☉山東省濱州市北鎮(zhèn)中學(xué)初中部 孫長智

章建躍博士在《數(shù)學(xué)教育心理學(xué)》一書中特別提到：“調(diào)查表明，學(xué)生只會做‘結(jié)構(gòu)良好’的題目，以獲得問題的答案為最后目標(biāo)，不習(xí)慣于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的反思和調(diào)節(jié)的情況非常嚴(yán)重.這是導(dǎo)致數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率低下的重要原因，因此，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自我監(jiān)控能力具有很大的現(xiàn)實意義.”那么教師在教學(xué)中，如何來培養(yǎng)學(xué)生的自我監(jiān)控能力呢？筆者在日常教學(xué)中，嘗試挖掘教學(xué)素材的“自我監(jiān)控”功能，通過重構(gòu)內(nèi)聯(lián)、激思促變，來培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)中的自我監(jiān)控能力.現(xiàn)舉一教學(xué)案例說明，懇請各位同行批評指正！

一、對“自我監(jiān)控能力”的理解

自我監(jiān)控能力，顧名思義就是指在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生對自己思維過程的自我監(jiān)控和調(diào)節(jié)能力，在思維活動上表現(xiàn)出精確性、概括性、深刻性、批判性等鮮明特征.自我監(jiān)控能力體現(xiàn)在諸如問題方案的醞釀和優(yōu)化，解題方法的斟酌選擇，對問題答案的猜想和尋證，學(xué)習(xí)節(jié)奏的把握，錯誤原因的查找，反思總結(jié)經(jīng)驗教訓(xùn)，以及客觀評價學(xué)習(xí)效果等多樣的學(xué)習(xí)活動中.具備一定的自我監(jiān)控能力是學(xué)生思維能力發(fā)展到較高層次，以及具有較成熟的學(xué)習(xí)能力和獨立解決問題能力的重要標(biāo)志，而“提高學(xué)生的思維檢驗和反思技能是培養(yǎng)學(xué)生自我監(jiān)控能力的有效途徑”.

二、案例簡錄及評析

案例內(nèi)容來自人教版初中數(shù)學(xué)九年級上冊“24.1.4圓周角”一節(jié).根據(jù)教學(xué)需要，筆者對教材內(nèi)容作了大幅度的改編加工，后經(jīng)上課實踐，又對局部內(nèi)容加以調(diào)整，才有此案例.

1.找相關(guān)位置，“監(jiān)控”背景優(yōu)化

（在學(xué)習(xí)圓周角的定義后）

問題1：在一個圓中，可以作出無數(shù)個圓心角和圓周角，那么一個圓心角和一個圓周角之間可能存在著什么樣的關(guān)聯(lián)呢？先獨立畫圖探究，之后小組交流.

（教師收集學(xué)生的各類畫圖并用多媒體分類展示）

展示1：圓心角與圓周角沒有關(guān)系的情況舉例.如圖1（1）～（4）等.

圖1

展示2：圓心角與圓周角有關(guān)聯(lián)位置舉例.如圖2（1）～（4）.

圖2

師：哪位同學(xué)能講一講你的探究過程？

生1：“相關(guān)”就是有關(guān)系，一開始并不清楚，先畫圖，畫出一些圓心角和圓周角，然后對照去想是否有關(guān)系？經(jīng)過多次嘗試，我找出了圖2（2）、（3）兩個相關(guān)圖形.

生2：我是采用“一靜一動”方式來對比的，先畫一個不變的圓心角，另一個圓周角是動態(tài)的，位置變，大小也可變，試圖與圓心角建立聯(lián)系.圖2中的（1）～（4）我都找到了.

師：多數(shù)同學(xué)也是經(jīng)歷了“畫圖尋求，自我監(jiān)控，多次調(diào)整”這樣一個過程.圖1中所列位置，怎么理解“沒有關(guān)系”？

生3：因為它們不相關(guān)，一個角在變化（位置改變或大小改變），對另一個角沒有影響.

師：那圖2中所列情況，又如何認(rèn)識其相關(guān)性呢？

生4：若A點（或B點）運動，兩角大小隨之變化.

