廣東 劉 偉

荷蘭著名數(shù)學家弗賴登塔爾曾指出：“反思是數(shù)學思維活動的核心和動力，通過反思，才能使現(xiàn)實世界數(shù)學化.”數(shù)學學習過程其實就是一個思考問題解決問題的過程，通過解題，加深對基礎知識、學習方法、解題策略的理解和掌握，反思則是對這些活動進行再一次加工，從中總結經(jīng)驗教訓或發(fā)現(xiàn)新的問題，更好地指導未來的數(shù)學學習活動，促進數(shù)學知識的吸收，提高學生數(shù)學學科素養(yǎng).因此,將“反思”融入到審題、解題、糾錯、歸納等過程中,勢在必行.筆者在實際教學過程中,有意識地培養(yǎng)學生的反思意識,從而使得學生的數(shù)學學科素養(yǎng)得以提高.

1.反思審題過程,提升審題能力

審題能力是學生思維能力的一個重要方面,審題能力的高低直接影響學生解題的速度與水平.在實際教學過程中,筆者發(fā)現(xiàn)很多學生因為審題不清而失分.

2．反思解題思路，培養(yǎng)學生思維的廣闊性

文學作品解讀常有這樣一句話:一千個讀者,便有一千個哈姆雷特.數(shù)學學科亦應重視學生的發(fā)散思維能力的培養(yǎng).而在我們重視引導學生一題多解的思維習慣的同時也應該加強反思意識培養(yǎng).對于同一道數(shù)學題目，知識掌握程度的不同，審題角度的不同，不同學生會給出不同的解題方案，就算同一個學生也可能給出兩到三種解答過程，教師要引導學生對這道題目進行反復思考，解完一道題后不能停留在所得出的結論上，應引導學生重現(xiàn)思路.此時，教師應向學生提出引導性的問句，如：你是怎么想的？為什么這樣想？這樣做你想解決哪個問題？這樣做能達到你的預期目標嗎？達到了，你有沒有更好的想法？達不到，你又該如何？用這種層層遞進的發(fā)問方式使得學生的思維一步步展開，重現(xiàn)學生自己的思維過程并進一步要求學生根據(jù)題目的現(xiàn)有已知條件，進行多角度觀察、聯(lián)想，找到更多的思維通道，涉及到更豐富的數(shù)學知識點，去探索最佳的解題途徑.

老師：看了題同學們有什么想法？

學生1：我發(fā)現(xiàn)這個規(guī)律，即

第一個式子可化為3+5=23，連續(xù)2個奇數(shù)之和為23，

第二個式子可看成連續(xù)3個奇數(shù)之和為33,即7+9+11=33，

從而，猜想連續(xù)m個奇數(shù)之和為m3，

而73是除1之外第36個奇數(shù)，

又因為2+3+4+…+m-1<36，

m2-m<74，解得m=9滿足條件.

學生2：我想把它變個形式：

通過觀察,發(fā)現(xiàn)每列數(shù)的中間位置通過添數(shù)(偶數(shù)的立方)或者改寫(奇數(shù)的立方)，就很容易看到規(guī)律.即合成數(shù)是某數(shù)的立方則其分裂數(shù)組中的中位數(shù)是該數(shù)的平方,分裂數(shù)組是偶數(shù)個數(shù)的,中間插入該數(shù)的平方；是奇數(shù)個數(shù)的,把中間奇數(shù)改寫成該數(shù)的平方.又因為82=64,而83這組“分裂”成連續(xù)8個奇數(shù)之和,它們分布在82的上下兩側如下:

所以m=9.

其中5=22+2-1，11=32+3-1，19=42+4-1，…，猜想73趨近于m2+m-1，

當m=8時，m2+m-1=71，故m=9.

三個學生從三個不同的視角詮釋了這道題，學生在再一次審視這道題的過程中，不但掌握了觀察法，估值法，排除法，還有了思維能力的提升,如歸納思想，趨近思想等等，一道題，不同的途徑，相同的結果，不同的效率，不同知識點的應用，值得再次反思，從中整理思路，提高思考能力.而在高中人教版選修2-2推理證明這一章節(jié)中一個立方數(shù)或一個平方數(shù)“分裂”成多個連續(xù)的奇數(shù)或偶數(shù)或自然數(shù),求合成數(shù)或“分裂數(shù)”中的成員數(shù),抑或是已知“分裂數(shù)”中的成員數(shù)求合成數(shù),或求其他某個指定位置成員數(shù)等等這樣的一類題型都需要學生掌握這些方法和技巧并融會貫通，靈活應用.

