劉書軍，肖 軍，鄒淇煬

(1.重慶交通職業(yè)學(xué)院，重慶 402247；2.重慶交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，重慶 400074；3.西南交通大學(xué) 橋梁工程系，四川 成都 610031)

穿越隨機(jī)風(fēng)場的高速列車所感受到的瞬時(shí)風(fēng)速與其所處空間位置和時(shí)間相關(guān)，在某確定時(shí)刻，空間位置與運(yùn)行速度有關(guān)，因而移動點(diǎn)脈動風(fēng)速譜與列車運(yùn)行速度有關(guān)。由于隨機(jī)風(fēng)場并非各向同性，因而移動點(diǎn)脈動風(fēng)速譜還受來流風(fēng)向角以及由車速和平均風(fēng)速所形成的偏航角影響。穿越隨機(jī)風(fēng)場的高速列車所感受到的脈動風(fēng)的特性區(qū)別于靜止點(diǎn)脈動風(fēng)的特性，其風(fēng)速時(shí)程的模擬不能采用靜止點(diǎn)風(fēng)速譜直接進(jìn)行樣本時(shí)程的模擬。以往在模擬運(yùn)動車輛所感受到的脈動風(fēng)時(shí)程時(shí)，通常采用以下2種方法：

1)采用固定點(diǎn)的多變量隨機(jī)過程模擬方法。首先，利用多變量隨機(jī)過程模擬的方法模擬得到離散隨機(jī)風(fēng)場；然后，采取離散點(diǎn)提取或者相鄰點(diǎn)插值的方式獲取列車當(dāng)前位置的瞬時(shí)風(fēng)速，并通過增加模擬點(diǎn)數(shù)來弱化人為離散引起的誤差。

2)基于移動列車的脈動風(fēng)速譜直接進(jìn)行單變量隨機(jī)過程模擬，以獲取移動列車的風(fēng)速時(shí)程樣本。

第1種方法是一種間接模擬的方法，適用于需要同時(shí)模擬固定點(diǎn)風(fēng)場和移動點(diǎn)風(fēng)速時(shí)程的情況。例如，在進(jìn)行風(fēng)-車-橋耦合振動分析時(shí)，需要同時(shí)模擬靜止橋梁所感受到的離散風(fēng)場，以及移動列車所感受到的隨機(jī)風(fēng)速時(shí)程。在不需要模擬固定離散風(fēng)場的情況下，例如在進(jìn)行風(fēng)-車-線耦合振動分析時(shí)，僅需要模擬移動列車所感受到的脈動風(fēng)速時(shí)程，則采用第2種方法能夠顯著提高模擬效率。本文主要介紹上述2種移動列車脈動風(fēng)速時(shí)程模擬方法，并對比2種方法的模擬效率以及功率譜的吻合情況。

1 基于多變量隨機(jī)過程的風(fēng)速時(shí)程模擬

1.1 傳統(tǒng)的譜分解方法及其快速算法

多變量隨機(jī)過程模擬方法主要包括：譜分解法、線性濾波法、小波方法等[1-3]。其中譜分解法廣泛應(yīng)用于隨機(jī)風(fēng)場模擬。

一維n變量0均值的高斯平穩(wěn)隨機(jī)過程fj0(t)(j=1，2,…,n)的互功率譜矩陣可寫為

(1)

fj0(t)的樣本函數(shù)可以根據(jù)下式進(jìn)行模擬：

(2)

式中:Δω為頻率間隔，ωl=Δω(l-1);N為頻率分段數(shù);φml為0～2π之間獨(dú)立均勻分布的隨機(jī)數(shù);θjm為相位角，計(jì)算式為

(3)

下三角矩陣H(ω)滿足

(4)

傳統(tǒng)譜解法的模擬過程大致可以分為2個(gè)階段。第1階段為互譜密度矩陣的Cholesky分解；第2階段則進(jìn)行諧波的疊加運(yùn)算。經(jīng)典的多變量隨機(jī)過程模擬方法由于在每一個(gè)頻率點(diǎn)處都需要做一次Cholesky分解，且需要將所有頻率點(diǎn)分解得到的H(ω)矩陣存儲下來，因而存在顯著的計(jì)算效率和計(jì)算內(nèi)存問題。圖1反映了頻率分段數(shù)1024時(shí)在個(gè)人電腦上模擬點(diǎn)數(shù)量對模擬時(shí)長的影響。