生5：我承認(rèn)點A或B運動時，兩角大小同時改變.但若是C點在圓周上運動，會發(fā)現(xiàn)與∠AOB無關(guān)??？

生6：難道你沒發(fā)現(xiàn)圖2（1）～（3）中∠ACB都是相等的嗎？也就是說，盡管∠ACB的位置變了，但是∠AOB與∠ACB的大小都沒變.

（一石激起千層浪，學(xué)生議論紛紛，部分學(xué)生重新去畫圖、測量驗證）

生7：（補充）圖2中的圓都是等圓.圖2（1）～（4）等同于“同一圓中C點在圓周上不同位置∠ACB的呈現(xiàn)”.

師追問：圖2（4）中當(dāng)點C在劣弧A（B上運動時，∠ACB的大小也不變嗎？

眾生：（畫圖測量后）是這樣.

師：問題1要求找出圓心角和圓周角之間的關(guān)系，你們的想法是什么？

生8：先找到圓心角與圓周角相關(guān)聯(lián)的位置，再探究它們之間的數(shù)量關(guān)系.

問題2：誰能總結(jié)出這兩類相關(guān)角的位置特征呢？生9：圓心角和圓周角兩邊的交點都在圓上.

評析：本環(huán)節(jié)教材上采用“單刀直入”的方式，直接出示問題：“研究同弧所對的圓心角與圓周角之間的關(guān)系.”現(xiàn)在將這種“確定”的問題變?yōu)殚_放性問題：“同圓中的一個圓心角和一個圓周角之間可能存在著什么樣的關(guān)聯(lián)呢？”問題被置于一個大的背景下，學(xué)生有作圖嘗試、有篩選對比、有交流反思，思維的活躍融匯著自我監(jiān)控和自我調(diào)整，這是學(xué)生自我監(jiān)控活動的“初體驗”.以找相關(guān)位置作為突破口，推進(jìn)“作圖”和“講理”的有效展開，目的是引導(dǎo)學(xué)生從復(fù)雜、模糊的問題背景中抽身出來，開辟出一條清晰的思考路徑，這是任何“現(xiàn)成問題”所沒有的效果.在創(chuàng)設(shè)的教學(xué)情境中，教師適時調(diào)控，引導(dǎo)學(xué)生開展甄別、猜想及講道理等實踐活動，讓學(xué)生逐漸對自己的思維活動產(chǎn)生自我監(jiān)控的意識.

2.找特殊位置，“監(jiān)控”目標(biāo)設(shè)定

問題3：我們找到了“相關(guān)的位置”（如圖2（1）～（4）），接下來要去做什么？又準(zhǔn)備從哪兒入手呢？

幾生：求證數(shù)量關(guān)系，從圖2（1）入手.

生10：（補充）從特殊位置入手，如圖2（1），圓周角的一邊恰好過圓心，就是特殊位置.

師：為什么要找特殊位置？你認(rèn)為哪類位置可稱得上是特殊位置呢？

生11：特殊位置相比一般位置信息多，更容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

師：找特殊點、畫特殊圖形、取特殊位置確實是在解決問題中常見的先行獲取信息的捷徑.

生12舉手：還有一處特殊位置，如圖3，結(jié)構(gòu)上與圖2（1）一樣.

師：很好！既然是特殊位置，發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律了？

生13：∠AOB=2∠ACB，圖3結(jié)論也一樣.

圖3

問題4：我們在特殊位置下發(fā)現(xiàn)了圓心角與圓周角的數(shù)量關(guān)系，推而廣之，大家對一般位置下的圓心角與圓周角數(shù)量關(guān)系的猜想是什么？

