云南 馬孟華
近年來(lái),縱觀(guān)全國(guó)各省市高考?jí)狠S題中涉及“導(dǎo)函數(shù)為含參數(shù)的二次型函數(shù)”的題型屢見(jiàn)不鮮,該題型意在考查學(xué)生對(duì)“分類(lèi)討論”思想的理解與應(yīng)用,同時(shí)兼顧考查由基本初等函數(shù)構(gòu)成的復(fù)雜函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、參數(shù)取值范圍問(wèn)題和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)問(wèn)題,綜合性較強(qiáng),難度較大,但卻又是每年高考的重點(diǎn)考查內(nèi)容.此類(lèi)題型的難度往往體現(xiàn)在很難找到對(duì)含參數(shù)的二次函數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論的切入點(diǎn)和討論不完整上.作者就該問(wèn)題對(duì)近年來(lái)高考中常見(jiàn)的“導(dǎo)函數(shù)為含參數(shù)的二次型函數(shù)”中對(duì)參數(shù)的討論方法進(jìn)行了研究、歸納和總結(jié),探索出易于被廣大師生所接受的解決策略.
作者通過(guò)2010—2017年高考中出現(xiàn)的“求導(dǎo)后導(dǎo)函數(shù)為含參數(shù)的二次型函數(shù)”的考題進(jìn)行總結(jié)歸納,探索得到了“導(dǎo)函數(shù)為含參數(shù)的二次型函數(shù)”的討論策略:即“先Δ(判別式)后開(kāi)口”討論法、“動(dòng)根與定根的位置關(guān)系”討論法,并在一線(xiàn)教學(xué)中實(shí)際應(yīng)用,取得較好的效果.這兩種討論策略的提出解決了難以找到含參數(shù)的二次函數(shù)中對(duì)參數(shù)討論的“切入點(diǎn)”和“討論不完整”的問(wèn)題,為高三考生解決此類(lèi)問(wèn)題提供了一般的處理方法.
1.高考試題展示
(Ⅰ)求b;
題二(2014·全國(guó)大綱卷文·21)已知函數(shù)f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0).
(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)若f(x)在區(qū)間(1,2)是增函數(shù),求a的取值范圍.
2.導(dǎo)函數(shù)為含參數(shù)的二次型函數(shù)的模型
基于以上兩個(gè)高考題,縱觀(guān)近幾年全國(guó)各省市高考試題,通過(guò)研究發(fā)現(xiàn):
導(dǎo)函數(shù)為含參數(shù)的二次型函數(shù)的原函數(shù)大致可以分為以下兩類(lèi)模型:
模型一:原函數(shù)是含參數(shù)的三次函數(shù),求導(dǎo)后導(dǎo)函數(shù)為含參數(shù)的二次函數(shù);
模型二:原函數(shù)是由一次、二次、反比例函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)等構(gòu)成的復(fù)雜函數(shù),求導(dǎo)后導(dǎo)函數(shù)呈現(xiàn)為分式函數(shù)結(jié)構(gòu),分子則是含有參數(shù)的二次函數(shù).
在以上兩種模型的背景下,我們總結(jié)出它們具有的共性是:
(1)求導(dǎo)之后,導(dǎo)函數(shù)中都具有含參數(shù)的二次型函數(shù)結(jié)構(gòu);
(2)含參數(shù)的二次型函數(shù)往往出現(xiàn)兩類(lèi)結(jié)構(gòu):一類(lèi)是導(dǎo)函數(shù)為不可分解的二次型結(jié)構(gòu),即原函數(shù)求導(dǎo)后,呈現(xiàn)的二次型函數(shù)不可分解因式;另一類(lèi)是導(dǎo)函數(shù)為可分解的二次型結(jié)構(gòu),即原函數(shù)求導(dǎo)后,呈現(xiàn)的二次函數(shù)可分解因式.
由前面的試題分析并結(jié)合近年來(lái)各省市高考題,可以看到“導(dǎo)函數(shù)為含參數(shù)的二次型函數(shù)”的兩類(lèi)結(jié)構(gòu)反映出:解決含參數(shù)的二次型函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、參數(shù)取值范圍等問(wèn)題,其核心是找到如何合理的對(duì)二次型函數(shù)中的參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論(即找到討論的切入點(diǎn)和討論的順序性).
針對(duì)以上兩類(lèi)問(wèn)題結(jié)構(gòu)及各自的特點(diǎn),通過(guò)對(duì)大量高考題的研究例證,本文總結(jié)出了解決求導(dǎo)后導(dǎo)函數(shù)為含參數(shù)的二次型函數(shù)的討論策略.
1.導(dǎo)函數(shù)為不可分解的二次型結(jié)構(gòu)用“先Δ(判別式)后開(kāi)口”討論法
【例1】見(jiàn)上文題二.