圖1 模擬點(diǎn)數(shù)量對模擬時(shí)長的影響

由圖1可見模擬點(diǎn)數(shù)對模擬時(shí)長影響顯著。在計(jì)算過程中發(fā)現(xiàn)，在當(dāng)前電腦配置下如果模擬點(diǎn)數(shù)超過50，則由于內(nèi)存占用問題幾乎無法完成模擬?；谧V解法的特點(diǎn)，在第1階段分解互譜密度矩陣Cholesky分解的過程中，計(jì)算機(jī)內(nèi)存占用問題突出，因?yàn)槊恳粋€(gè)頻率點(diǎn)Cholesky分解得到的H(ω)矩陣都需保存。由式(2)可知，對每個(gè)頻率分量ωl進(jìn)行余弦疊加時(shí)都需要進(jìn)行一次Cholesky分解，當(dāng)模擬點(diǎn)數(shù)增加時(shí)嚴(yán)重影響模擬效率。

為解決傳統(tǒng)譜解法存在的計(jì)算效率和計(jì)算內(nèi)存占用問題，文獻(xiàn)[4]基于譜解法的特點(diǎn)，在第1階段分解互譜密度矩陣Cholesky分解的過程中給出風(fēng)場互譜密度矩陣分解的解析表達(dá)式。這一方式使得H(ω)不需要事先生成，而只在需要時(shí)調(diào)用解析表達(dá)式。這直接解決了對計(jì)算內(nèi)存的占用問題。文獻(xiàn)[5]基于文獻(xiàn)[6]的方法，提出了一種改進(jìn)的適用于模擬短時(shí)隨機(jī)脈動風(fēng)場的數(shù)值模擬方法，極大地加快了譜解法在第2階段的計(jì)算效率。文獻(xiàn)[7-10]通過不同的方式對互譜密度矩陣分解做了大量改進(jìn)，有效提高了譜解法的模擬效率。

本文在文獻(xiàn)[4-5]的基礎(chǔ)上，編制了隨機(jī)風(fēng)場快速模擬程序WindEMSSP。該程序在譜解法第1階段采用了解析的表達(dá)式，在第2階段采用文獻(xiàn)[5]所改進(jìn)的逆向快速傅里葉變換(IFFT)技術(shù)。

假定需要模擬的是離地相同高度的等間距的n個(gè)水平點(diǎn)的隨機(jī)風(fēng)場，則各點(diǎn)的水平風(fēng)速譜相同，即

(5)

采用相干函數(shù)表達(dá)互功率譜，表達(dá)式為

(6)

式中：Δjm為j點(diǎn)和m點(diǎn)之間的水平距離;Coh(Δjm,ω)為相干函數(shù)。

假定各點(diǎn)之間間距相等，且均為Δ，則Δjm=Δ·|j-m|，采用Davenport相干函數(shù)，得到

(7)

因而可以得到互功率譜矩陣為

(8)

對互功率譜矩陣進(jìn)行Chelosky分解，H(ω)可以顯式地表達(dá)為

(9)

式中

G(ω)=

(10)

式(10)寫成解析表達(dá)式為

(11)

式(11)給出了風(fēng)場互譜密度矩陣分解的解析表達(dá)式。這一方式既解決了對計(jì)算內(nèi)存的占用問題，且由于不需要進(jìn)行大量的Cholesky分解，對計(jì)算效率也有顯著的提高。

在譜解法的第2階段，WindEMSSP程序利用在頻域內(nèi)對分解的相干矩陣進(jìn)行疊加運(yùn)算形成復(fù)共軛對稱序列的方法，因而隨機(jī)過程樣本只需要一次IFFT即可實(shí)現(xiàn)，也即一維n變量隨機(jī)過程模擬僅需執(zhí)行n次IFFT變換。而采用單索引方法和雙索引方法模擬全部隨機(jī)過程所執(zhí)行的IFFT的次數(shù)則為n·(n+1)/2。

1.2 基于隨機(jī)風(fēng)場插值的列車風(fēng)速時(shí)程模擬

高速列車在隨機(jī)風(fēng)場中運(yùn)動，其所感受到的風(fēng)速時(shí)程如圖 2所示。瞬時(shí)風(fēng)速等同列車當(dāng)前位置、當(dāng)前時(shí)刻靜止點(diǎn)的瞬時(shí)風(fēng)速。