評析：為什么會有自我監(jiān)控現(xiàn)象發(fā)生？訂立計劃和執(zhí)行計劃是學(xué)生自我監(jiān)控活動的主要依憑，計劃的導(dǎo)向作用會左右著人的思維走向.找特殊位置環(huán)節(jié)，就是訂立計劃的一部分，這一問題，讓學(xué)生自我監(jiān)控的心理活動加劇，“研究問題為什么往往從特殊情況入手？”“特殊位置在哪里？”“特殊位置下的結(jié)論是什么？”本環(huán)節(jié)的教學(xué)處理上，盡力拉長學(xué)生的思維鏈條，讓學(xué)生舒展想法，凸顯出學(xué)生自我監(jiān)控和自我認(rèn)識深化的過程.思考后知道，之所以稱為特殊位置，是因為比一般位置包含有更多的信息，能讓我們未“做”先“知”，提前走出朦朧階段，盡早形成解決問題計劃的雛形.而當(dāng)從“特殊”再回到“一般”時，學(xué)生自然而然的對問題的整體認(rèn)知程度會升級，探究計劃也會在醞釀中趨于完善.

3.找轉(zhuǎn)化位置，“監(jiān)控”問題關(guān)聯(lián)

問題5：現(xiàn)在大家獲得了猜想∠AOB=2∠ACB，那么一般情況圖2（2）和圖2（3）下一步該如何求證呢？

（學(xué)生思考、討論）

幾生：我認(rèn)為應(yīng)該和特殊位置圖2（1）建立聯(lián)系.

師：你們怎么有這種想法？

生14：以前好多問題都是這樣考慮的，由特殊獲得一些認(rèn)識，再推廣到一般，然后又利用特殊去求證.

師：好！那現(xiàn)在考慮如何與特殊情況的圖2（1）建立聯(lián)系？

生15：只能新造一條輔助“直徑邊”，如圖4，過C點作直徑CD，這樣圖4（1）、（2）就各包含有兩個圖2（1）的基本圖形.

圖4

師：請寫出證明過程（.稍等）還有問題嗎？

師：找找看是哪些基本圖形？（生答出）然后呢？

幾生：圖2（4）還沒說明關(guān)系.

生17：與圖4（1）一樣！圓周角是∠ACB，而圓心角是大于180°的∠AOB，輔助線作法、推證思路、結(jié)論均與圖4（1）一樣.

評析：解決問題靠轉(zhuǎn)化，而轉(zhuǎn)化的路徑和依據(jù)是教師引領(lǐng)的著力點，本環(huán)節(jié)教學(xué)素材是按這兩方面來重構(gòu)的，以加強“通識通法”的教學(xué)，目的是讓學(xué)生自我監(jiān)控的觸角伸的更遠(yuǎn)、更有力量.怎樣將一般情況（指圓心在圓周角內(nèi)部或外部時的情況）轉(zhuǎn)化為圓周角有一條“直徑邊”的特殊情況？從“特殊”到“一般”，又回到“特殊”，這條路徑上到底發(fā)生了什么？學(xué)生循問題方向而動，自我監(jiān)控的指向性和力度漸漸增強，對特殊（基本）圖形在解題中的作用印象深刻，同時見證了圖形的分解、組合這一解題策略的優(yōu)越性.

4.找歸納位置，“監(jiān)控”定理延展

問題6：相關(guān)位置下的圓心角和圓周角的數(shù)量關(guān)系已經(jīng)得出，想一想怎么總結(jié)？

生18：如果一個圓心角和一個圓周角兩邊的交點都在圓上，那么圓周角的度數(shù)是圓心角度數(shù)的一半.

師：僅看交點，如圖2（4）對應(yīng)關(guān)系不夠明確！

生19：既然兩個角的兩邊的交點都在圓上，意味著這兩個角對著同一條弧，可以說成“一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半”.

眾生：這樣表達(dá)簡潔且清楚！

生20：這種說法還有一好處就是將圓周角和弧聯(lián)系起來了.前面學(xué)習(xí)垂徑定理，弧、弦、圓心角關(guān)系定理等，都有同弧或等弧的說法.

問題7：如果我們的視野再放開一點，將剛學(xué)的“圓周角定理”與前面所學(xué)圓的知識做一關(guān)聯(lián)性的銜接，你有什么發(fā)現(xiàn)呢？

圖5

整理后得到：

（1）同弧所對的圓周角相等.如圖5（1）中，∠C1=∠C2=∠C3等.

