☉浙江省紹興市上虞區(qū)謝塘鎮(zhèn)中學(xué) 陳 燁

中考二輪復(fù)習(xí)期間，備課組內(nèi)決定開展含參函數(shù)綜合題的復(fù)習(xí)，以應(yīng)對目前這類熱點考題.經(jīng)過認(rèn)真篩選，我們選用了一道“含參”考題進(jìn)行復(fù)習(xí)，并圍繞該題進(jìn)行一些教學(xué)改編與鋪墊式設(shè)問，取得了較好的教學(xué)效果.本文整理了該課的教學(xué)素材，以分享給各位同行.

一、考題及思路突破

考題 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+t-1，t＜0.

（1）當(dāng)t=-2時，

①若函數(shù)圖像經(jīng)過點（1，-4），（-1，0），求a，b的值.

②若2a-b=1，對于任意不為0的實數(shù)a，是否存在一條直線y=kx+p（k≠0），始終與函數(shù)圖像交于不同的兩點？若存在，求出該直線的表達(dá)式；若不存在，請說明理由.

（2）若點A（-1，t），B（m，t-n）（m＞0，n＞0）是函數(shù)圖像上的兩點，且S△AOB=0.5n-2t，當(dāng)-1≤x≤m時，點A是該函數(shù)圖像的最高點，求a的取值范圍.

思路突破：（1）①當(dāng)t=-2時，二次函數(shù)解析式中只有兩個參數(shù)a，b.把（1，-4），（-1，0）分別代入y=ax2+bx-3，解出方程組得a=1，b=-2.

②利用條件2a-b=1，先將原函數(shù)解析式中的參數(shù)消去一個，即y=ax2+（2a-1）x-3.這時認(rèn)真分析該解析式特點，可得出兩個數(shù)對，與參數(shù)a無關(guān)，即當(dāng)x=-2時，y=-1；當(dāng)x=0時，y=-3.

故二次函數(shù)圖像一定經(jīng)過兩個定點（-2，-1），（0，-3）.

于是當(dāng)直線y=kx+p（k≠0）恰經(jīng)過（-2，-1），（0，-3）時，可解出該直線表達(dá)式為y=-x-3.

當(dāng)然此時直線y=-x-3始終與二次函數(shù)圖像交于（-2，-1），（0，-3）兩點，是符合題意的.

（2）先把A（-1，t）代入二次函數(shù)解析式y(tǒng)=ax2+bx+t-1中，可得用含a的代數(shù)式表示b=a-1.這樣二次函數(shù)解析式為y=ax2+（a-1）x+t-1.

接下來結(jié)合A（-1，t），B（m，t-n）（m＞0，n＞0），可以畫出如下草圖（如圖1）進(jìn)行分析，注意在構(gòu)圖時各點的位置需要想清，“形”的位置由一些數(shù)或字母的正、負(fù)控制著.

圖1

解得m=3.這是一步重要進(jìn)展，在此基礎(chǔ)上，-1≤x≤3也得到確認(rèn).

接下來想清兩點的坐標(biāo)為A（-1，t），B（3，t-n）.

由n＞0，有t＞t-n.分拋物線開口向上或向下的不同情況進(jìn)行分類思考：

當(dāng)a＞0時，構(gòu)造符合要求的兩種草圖（如圖2，圖3）.

圖2

圖3

從圖2，圖3上容易看出，二次函數(shù)圖像的頂點為最低點，當(dāng)-1≤x≤3時，若點A為該函數(shù)圖像最高點，則yA≥yB，于是把A（-1，t），B（3，t-n）代入y=ax2+（a-1）x+t-1，得t=a-（a-1）+t-1，t-n=9a+3（a-1）+t-1.

因為t＞t-n，所以a-（a-1）+t-1＞9a+3（a-1）+t-1.

當(dāng)a＜0時，由t＞t-n，可構(gòu)造符合要求的草圖，如圖4所示，

注意：在拋物線向下時，若A，B在對稱軸的異側(cè)，當(dāng)-1≤x≤3時，圖像的最高點是拋物線的頂點而不是點A；

圖4

解后反思：第（1）②問還可以“走向一般”，當(dāng)直線與二次函數(shù)圖像相交時，有kx+p=ax2+（2a-1）x-3.整理可得ax2+（2a-k-1）x-3-p=0.可得Δ=（2a-k-1）2+4a（3+p）.

