摘要：“比”是什么時(shí)候開始作小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容的，比的定義在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中如何變化，這些變化又給小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)帶來怎樣的啟示？筆者追根溯源探尋“比定義”的歷史變遷，鑒往知來揭秘“比定義”的歷史背景，繼承發(fā)揚(yáng)解讀“比定義”的教學(xué)啟示。

關(guān)鍵詞：“比”的定義；變化；意義

“比”是什么時(shí)候開始作小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容的，比的定義在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中如何變化，本文試圖根據(jù)文獻(xiàn)資料，談“比的定義”的歷史沿革及教學(xué)啟示。

一、追根溯源探尋“比定義”的歷史變遷

“比和比例”并不是自古以來就是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容。筆者從清朝末年政府頒布的兩個(gè)“學(xué)堂章程”即1902年的《欽定蒙學(xué)堂章程》和《欽定中學(xué)堂章程》入手，查閱有關(guān)“比和比例”內(nèi)容，在1923年的《新學(xué)制課程標(biāo)準(zhǔn)綱要（初級中學(xué)算學(xué)課程綱要）》中，發(fā)現(xiàn)了比例的內(nèi)容，之后40年該內(nèi)容都屬于初中教學(xué)內(nèi)容。人民教育出版社1959年出版的《初級中學(xué)課本算術(shù)》中是這樣描述“比”：一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍或者幾分之幾，也可以說第一個(gè)數(shù)和第二個(gè)數(shù)的比是幾或者幾分之幾。當(dāng)這一內(nèi)容下放到小學(xué)階段進(jìn)行學(xué)習(xí)后，其定義描述相比較初中要來的形象一些，在1963年人教社出版的《十年制學(xué)校小學(xué)課本算術(shù)（第十冊）》中定義已做微調(diào)，教材借助具體例子進(jìn)行描述“我們常常要比較兩個(gè)數(shù)量的倍數(shù)關(guān)系，比如紅旗的長和寬，不說長是寬的幾倍或?qū)捠情L的幾分之幾，只說長和寬的比或者寬和長的比是多少”。從中我們清楚看到，初中教材中表示的是“數(shù)和數(shù)”的比，而下放到小學(xué)階段，則調(diào)整為“兩個(gè)數(shù)量的比”，同時(shí)教材中兩個(gè)數(shù)量倍數(shù)關(guān)系的書寫方式是帶“單位”的，也就是說，規(guī)定“兩個(gè)同類量才能相比，兩個(gè)不同類量是不能相比的”。而這一定義方式持續(xù)了近20來年時(shí)間后，由于實(shí)際應(yīng)用和后續(xù)學(xué)習(xí)的需求，教材開始增設(shè)“異類量的比”，于是比的定義擴(kuò)展為“兩個(gè)數(shù)相除又叫做兩個(gè)數(shù)的比”，當(dāng)前大陸各主流版本教材大多還是以這一定義方式來解釋“比”，但是人教社2012版本教材卻對比的定義再次做出修訂，即“兩個(gè)數(shù)的比表示兩個(gè)數(shù)相除”。

二、鑒往知來揭秘“比定義”的歷史背景

擁有課程發(fā)展的歷史眼光和現(xiàn)實(shí)觀照，我們才能深刻理解課程改革的旨趣與實(shí)質(zhì)，從而更加清晰理解概念的歷史變遷。盡管“比”的內(nèi)容早在《周髀算經(jīng)》中就有記載，但是將其作為教材內(nèi)容進(jìn)行學(xué)習(xí)，還是因受美國學(xué)制影響，中國“壬戌學(xué)制”頒布促就1923年課程標(biāo)準(zhǔn)綱要的產(chǎn)生，“比例”內(nèi)容才正式被編進(jìn)教材。隨著我國社會主義革命和建設(shè)事業(yè)的不斷發(fā)展，小學(xué)算術(shù)的學(xué)習(xí)內(nèi)容越來越不能適應(yīng)實(shí)際的需要，1957---1961年，全國開始了第三次課程改革，提出“現(xiàn)行小學(xué)算術(shù)教材內(nèi)容，完全有必要增多和加深”，于是探索嘗試中學(xué)數(shù)學(xué)下移到小學(xué)。至此“比例”內(nèi)容借助《十年制學(xué)校小學(xué)課本·算術(shù)（試用本）》正式進(jìn)駐小學(xué)數(shù)學(xué)教材，定義也隨之進(jìn)行了具體形象化的界定。此后數(shù)學(xué)課程改革經(jīng)歷了“冒進(jìn)期、文革期”，第六次課程改革提出了“撥亂反正，重建小學(xué)數(shù)學(xué)課程”，1977年8月8日，鄧小平同志指出“關(guān)鍵是教材，教材要反映出現(xiàn)代科學(xué)文化的先進(jìn)水平，同時(shí)要符合我國的實(shí)際情況”?！氨鹊亩x”在這樣的歷史背景下，由于現(xiàn)實(shí)生活中有大量的異類量比的存在，且后續(xù)的正反比例學(xué)習(xí)也會出現(xiàn)“異類量比”，因此1981年的教材中，對“比”進(jìn)行了補(bǔ)充，囊括了“同類量的比和異類量的比”，比定義進(jìn)一步得到擴(kuò)展。世紀(jì)之交，新一輪基礎(chǔ)教育課程改革拉開序幕，隨著《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的實(shí)驗(yàn)和修訂，“比定義”在深化課程改革的浪潮中，再一次經(jīng)歷歷史洗禮，最終修訂為“兩個(gè)數(shù)的比表示兩個(gè)數(shù)相除”。