（2）在同圓中，等弧所對的圓周角相等；在同圓中，相等的圓周角所對的弧相等，所對的弦相等.如圖5（2）中，若=，則∠C1=∠C2；若∠C1=∠C2，則=，A1B1=A2B2.

（3）在等圓中，相等的圓周角所對的弧相等.如圖5（2）、（3）中，∠C=∠，則=（.討論：為什么強調(diào)在“等圓”中？）

（4）直徑所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑，如圖5（4）所示.

師：請一名同學(xué)談?wù)勛约簹w納新命題的心路歷程.

生21：學(xué)的這些定理中，以相同的量為橋梁，可溝通彼此，比如圓心角，弧、弦與圓心角有聯(lián)系，而圓心角與圓周角也有聯(lián)系.還有同弧與等弧，同圓與等圓，劣弧、優(yōu)弧與半圓等都可以類比推廣開來.

評析：本環(huán)節(jié)改變教材單一的定理總結(jié)，改為隨機性的真命題歸納，這對學(xué)生的知識基礎(chǔ)、歸納分析能力是一個大的考驗.各定理雜糅，同弧與等弧，同圓與等圓，劣弧（或優(yōu)?。┡c半圓等，歸納位置多元，同時涉及到圓弧、弦、圓心角、圓周角等多種“圓量”，可謂林林總總.通過反思和歸納，學(xué)生對各命題之間關(guān)系的敏感性增強，使知識聯(lián)系寬泛而有序，方法使用靈活而多樣，并孕育了知識結(jié)構(gòu)系統(tǒng).歸納的過程伴隨著對比、質(zhì)疑、調(diào)整、優(yōu)化等自我監(jiān)控活動，同時新知識系統(tǒng)的構(gòu)建為學(xué)生自我監(jiān)控質(zhì)量的提高做了知識和方法上的儲備.

5.找變式位置，“監(jiān)控”應(yīng)用變通

問題8：填空：

（1）如圖6（1）所示，C點是⊙O內(nèi)一點，且∠AOB、∠ACB在弦AB所在直線的同側(cè)，則∠AOB______∠ACB；

（2）如圖6（2）所示，C點是⊙O外一點，且∠AOB、∠ACB在弦AB所在直線的同側(cè)，則∠AOB______∠ACB（.填“＞、＜或=”）

圖 6

生24：圖7（1）中，延長AC與⊙O交于C′，連接BC′；圖7（2）中，設(shè)AC與⊙O交于C′點，連接BC′.

圖 7

問題9：如圖8，在⊙O中，圓周角∠ACB=30°，弦AB=2，求⊙O的半徑.

師：特殊角30°在△ACB中的作用不清楚，弦AB=2好像與半徑也聯(lián)系不上！

生25：如圖9（1），可作出A（B所對的圓心角，知∠AOB=60°，得到等邊△OAB，則半徑OA=AB=2.

生26：我有另一解法，如圖9（2），作直徑AC′，連接BC′，則∠C=∠C′，這樣就把30°條件轉(zhuǎn)移到了Rt△ABC′中，再利用“30°銳角所對的直角邊等于斜邊的一半”去考慮即可.

圖8

圖9

評析：如何實現(xiàn)定理與應(yīng)用的有效銜接？考慮到新知識初次應(yīng)用這一實際情況，本環(huán)節(jié)沒有采用教材上綜合程度較高的例題來教學(xué)，而是圍繞同弧所對的圓心角與圓周角的轉(zhuǎn)化關(guān)系，設(shè)置了兩道練習(xí)，難度不大，但是需要構(gòu)圖，建立關(guān)聯(lián)，這是學(xué)生需要突破的地方.定理“一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半”，傳遞出了哪些信息？面對題中的“1 2∠AOB”你想到了什么？容易想到構(gòu)造一個圓周角作為媒介，來聯(lián)系∠AOB與∠ACB，但緊接著另一個問題出現(xiàn)了，將新構(gòu)造的圓周角放在哪里合適呢？類似地，問題9中，30°的圓周角如何與半徑（或直徑）建立聯(lián)系呢？這些需要跨越的問題提高了學(xué)生自我監(jiān)控的“思維量”，甚至出現(xiàn)膠著狀態(tài).隨著構(gòu)圖完成，思路明朗，自我監(jiān)控活動也趨向平緩.