圖2 基于隨機(jī)風(fēng)場插值的列車風(fēng)速時(shí)程模擬示意

由圖 2可見，移動列車所感受到的風(fēng)速時(shí)程，可通過2個(gè)步驟獲?。孩賹⒘熊囘\(yùn)動所經(jīng)過的空間區(qū)域進(jìn)行空間離散，并采用多變量隨機(jī)過程模擬的方法得到固定點(diǎn)的離散隨機(jī)風(fēng)場；②采用時(shí)間和空間插值的方式，由固定點(diǎn)的離散隨機(jī)風(fēng)場插值得到運(yùn)動列車所感受到的隨機(jī)風(fēng)速時(shí)程。

為模擬離散隨機(jī)風(fēng)場，首先需要給出靜止點(diǎn)脈動風(fēng)速譜。本文采用Simiu譜[11]，即

(12)

(13)

繼而利用本文編制的隨機(jī)風(fēng)場快速模擬程序WindEMSSP，模擬得到1024個(gè)離散隨機(jī)點(diǎn)的風(fēng)速時(shí)程樣本的隨機(jī)風(fēng)場，模擬總耗時(shí)474.74 s，模擬得到的離散隨機(jī)風(fēng)場如圖3所示。

圖3 模擬得到的離散隨機(jī)風(fēng)場

任取一條模擬時(shí)程，估算得到其功率譜，將它們與靜止點(diǎn)理論功率譜進(jìn)行對比，結(jié)果如圖4所示。

分別選取點(diǎn)1和點(diǎn)20，對比自相關(guān)和互相關(guān)函數(shù)模擬值與理論值，結(jié)果如圖5所示。

圖4 模擬點(diǎn)功率譜與理論功率譜對比

圖5 自相關(guān)函數(shù)、互相關(guān)函數(shù)對比

假設(shè)列車以288 km/h的速度穿過模擬得到的離散隨機(jī)風(fēng)場，插值得到列車所感受到的隨機(jī)風(fēng)速時(shí)程，結(jié)果如圖6所示。

圖6 插值法得到的移動點(diǎn)風(fēng)速時(shí)程

2 基于移動風(fēng)速譜的風(fēng)速時(shí)程模擬

為了要獲取移動列車的一條風(fēng)速時(shí)程而采用多變量隨機(jī)過程模擬的方法是效率低下的。移動列車的一條脈動風(fēng)速時(shí)程對應(yīng)著移動單點(diǎn)的脈動風(fēng)速譜；反之，如果可以通過某種途徑獲取考慮列車運(yùn)動情況下的脈動風(fēng)速譜的表達(dá)式，則可以利用單變量隨機(jī)過程模擬的方法直接進(jìn)行模擬。

2.1 考慮列車運(yùn)動的移動點(diǎn)脈動風(fēng)速譜

COOPER[12]基于湍流泰勒假定及各向同性湍流假定，推導(dǎo)得到了考慮列車運(yùn)動的移動點(diǎn)脈動風(fēng)速譜(列車運(yùn)動方向與風(fēng)速方向垂直，Karman譜)。文獻(xiàn)[13]基于Simiu譜推導(dǎo)得到了列車以任意方向運(yùn)動的移動點(diǎn)脈動風(fēng)速譜的半解析表達(dá)式。文獻(xiàn)[14-15]則推導(dǎo)得到了基于任意脈動風(fēng)速譜表達(dá)式及任意列車運(yùn)動方向情況下的移動點(diǎn)脈動風(fēng)速譜的解析表達(dá)式。其形式為

(14)

由式(14)可知，考慮列車運(yùn)動情況下的移動點(diǎn)縱向脈動風(fēng)速譜可由靜止點(diǎn)縱向和側(cè)向脈動風(fēng)速譜通過平移和疊加得到。移動點(diǎn)脈動風(fēng)速譜明顯區(qū)別于靜止點(diǎn)風(fēng)速譜，因而移動點(diǎn)脈動風(fēng)速時(shí)程的模擬不能直接采用靜止點(diǎn)風(fēng)速譜表達(dá)式。

