江蘇南京市長江路小學(xué)（210018） 周 圓

小學(xué)語文教材中有一篇文章叫《最佳路徑》，說的是世界著名建筑大師格羅培斯從事建筑研究多年，也留下很多杰作，個人成績斐然，但是卻為設(shè)計如何聯(lián)結(jié)迪士尼樂園各景點之間的小路而大傷腦筋，無論怎么修改設(shè)計方案，都無法找到一條最佳路徑。于是格羅培斯放棄所有的設(shè)計方案，在樂園的地面上撒上草種。沒多久，小草長出來了，整個樂園被綠草所覆蓋，在迪士尼樂園提前開放的半年里，草地被人們踩出許多小道，這些小道有寬有窄，優(yōu)雅自然。第二年，格羅培斯讓人按照這些踩出的痕跡鋪設(shè)了人行道。這條被人們踩出來的路徑在1971年倫敦國際園林建筑藝術(shù)研討會上被評為“世界最佳路徑”。

那么教學(xué)的“最佳路徑”又是什么樣的呢？顯然，教學(xué)的“最佳路徑”絕不是教師為學(xué)生“設(shè)計”出來的，無論教師多么有經(jīng)驗，多么優(yōu)秀，“最佳路徑”都應(yīng)該讓學(xué)生自己“踩”出來。教師只有基于對學(xué)生這種自由的、真實的“踩路”行為的理解，才能找到教學(xué)的“最佳路徑”。

理解學(xué)生，是教學(xué)的基本原則，更是有效教學(xué)的前提條件。那么，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師如何才能做到理解學(xué)生，從而找到教學(xué)的“最佳路徑”呢？

一、理解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“出發(fā)點”，精準(zhǔn)切入

學(xué)生在學(xué)習(xí)“7的乘法口訣”之前，已經(jīng)學(xué)習(xí)了“1～4的乘法口訣”“5的乘法口訣”和“6的乘法口訣”?！?～4的乘法口訣”是學(xué)生初次接觸乘法口訣，重點應(yīng)落在對乘法口訣意義的理解；“5的乘法口訣”則是以5的乘法口訣為例，系統(tǒng)呈現(xiàn)乘法口訣的編排規(guī)律；“6的乘法口訣”再次強(qiáng)化乘法口訣的編排規(guī)律。

學(xué)生在學(xué)習(xí)了“1～6的乘法口訣”的基礎(chǔ)上，不但理解了乘法口訣的意義，也掌握了乘法口訣的編排規(guī)律，多次經(jīng)歷了“情境導(dǎo)入——加法計算——乘法算式——乘法口訣”的過程。那么作為“表內(nèi)乘法”第二單元開篇的“7的乘法口訣”，還要沿襲這種模式去教學(xué)嗎？

為了摸清學(xué)生的真實學(xué)習(xí)起點，課前我對兩個班共80名學(xué)生做了學(xué)情調(diào)查，發(fā)現(xiàn)學(xué)生不但對編制口訣的過程了如指掌，而且大多都能背出7的乘法口訣。

面對這樣的學(xué)情（如圖1所示），對于這么高的學(xué)習(xí)起點，怎能還按部就班地重復(fù)同一個學(xué)習(xí)模式呢？于是我打算這樣切入：發(fā)布前測情況，準(zhǔn)確定位學(xué)生學(xué)習(xí)的出發(fā)點，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性。由于學(xué)生最不熟的就是“四七”的乘法口訣，所以我就讓學(xué)生小組合作研究“當(dāng)他們記不清‘四七’了，學(xué)生就有了學(xué)習(xí)的積極性，不再是機(jī)械重復(fù)地編制口訣的“四部曲”，而呈現(xiàn)了別樣的精彩（如圖1）：有畫圖的，有轉(zhuǎn)化成加法來推算的，還有根據(jù)口訣來推算的……

圖1

畫圖的作品中，除了畫圓圈、畫三角形等外，還有畫“糖葫蘆串”的，特別是糖葫蘆串畫法得到了大家的一致好評，認(rèn)為7個糖葫蘆串成一串特別形象，很好地體現(xiàn)了“4個7相加”。

轉(zhuǎn)化成加法的學(xué)生也有不同的想法，有的用“7+7+7+7=14+7+7=21+7=28”逐個累加，計算出4個7是28，還有的進(jìn)行“7+7+7+7=14+14=28”的巧算，這種方法很好地體現(xiàn)了“乘法是相同加數(shù)相加的簡便運算”這一本質(zhì)。