三、幾點想法

1.鼓勵和引導(dǎo)學(xué)生暴露思維過程，為學(xué)生自我監(jiān)控提供憑借

為了使自我監(jiān)控活動真正發(fā)生，需要“刺激源”.這個“刺激源”就是問題本身或者問題引領(lǐng)下的各種想法的展露.本案例通過具體而有挑戰(zhàn)性的問題序列（找相關(guān)位置、特殊位置、轉(zhuǎn)化位置、歸納位置、變式位置等）激發(fā)探究行動，學(xué)生在情境中有探究、有想法、有表達(dá)，這些“表達(dá)”是思維活動的直觀呈現(xiàn).講給別人聽或者聽別人講，都存在一個內(nèi)心關(guān)照或自評價的過程.或者邊講邊隨機改動最初沒有注意到的地方，或者講完后發(fā)現(xiàn)不對又推倒重來，或者講解中遇到新障礙講不下去，又或者聽完別人評價后加以改動，這些都是自我監(jiān)控活動的外在表現(xiàn).我們說，暴露的思維過程是學(xué)生自我監(jiān)控的憑借，是學(xué)生自身再提高的起點，更是教師開展教學(xué)活動的第一手材料.因此教師在教學(xué)中，要千方百計搭設(shè)平臺，讓學(xué)生將做法說出來，道理講出來，過程寫下來.

2.要強化反思和檢驗習(xí)慣的養(yǎng)成

學(xué)生的自我監(jiān)控能力實質(zhì)是由學(xué)生的思維發(fā)展水平，特別是思維的深刻性、批判性等特征因素決定的.本案例注重學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)，如在背景優(yōu)化、目標(biāo)設(shè)定、問題關(guān)聯(lián)、定理延展、應(yīng)用變通等環(huán)節(jié)，為學(xué)生提供了較開闊的思考空間和交流平臺，斟酌選擇、嘗試操作、對比分析、關(guān)聯(lián)優(yōu)化等思維活動充分而深刻，通過教師點撥和追問，特別強化了反思和檢驗習(xí)慣的養(yǎng)成.需要提出的是，學(xué)習(xí)過程中，教師要經(jīng)常提醒學(xué)生隨時對自己的思維過程進(jìn)行檢驗和反思，強化生成，這樣久而久之，學(xué)生的思維活動就會習(xí)慣性的被置于自我監(jiān)控之下，隨著自覺性、主動性等自我意識的增強，學(xué)生的學(xué)習(xí)活動便進(jìn)入了高一級層次.

3.通過學(xué)習(xí)形成有價值的“思考結(jié)構(gòu)”，讓學(xué)生的自我監(jiān)控“有章可循”

數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，自有一套具有普適性的思考結(jié)構(gòu)和用于交流的符號形式，這種結(jié)構(gòu)和符號形式是強大的，富有邏輯，簡明而且精確，是人們可以借助之，用于理解和處理新數(shù)學(xué)問題的一種思維方式.本案例圍繞圓周角定理呈現(xiàn)了清晰地思考結(jié)構(gòu)：篩選出一個圓心角與一個圓周角的各種相關(guān)情形（一般）——從特殊位置獲取關(guān)鍵信息（特殊）——推廣形成猜想（一般）——轉(zhuǎn)化為特殊情形尋證（特殊）——歸納定理（一般）——定理應(yīng)用（特殊）.這一思考結(jié)構(gòu)和表達(dá)方式，將對學(xué)生產(chǎn)生積極的現(xiàn)實影響，具有推廣價值.教師在問題學(xué)習(xí)中，要努力幫助學(xué)生獲得這種有輻射力的“思考結(jié)構(gòu)和符號形式”，以便讓學(xué)生的自我監(jiān)控越來越有“章法”.