又如:對大于或等于2的正整數(shù)的冪運算有如下分解方式：

22=1+3,32=1+3+5,42=1+3+5+7,…；

23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,….

根據(jù)上述分解規(guī)律，若m2=1+3+5+…+11,p3的分解中最小的正整數(shù)是21，則m+p=________.(答案:11)

通過一題多解，訓練學生發(fā)散思維,熟悉不同章節(jié)的知識點.反思解題思路，有利于培養(yǎng)學生思維的廣闊性和靈活性.

3．反思易錯之處，增強學生糾錯能力

黑格爾說“錯誤本身乃是達到真理的一個必然的環(huán)節(jié).”正確可能被模仿，可錯誤卻絕對是經(jīng)歷.反思，讓學生再次“場景重現(xiàn)”體會錯誤之處，找到錯誤的根源，避免重復錯誤.通過對錯解進行分析和糾正，對已有知識重新認識，可以加深對知識點和概念的解讀，彌補自己知識體系的漏洞,增強學生糾錯能力.

3.1概念理解錯誤

高中數(shù)學課很多都是由概念定義課組成，學生理解這些概念往往比較片面.如下面的等差數(shù)列的概念練習題.

例3“an+1+an-2=an+an-1(n∈N*且n≥3)”是“數(shù)列{an}為等差數(shù)列”的

( )

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件

學生失誤在自己的慣性思維，認為只要an+1-an=an-1-an-2(n∈N*且n≥3)就是等差數(shù)列，而忘記了擺動數(shù)列!例如:0,1,0,1,0,1，…，當n為奇數(shù)時,an+1-an=an-1-an-2=1;當n為偶數(shù)時,an+1-an=an-1-an-2=-1，即“an+1+an-2=an+an-1(n∈N*且n≥3)”推不出“數(shù)列{an}成為等差數(shù)列”,反之,“數(shù)列{an}成為等差數(shù)列”可以推出“an+1+an-2=an+an-1(n∈N*且n≥3)”，因此，答案是B.

高中數(shù)學概念如:獨立事件,互斥事件,獨立重復試驗,二項分布,函數(shù)的零點,極值點,極值等等,學生理解這些概念常常存在一些問題,教師應對學生在概念、定理等易出錯的地方給予一定地引導，讓學生對自己的盲點，遺漏點，自以為是點進行及時地整理，避免一錯再錯，培養(yǎng)學生重新修補知識漏洞的習慣，儲備一些典型的錯誤例子用以彌補學生知識的不足，對學生是一個很好的提升,反思概念混淆之處，加深對概念的理解.

3.2知識點應用錯誤

對于較為復雜的知識點如復合函數(shù)的單調(diào)性,奇偶性,分段函數(shù)的零點問題等等,教師授課時不妨試試“示錯”教學法,讓學生在錯誤中找到錯誤原因,加強對知識點的應用.

4.反思思路斷點之處，提升學生應變能力

魏晉陶淵明《桃花源記》中記載：“林盡水源，便得一山，山有小口，仿佛若有光.便舍船，從口入.初極狹，才通人.復行數(shù)十步，豁然開朗.”如學生做題，先有疑，后尋解.學生做題過程中經(jīng)常會遇到伸手達不到的地方，會意識到“此路不通”，以至于思考停頓不前，一片空白.教師在講授時應對“斷點”巧加工,恰當設置一些有利于問題發(fā)展的“陷阱”，讓學生在教師的啟發(fā)下，延續(xù)思路，改變思維，達到柳暗花明的效果.同時,要求學生對自己的斷點進行必要的整理.培養(yǎng)學生的解題能力和應變能力.

例5(2016·山東卷文·20)設f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x，a∈R.

(Ⅰ)令g(x)=f′(x)，求g(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)已知f(x)在x=1處取得極大值,求實數(shù)a的取值范圍．

【解】(Ⅰ)由f′(x)=lnx-2ax+2a，

可得g(x)=lnx-2ax+2a，x∈(0，+∞)．

當a≤0時，

x∈(0，+∞)時，g′(x)>0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增；

當a>0時，

所以當a≤0時，g(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，+∞)；

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f′(1)=0.

