AB′G=∠ABC=90°，

∴△AB′G是等腰直角三角形。

在Rt△ADG中，由勾股定理得AD2+DG2=AG2，即72+（x-4）2=（

解得x1=5，x2=-13（舍去）。

【點(diǎn)評】在解決本題時(shí)，同學(xué)們應(yīng)抓住旋轉(zhuǎn)過程中的不變量，如AB′=AB，AC′=AC，∠CAC′=∠BAB′等。同時(shí)，如果仔細(xì)觀察圖形的特征，就會發(fā)現(xiàn)一些基本模型，抓住這些基本模型，找出相似三角形，由相似的性質(zhì)得到，最后運(yùn)用方程思想求出相關(guān)線段長度，從而解決問題。