三、繼承發(fā)揚(yáng)解讀“比定義”的教學(xué)啟示

1.解讀“比定義”概念的內(nèi)涵。比的概念源于測量。當(dāng)我們以乙為單位來度量甲時(shí)，叫做“甲比乙”，比較的結(jié)果指出“甲是乙的幾倍或幾分之幾”，由此而來，比的意義顯然是“比較兩個(gè)同類量之間的倍數(shù)關(guān)系”。在比較兩個(gè)同類量的過程中，還可以用同一個(gè)度量標(biāo)準(zhǔn)分別來度量每一種量，從而得到表示量的數(shù)，于是量的比就可以用表示它們的“數(shù)的比”來體現(xiàn)。這樣，要確定兩種量之間的倍數(shù)關(guān)系，只需對表示這兩個(gè)量的“數(shù)”做除法，從而得到數(shù)的比----數(shù)a除以數(shù)b即a：b。從除法運(yùn)算來看，異類量也可以相除，且兩個(gè)異類量相比是客觀存在的，補(bǔ)充這一內(nèi)容后，比的意義擴(kuò)展為“兩個(gè)數(shù)相除又叫做兩個(gè)數(shù)的比”，它是同類量比和異類量比的概括。值得注意的是，兩個(gè)異類量的比必須有它的實(shí)際意義，它會延伸出一個(gè)新的量，如路程和時(shí)間比產(chǎn)生“速度”，總價(jià)和數(shù)量之比為“單價(jià)”等等。但不是任意兩個(gè)異類量都能相比，如“5支鋼筆與20千米的比”，一般來說就毫無意義，如“重量與時(shí)間的比”一般不屬于數(shù)學(xué)的研究范疇。由于“比”是通過兩個(gè)數(shù)相除的運(yùn)算得到兩個(gè)量的倍比關(guān)系，為了避免描述方式產(chǎn)生歧義也為了凸顯比表示的是“量與量之間的關(guān)系”，因此，修訂版教材進(jìn)一步完善了定義，解釋為“兩個(gè)數(shù)的比表示兩個(gè)數(shù)相除”。

2.深思“比定義”帶來的啟示。其一，小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容并不是一成不變的，而是在不斷的發(fā)展變化中。從“比的定義”內(nèi)容在初中出現(xiàn)，到后續(xù)的下放到小學(xué)，比定義經(jīng)歷了一次又一次的調(diào)整變化，體現(xiàn)了內(nèi)容發(fā)展的與時(shí)俱進(jìn)。從總體上來說，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容會不斷增減，初中甚至高中的內(nèi)容都有可能以不同的形式下放到小學(xué)階段。如我們熟悉的方程、等式的基本性質(zhì)等內(nèi)容，這就要求小學(xué)數(shù)學(xué)教師要有開放的心態(tài)，不斷接受、不斷實(shí)踐，使得小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)能適應(yīng)時(shí)代發(fā)展的要求。其二，比定義隨著現(xiàn)實(shí)生活的需求、數(shù)學(xué)后續(xù)學(xué)習(xí)內(nèi)容的需求以及對概念本質(zhì)解讀的不斷深入，其概念的內(nèi)涵更加豐厚、外延更加擴(kuò)展，因此要求小學(xué)數(shù)學(xué)教師要不斷的學(xué)習(xí)。教師不能再是“一桶水”，而是要具備“長流水”，源源不斷的學(xué)習(xí)才能支撐起數(shù)學(xué)本體性知識的理解，從而深刻清晰的解讀數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)含義。其三，由于一些概念的重新定義或完善修訂，很大程度受客觀因素的影響，尤其是小學(xué)階段的概念定義更多的會借助“生活原型”來解釋，因此需要教師不斷探索新的教學(xué)內(nèi)容與相應(yīng)的教學(xué)方法，要積極尋找典型的生活原型，以便在教學(xué)中充分體現(xiàn)從具體到抽象的概念形成過程。

作者簡介：浙江省溫州市少年藝術(shù)學(xué)校，吳春敏，系朱樂平名師工作室“一課研究”成員。