本文采用式(14)作為考慮列車運(yùn)動情況下的移動點(diǎn)縱向脈動風(fēng)速譜的理論表達(dá)式。

2.2 基于移動風(fēng)速譜的單變量隨機(jī)過程模擬

在獲取考慮列車運(yùn)動情況下的脈動風(fēng)速譜后，可直接利用單變量隨機(jī)過程模擬的方法直接模擬得到移動點(diǎn)脈動風(fēng)速時(shí)程。

算例：采用Simiu譜，模擬總時(shí)長為800 s，模擬點(diǎn)時(shí)間間隔0.1 s，移動點(diǎn)速度288 km/h，平均風(fēng)速20 m/s。模擬得到移動點(diǎn)脈動風(fēng)速時(shí)程及模擬功率譜和理論功率譜對比分別見圖7、圖8?？梢?，采用單變量隨機(jī)過程模擬方法獲取的移動點(diǎn)脈動風(fēng)速時(shí)程其估計(jì)功率譜與理論功率譜對比良好。

圖7 直接法模擬得到的移動點(diǎn)風(fēng)速時(shí)程

圖8 移動點(diǎn)脈動風(fēng)速譜對比

3 2種模擬方法對比

移動點(diǎn)的脈動風(fēng)速時(shí)程可以由靜止隨機(jī)風(fēng)速場通過時(shí)間和空間插值的方式獲取。如果移動列車的脈動風(fēng)速時(shí)程在所有時(shí)刻點(diǎn)的空間位置處都對應(yīng)一個(gè)靜止隨機(jī)風(fēng)場模擬點(diǎn)，則移動點(diǎn)風(fēng)速時(shí)程的獲取就避免了空間插值引入的誤差。其功率譜估計(jì)值即可較為真實(shí)地反映移動列車的脈動風(fēng)速譜。對2種不同的移動點(diǎn)脈動風(fēng)速時(shí)程模擬方法進(jìn)行對比，計(jì)算參數(shù)見表1。

表1 計(jì)算參數(shù)匯總

利用2種不同方法模擬得到的移動點(diǎn)脈動風(fēng)速時(shí)程進(jìn)行功率譜估計(jì)，并與式(14)給出的移動點(diǎn)脈動風(fēng)速譜的理論值進(jìn)行對比，結(jié)果見圖9。

圖9 2種不同模擬方法的功率譜對比

由圖9可見，采用不同方法模擬得到的移動點(diǎn)脈動風(fēng)速時(shí)程，其模擬功率譜均與理論功率譜吻合較好，表明2種方法都能滿足模擬需要。

圖10對比2種方法在計(jì)算效率上的差異。其中多變量隨機(jī)過程模擬方法采用本文基于快速算法編制的WindEMSSP程序進(jìn)行計(jì)算。

圖10 計(jì)算效率對比

由圖10可見，盡管采用了快速模擬算法，但隨著模擬點(diǎn)數(shù)的增加，多變量隨機(jī)過程模擬的效率依然顯著降低，而單變量模擬效率幾乎不受影響，不同頻率分段數(shù)下大致計(jì)算時(shí)長均約為2.0 s。顯然，基于可靠度理論，采用單變量隨機(jī)過程模擬的方法在模擬效率上具有明顯優(yōu)勢。

4 結(jié)論

本文介紹了2種不同的移動點(diǎn)脈動風(fēng)速時(shí)程模擬方法即采用固定點(diǎn)的多變量的隨機(jī)過程模擬方法和基于移動列車的脈動風(fēng)速譜直接進(jìn)行單變量隨機(jī)過程模擬的方法，分別適用于不同的風(fēng)場模擬的需要。主要結(jié)論如下：

1)2種方法模擬得到的移動點(diǎn)脈動風(fēng)速時(shí)程，其模擬功率譜與理論功率譜均吻合良好，均可以得到不同車速下移動點(diǎn)的風(fēng)速時(shí)程。

2)利用移動脈動風(fēng)速譜解析表達(dá)式，基于單變量隨機(jī)過程模擬的方法較傳統(tǒng)多變量隨機(jī)過程模擬方法，模擬效率明顯提高。這對于基于可靠度的側(cè)風(fēng)作用下的高速列車安全性和舒適性評價(jià)具有重要意義。