①當a≤0時，f′(x)單調(diào)遞增，

所以當x∈(0，1)時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；

當x∈(1，+∞)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增．

所以f(x)在x=1處取得極小值，不合題意．

所以f(x)在x=1處取得極小值，不合題意．

所以當x∈(0，+∞)時，f′(x)≤0，f(x)單調(diào)遞減，不合題意．

當x∈(1，+∞)時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，

所以f(x)在x=1處取得極大值，符合題意

對于第二問,絕大部分學生只能望而卻步,作為老師我們又如何引導呢?其實第一問就給了我們想像的空間f′(x)=lnx-2ax+2a，把f′(x)=lnx-2a(x-1)聯(lián)想經(jīng)典函數(shù)lnx≤x-1,當且僅當x=1時等號成立.用數(shù)形結合豈不是更妙.

大體思路如下：

第2問是已知f(x)在x=1處取得極大值．求實數(shù)a的取值范圍．

由問題可知函數(shù)f(x)要在x=1處取得極大值,等價于函數(shù)f′(x)=lnx-2a(x-1)在x=1左邊符號為正,右邊為負,即“先正后負”,進而可知,在x=1的左邊函數(shù)y=lnx的圖象應在函數(shù)y=2a(x-1)的上方;在x=1的右邊函數(shù)y=lnx的圖象應在函數(shù)y=2a(x-1)的下方,作圖可知，直線y=x-1是函數(shù)y=lnx在x=0處的切線.函數(shù)y=lnx的圖象在直線y=x-1的圖象下方,直線y=2a(x-1)與直線y=x-1都過點(1,0),所以,只要直線y=2a(x-1)的斜率大于直線y=x-1的斜率,問題就得以證明了.

另一種方法,因為函數(shù)f(x)要在x=1處取得極大值,就等價于函數(shù)f′(x)=lnx-2a(x-1)在x=1左邊符號為正,右邊為負,即“先正后負”,又因為f′(1)=0，

所以函數(shù)f′(x)在x=1處的斜率必然小于零.

一個題在斷點時往往會給我們不同的數(shù)學期望，只要我們能緊抓數(shù)學概念，以形助數(shù)，就會給學生不一樣的數(shù)學驚喜.

5.反思類似題目，發(fā)現(xiàn)知識內(nèi)在聯(lián)系

同一類型的數(shù)學問題，其求解方法往往有規(guī)律性，解完一道題要學生思考此題是否可作一般性推廣和引申，這樣學生能解決的就不是一道題，而是一類題.如上面講的例5.求含參函數(shù)的最值這一類問題，我們可以直接求函數(shù)的最值，也可以分離參數(shù)，或者可以轉換變量，還可以數(shù)形結合，既加強了對多種數(shù)學思想方法的融會貫通，又給出了這一類題的普遍解法，這里思維運轉之快，思路步驟之多，學生課后或練習后若不好好反思，豈能掌握，但細細品嘗，慢慢消化，又何止收益點滴.

6.反思解題結果，培養(yǎng)學生數(shù)學思維的深刻性

事實上,就問題解決的周期而言,問題是問題解決的始端,而一個問題的解決往往孕育著一個新問題的產(chǎn)生.做完一道題后,教師應指導學生思考該題的結果.波利亞的題后反思即他的《怎樣解題》中回顧環(huán)節(jié)對此進行了精彩的論述：你能檢驗這個結果嗎？你能檢驗這個論證嗎？你能以不同的方式推導這個結果嗎？你能一眼就看出它嗎？你能利用它的結果嗎?你能利用它的方法嗎?為了能夠利用它,你是否應該引入某些輔助元素?這樣的反思,有助于提高高中生數(shù)學學科的自我監(jiān)控能力,培養(yǎng)學生數(shù)學思維的深刻性.

例6已知函數(shù)f(x)=alnx-x+1(a∈R)．

(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)若f(x)≤0在(0,+∞)上恒成立，求所給實數(shù)a的值;

初看這個題目學生會被第(Ⅲ)問給難住，畢竟高三一輪復習中我們很少給出這樣的題.由于(Ⅰ)(Ⅱ)問較簡單，筆者這里只給出第(Ⅲ)問的解法.

教師：由前面兩問，我們知當a=1時f(x)≤0在(0,+∞)上恒成立，即lnx-x+1≤0?lnx≤x-1,

教師：很好，學生由題目的結果出發(fā)，回到題目的條件，再由條件出發(fā),解決問題,不錯的想法，數(shù)學的綜合分析法應用得很恰當,那還有沒有其他方法？

學生4：能不能用數(shù)學歸納法，然后和函數(shù)結合起來.

(1)當n=2時，不等式成立,

[編者按]本文為原創(chuàng)團隊教師將教研中關于原創(chuàng)試題的命制思路及感悟總結歸納，與讀者分享.以期對教師命題活動有所啟發(fā)或幫助.