有的學(xué)生是據(jù)自己熟悉的口訣來推算的，但也有不同的思路；有的學(xué)生根據(jù)前一句口訣“三七二十一”來推算，有的學(xué)生根據(jù)后一句口訣“五七三十五”來推算，還有的學(xué)生根據(jù)口訣“四六二十四”來推算。這些學(xué)生不但掌握了7的乘法口訣，還和同學(xué)分享了口訣之間的聯(lián)系，尤其是根據(jù)“四六二十四”來推算“四七”的學(xué)生，他們能夠主動構(gòu)建立體的知識網(wǎng)絡(luò)，懂得分析和推理，這種能力實在讓人不得不點贊！

你給學(xué)生多大的舞臺，學(xué)生就能給你多大的精彩！因為準(zhǔn)確切入了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的出發(fā)點，所以才閃現(xiàn)出了學(xué)生如此多的思維火花！

二、理解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“生長點”，巧妙銜接

“生長點”這一概念是由自然科學(xué)的含義引申而來的，泛指與某一事物聯(lián)系較緊密的，由此事物生發(fā)出來的，有明顯傳承或依附關(guān)系的事物。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的生長點，就是指與后續(xù)學(xué)習(xí)有明顯傳承或依附關(guān)系的核心基礎(chǔ)知識。

例如，探究“三角形的內(nèi)角和”時，很多學(xué)生采用先量再算的方法，但是因為測量有誤差，有的學(xué)生得出的三角形內(nèi)角和是181°或179°，對此，教師只能解釋：“其實我們測量每個角的度數(shù)時是可能產(chǎn)生誤差的，所以才導(dǎo)致得出的三角形的內(nèi)角和不是正好等于180°，事實上三角形的內(nèi)角和真的是180°?！钡恍╊H有“追根究底”精神的學(xué)生顯然對這樣的回答不滿意，很快就有學(xué)生提出可以利用計算機(jī)精確測量、自動計算的功能進(jìn)行科學(xué)驗證。這種方法，不但可以解決測量誤差的問題，而且在理論上可以把所有三角形都驗證一遍。

如果教學(xué)止步于此，僅停留在利用計算機(jī)驗證，而沒有抓住學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的生長點就太可惜了。于是，我這樣進(jìn)行教學(xué)：緊跟著計算驗證這第一個層次，增加了兩個層次。第二個層次讓學(xué)生找出三角形三個角的變化規(guī)律：當(dāng)∠1逐漸變大時，∠2和∠3是怎么變化的；當(dāng)∠1逐漸變小時，∠2和∠3又是怎么變化的。第三個層次是在前兩個活動的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生展開想象：隨著三角形的高越來越長，∠1變得無限小，并無限趨向于0°，而∠2和∠3無限趨向90°，所以三角形的內(nèi)角和是0°+90°+90°=180°；隨著三角形的高越來越短，∠1 變得無限大，并無限趨向于180°，而∠2和∠3無限趨向0°，所以三角形的內(nèi)角和是 180°+0°+0°=180°。

根據(jù)奧蘇伯爾的有意義學(xué)習(xí)理論，學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的適當(dāng)知識對新知識的有意義學(xué)習(xí)起固著作用。量、算、驗證，是學(xué)生原有水平就能輕松完成的空間知覺活動，學(xué)生能夠找出三角形三個角的變化規(guī)律，感悟隨著一個角的變化另外兩個角是怎么變化的，從靜態(tài)的單個三角形走向動態(tài)的、變化的多個三角形，建立三角形的形狀、大小等相關(guān)空間表象，再基于對變化規(guī)律的認(rèn)識引出極限思想，展開空間想象。從空間知覺水平到空間表象水平，再發(fā)展到空間想象水平，是建立空間觀念非常重要的“三部曲”。對于同一個數(shù)學(xué)素材，如何才能巧妙銜接學(xué)生的原有認(rèn)知和新納認(rèn)知？關(guān)鍵在于理解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的生長點。

三、理解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“延伸點”，深入淺出

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出“要注重培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識”。所謂數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，是指應(yīng)用數(shù)學(xué)知識、思想方法的自覺心理傾向性。它包含兩個方面的含義，一方面是從數(shù)學(xué)到現(xiàn)實（具體化過程）；另一方面是從現(xiàn)實到數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)化過程）。如果說有意識地利用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法來解釋、解決數(shù)學(xué)問題是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個生長點，那么利用現(xiàn)實生活中的現(xiàn)象和問題來演繹數(shù)學(xué)模型、解釋數(shù)學(xué)原理就是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的延伸點。