解:(Ⅰ)f′(x)=3ax2+6x+3,令f′(x)=0,其判別式為Δ=36(1-a).
①當(dāng)Δ=36(1-a)≤0,即當(dāng)a≥1時(shí),f′(x)≥0恒成立,故f(x)在R上單調(diào)遞增;
當(dāng)Δ=0時(shí),雖然f′(x)=0有一解,但該解不是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),故可以與Δ<0合并討論.
②當(dāng)Δ=36(1-a)>0,即a<1時(shí),f′(x)=0有兩根,分別為x1,x2,不妨設(shè)
這里先利用判別式Δ討論f′(x)=0時(shí)根的情況,在確定了二次方程f′(x)=0時(shí)根的情況之后,進(jìn)一步確定二次函數(shù)的開(kāi)口方向,從而清晰的得出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,故此時(shí)應(yīng)將a<1分為a<0和0 當(dāng)x∈(-∞,x1)∪(x2,+∞)時(shí),f′(x)<0,當(dāng)x∈(x1,x2)時(shí),f′(x)>0, 所以f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)上單調(diào)遞減,在(x1,x2)上單調(diào)遞增; 綜上所述,當(dāng)a≥1時(shí),f(x)在R上單調(diào)遞增; (Ⅱ)略. 【例2】(2015·山東卷理·21)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),其中a∈R. (Ⅰ)討論函數(shù)f(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由; (Ⅱ)若?x>0,f(x)≥0成立,求a的取值范圍. 令f′(x)=0,即2ax2+ax+1-a=0, (2)當(dāng)a≠0時(shí),方程2ax2+ax+1-a=0為二次方程,故先考慮該方程的根的情況,由于二次方程的判別式Δ=9a2-8a=a(9a-8),故作如下討論: (Ⅱ)略. 評(píng)析:當(dāng)導(dǎo)函數(shù)為含參數(shù)的二次型函數(shù)不可分解因式時(shí),先從判別式Δ的正負(fù)性來(lái)對(duì)二次方程的根的個(gè)數(shù)展開(kāi)第一次討論;在確定了二次方程的根的個(gè)數(shù)的情況下,對(duì)二次函數(shù)的開(kāi)口方向進(jìn)行第二次討論(即對(duì)導(dǎo)函數(shù)中的二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論),這樣問(wèn)題就可化歸為熟悉的二次函數(shù)函數(shù)值的正負(fù)性判斷的問(wèn)題,解決這一問(wèn)題就解決了函數(shù)的單調(diào)性、極值以及最值問(wèn)題.這樣的“先Δ(判別式)后開(kāi)口”討論法比較清晰地找到對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論的切入點(diǎn)和依據(jù),邏輯思路嚴(yán)密,討論不重不漏,具有完整性.值得注意的是,此類(lèi)問(wèn)題盡管化歸為較為熟悉的二次函數(shù)問(wèn)題,但由于對(duì)所含參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論造成了較大的難度以及計(jì)算上的復(fù)雜性導(dǎo)致該題型屬于區(qū)分度較高的難題.但若把握好在“導(dǎo)函數(shù)為不可分解的二次型結(jié)構(gòu)”中使用“先Δ(判別式)后開(kāi)口”討論法就可以有效的解決這類(lèi)難題. 2.導(dǎo)函數(shù)為可分解的二次型結(jié)構(gòu)用“動(dòng)根與定根的位置關(guān)系”討論法 【例3】見(jiàn)上文題一. (Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性; (Ⅱ)若當(dāng)x≥0時(shí),f(x)>0恒成立,求a的取值范圍. 解:討論f(x)的單調(diào)性,必先求導(dǎo)得f′(x)=x2-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a). 令f′(x)=0,得x=2或x=2a,此時(shí)觀(guān)察到導(dǎo)函數(shù)f′(x)是可分解的二次函數(shù),故考慮動(dòng)根x=2a和定根x=2的相對(duì)位置關(guān)系(即三種位置關(guān)系:(1)0<2a<2;(2)2a=2;(3)2a>2)來(lái)找到討論的切入點(diǎn),討論方法如下: (1)當(dāng)0<2a<2,即0 f(x)在(-∞,2a)和(2,+∞)上單調(diào)遞增,在(2a,2)上單調(diào)遞減; (2)當(dāng)2a=2,即a=1時(shí),f′(x)=(x-2)2≥0在R上恒成立,故此時(shí)f(x)在R上單調(diào)遞增; (3)當(dāng)2a>2,即a>1時(shí),f′(x)=x2-2(1+a)x+4a開(kāi)口向上,此時(shí)f(x)在(-∞,2)和(2a,+∞)上單調(diào)遞增;在(2,2a)上單調(diào)遞減;教學(xué)考試(高考數(shù)學(xué))2018年2期
——培養(yǎng)學(xué)生反思意識(shí),提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)