化簡可得4a2-4a（k-p-2）+（1+k）2＞0.

若直線與二次函數(shù)圖像始終有兩個不同的交點，則△＞0.因為無論a取任意不為零的實數(shù)，總有4a2＞0，（1+k）2≥0

所以當(dāng)k-p-2=0時，總有Δ＞0. 可取p=1，k=3……

所以，對于任意不為零的實數(shù)a，存在直線y=3x+1始終與函數(shù)圖像交于不同的兩點.

第（2）問有幾處關(guān)鍵步驟：第一，是消參；第二，構(gòu)造草圖分析△AOB的面積，用不同的方式表示，溝通等量關(guān)系，求出m=3；第三，數(shù)形結(jié)合分析a的取值范圍（注意拋物線開口向上或向下進(jìn)行討論）.

二、解題教學(xué)微設(shè)計

教學(xué)環(huán)節(jié)（一）基礎(chǔ)熱身

例1 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx-3經(jīng)過點A（1，-4），B（-1，0）.

（1）求a，b的值；

（2）求該拋物線的對稱軸；

（3）求△AOB的面積；

（4）求AB所在直線解析式，并寫出該直線與y軸的交點坐標(biāo).

教學(xué)環(huán)節(jié)（二）拾級而上

例2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx-3，經(jīng)過點C（-2，-1）.

（1）若該拋物線對稱軸為x=1，求a的值.

（2）分析拋物線會經(jīng)過哪兩個定點？

（3）對于任意不為0的實數(shù)a，是否存在一條直線y=kx+p（k≠0），始終與函數(shù)圖象交于不同的兩點？若存在，求出該直線的表達(dá)式；若不存在，請說明理由.

教學(xué)環(huán)節(jié)（三）挑戰(zhàn)難題

例3已知平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=ax2+bx+t-1，t＜0.它的圖像經(jīng)過點A（-1，t），B（m，t-n）（m＞0，n＞0），且S△AOB=0.5n-2t.

（1）求證：a-b=1；

（2）分別指出點A，B所在象限，說說你的理由；

（3）求m的值；

（4）當(dāng)-1≤x≤m時，點A是該函數(shù)圖像的最高點，求a的取值范圍.

三、教學(xué)立意解讀

第一，精心構(gòu)思，拉長學(xué)程，讓重點習(xí)題的講評從快思走向慢想

對于重點習(xí)題的講評，老師們肯定是非常重視的，大家都有不同的招數(shù)或絕活，比如有些老師精講、細(xì)講，然后安排學(xué)生整理過程再檢查，有些老師講評之后再進(jìn)行變式檢測等等，都是非常有效的教學(xué)方式.我們對這道考題的教學(xué)實踐表明，在課前精心構(gòu)思，基于教者對習(xí)題的深刻理解，預(yù)設(shè)一些問題串，讓學(xué)生經(jīng)歷基礎(chǔ)熱身，拾級而上，挑戰(zhàn)難題的全過程，也就使得這類習(xí)題的講評從學(xué)生“快思”走向了“慢想”.拉長學(xué)程的同時，也讓學(xué)生對這類問題的結(jié)構(gòu)加深了理解.

第二，預(yù)設(shè)鋪墊，相機追問，讓更多學(xué)生參與較難習(xí)題思路突破

在預(yù)設(shè)這類習(xí)題課時，既要分出幾個不同層次的教學(xué)環(huán)節(jié)，又要根據(jù)學(xué)情、學(xué)程，在教學(xué)過程中相機追問學(xué)生對一些問題的理解，而不是機械教條地執(zhí)行教學(xué)預(yù)設(shè).這類習(xí)題教學(xué)的總體教學(xué)追求是讓更多學(xué)生都能參與到課堂中來.而不能只是少數(shù)幾個優(yōu)秀學(xué)生參與“題”中.比如，在例題2教學(xué)時，根據(jù)學(xué)情可相機引導(dǎo)學(xué)生思考，如何“走向一般”，這樣的直線只有一條嗎？只要k，b滿足怎樣的等量關(guān)系，直線與拋物線就一定有兩個不同交點？如果學(xué)生有困難，可以賦一些特殊數(shù)組進(jìn)行計算研究，再“走向一般”給出證明.