例如，學(xué)生在自主探索“小數(shù)乘法”的過程中，出現(xiàn)很多錯誤（如圖2）。

圖2

怎樣讓學(xué)生心悅誠服地接受小數(shù)乘法的計算方法？并不是教師告訴學(xué)生“先按整數(shù)乘法的法則算出積，再看因數(shù)中一共有幾位小數(shù)，就從得數(shù)的右邊起數(shù)出幾位，點上小數(shù)點”，然后學(xué)生按照教師給出的運算法則去機(jī)械模仿就行了。只有數(shù)形結(jié)合，用現(xiàn)實模型演繹出算理算法，“深入”探究小數(shù)乘法的運算規(guī)律，讓其中的道理“淺出”，學(xué)生的學(xué)習(xí)才能達(dá)到不一樣的境界。

因此，當(dāng)教師給出圖3后，學(xué)生恍然大悟——原來錯在漏算了一部分的面積，正確算法的每一步計算過程分別對應(yīng)圖形中一塊的面積：深色部分面積對應(yīng)的是8分米×38分米，也就是0.8米×3.8米；淺色部分對應(yīng)的是20分米×38分米，也就是2米×3.8米。這樣學(xué)生就能知其然且知其所以然，同時對多位數(shù)乘法的法則、小數(shù)乘法與整數(shù)乘法的關(guān)系有深刻的感悟。

圖3

四、理解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“興趣點”，點燃激情

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》特別提到，課堂教學(xué)應(yīng)激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動學(xué)生積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考?！芭d趣好比路燈，引導(dǎo)你走向成功；興趣好比船槳，帶著你駛向遠(yuǎn)方；興趣好比是一雙羽翼，領(lǐng)著你翱翔天際。興趣是最好的老師，它會引你走向光明。”如果不能抓住學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣點，學(xué)生會覺得數(shù)學(xué)枯燥乏味，就無法產(chǎn)生學(xué)習(xí)激情。

例如，若按照常規(guī)教學(xué)思路來教學(xué)“萬以內(nèi)數(shù)的大小比較”，則是“先比較幾組數(shù)的大小，然后總結(jié)出比較大小的方法：先看數(shù)位，數(shù)位不同，數(shù)位越多，這個數(shù)就越大；數(shù)位相同，則從最高位依次往下比”。對此，學(xué)生是很容易掌握相關(guān)知識，但會覺得索然無味。黃愛華老師在教學(xué)時利用了游戲的形式，一下就激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。一共有三輪游戲，第一輪游戲的規(guī)則是“第一次抽到的數(shù)字就放在個位上，第二次抽到的數(shù)字放在十位上，第三次抽到的數(shù)字放在百位上……”限定了擺放次序，學(xué)生會在摸出下一張牌之前就積極動腦思考，想著摸出什么數(shù)字才能贏，殷切期盼著能贏的一類數(shù)字會出現(xiàn)，而不是只能遵從教師出示的數(shù)去比較某一個固定的數(shù)。第二輪游戲的規(guī)則改為“第一次抽到的數(shù)字放在千位上，第二次抽到的數(shù)字放在百位上，第三次抽到的數(shù)字放在十位上……”，雖然還是限定擺放次序，但是卻從千位擺起（順序反了），能引導(dǎo)學(xué)生在不知不覺中整理歸納比較數(shù)的大小的方法。第三輪游戲的規(guī)則更開放了，改為“每次抽到的數(shù)字由抽簽者自己決定放在哪一位上”，這對學(xué)生來說真是一個不小的挑戰(zhàn)，學(xué)生需要綜合考慮各種因素，把在之前游戲中學(xué)到的本領(lǐng)都用上。越是有挑戰(zhàn)性，學(xué)生越是想贏，越能挖掘自身的潛能，激情燃燒自己的腦細(xì)胞！這樣的寓教于樂，學(xué)生不但學(xué)得有興趣，思維更是得到了綜合鍛煉。

瑪格利特·米德將社會文化劃分為三種形態(tài)：前喻文化、同喻文化和后喻文化。前喻文化是通過自上而下的傳遞，即年幼者向年長者學(xué)習(xí)的文化；同喻文化是通過同輩互動傳遞，即同輩之間相互傳授、相互學(xué)習(xí)的文化；后喻文化是通過自下而上傳遞，即年長者向年幼者學(xué)習(xí)的文化。當(dāng)前，我國已經(jīng)加速進(jìn)入了后喻文化時代。在這種文化條件下，學(xué)生的很多想法都值得教師去思考和學(xué)習(xí)。只有理解學(xué)生，才能找到通向?qū)W生真實想法和心靈深處的路徑，這便是教學(xué)的“最佳路徑”！