云南 馬孟華

近年來(lái)，縱觀(guān)全國(guó)各省市高考?jí)狠S題中涉及“導(dǎo)函數(shù)為含參數(shù)的二次型函數(shù)”的題型屢見(jiàn)不鮮，該題型意在考查學(xué)生對(duì)“分類(lèi)討論”思想的理解與應(yīng)用，同時(shí)兼顧考查由基本初等函數(shù)構(gòu)成的復(fù)雜函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、參數(shù)取值范圍問(wèn)題和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)，難度較大，但卻又是每年高考的重點(diǎn)考查內(nèi)容.此類(lèi)題型的難度往往體現(xiàn)在很難找到對(duì)含參數(shù)的二次函數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論的切入點(diǎn)和討論不完整上.作者就該問(wèn)題對(duì)近年來(lái)高考中常見(jiàn)的“導(dǎo)函數(shù)為含參數(shù)的二次型函數(shù)”中對(duì)參數(shù)的討論方法進(jìn)行了研究、歸納和總結(jié)，探索出易于被廣大師生所接受的解決策略.

作者通過(guò)2010—2017年高考中出現(xiàn)的“求導(dǎo)后導(dǎo)函數(shù)為含參數(shù)的二次型函數(shù)”的考題進(jìn)行總結(jié)歸納，探索得到了“導(dǎo)函數(shù)為含參數(shù)的二次型函數(shù)”的討論策略：即“先Δ(判別式)后開(kāi)口”討論法、“動(dòng)根與定根的位置關(guān)系”討論法，并在一線(xiàn)教學(xué)中實(shí)際應(yīng)用，取得較好的效果.這兩種討論策略的提出解決了難以找到含參數(shù)的二次函數(shù)中對(duì)參數(shù)討論的“切入點(diǎn)”和“討論不完整”的問(wèn)題，為高三考生解決此類(lèi)問(wèn)題提供了一般的處理方法.

一、問(wèn)題的模型

1.高考試題展示

(Ⅰ)求b;

題二(2014·全國(guó)大綱卷文·21)已知函數(shù)f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0)．

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性；

(Ⅱ)若f(x)在區(qū)間(1,2)是增函數(shù)，求a的取值范圍．

2.導(dǎo)函數(shù)為含參數(shù)的二次型函數(shù)的模型

基于以上兩個(gè)高考題，縱觀(guān)近幾年全國(guó)各省市高考試題，通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)：

導(dǎo)函數(shù)為含參數(shù)的二次型函數(shù)的原函數(shù)大致可以分為以下兩類(lèi)模型：

模型一：原函數(shù)是含參數(shù)的三次函數(shù)，求導(dǎo)后導(dǎo)函數(shù)為含參數(shù)的二次函數(shù)；

模型二：原函數(shù)是由一次、二次、反比例函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)等構(gòu)成的復(fù)雜函數(shù)，求導(dǎo)后導(dǎo)函數(shù)呈現(xiàn)為分式函數(shù)結(jié)構(gòu)，分子則是含有參數(shù)的二次函數(shù).

在以上兩種模型的背景下，我們總結(jié)出它們具有的共性是：

(1)求導(dǎo)之后，導(dǎo)函數(shù)中都具有含參數(shù)的二次型函數(shù)結(jié)構(gòu);

(2)含參數(shù)的二次型函數(shù)往往出現(xiàn)兩類(lèi)結(jié)構(gòu)：一類(lèi)是導(dǎo)函數(shù)為不可分解的二次型結(jié)構(gòu)，即原函數(shù)求導(dǎo)后，呈現(xiàn)的二次型函數(shù)不可分解因式；另一類(lèi)是導(dǎo)函數(shù)為可分解的二次型結(jié)構(gòu)，即原函數(shù)求導(dǎo)后，呈現(xiàn)的二次函數(shù)可分解因式.

二、導(dǎo)函數(shù)為含參數(shù)的二次型函數(shù)模型中參數(shù)的討論方法

由前面的試題分析并結(jié)合近年來(lái)各省市高考題，可以看到“導(dǎo)函數(shù)為含參數(shù)的二次型函數(shù)”的兩類(lèi)結(jié)構(gòu)反映出：解決含參數(shù)的二次型函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、參數(shù)取值范圍等問(wèn)題，其核心是找到如何合理的對(duì)二次型函數(shù)中的參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論(即找到討論的切入點(diǎn)和討論的順序性).

針對(duì)以上兩類(lèi)問(wèn)題結(jié)構(gòu)及各自的特點(diǎn)，通過(guò)對(duì)大量高考題的研究例證，本文總結(jié)出了解決求導(dǎo)后導(dǎo)函數(shù)為含參數(shù)的二次型函數(shù)的討論策略.

1.導(dǎo)函數(shù)為不可分解的二次型結(jié)構(gòu)用“先Δ(判別式)后開(kāi)口”討論法

【例1】見(jiàn)上文題二.

解：(Ⅰ)f′(x)=3ax2+6x+3，令f′(x)=0，其判別式為Δ=36(1-a)．

①當(dāng)Δ=36(1-a)≤0，即當(dāng)a≥1時(shí)，f′(x)≥0恒成立，故f(x)在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)Δ=0時(shí)，雖然f′(x)=0有一解，但該解不是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，故可以與Δ<0合并討論.

②當(dāng)Δ=36(1-a)>0，即a<1時(shí)，f′(x)=0有兩根，分別為x1,x2，不妨設(shè)

這里先利用判別式Δ討論f′(x)=0時(shí)根的情況，在確定了二次方程f′(x)=0時(shí)根的情況之后，進(jìn)一步確定二次函數(shù)的開(kāi)口方向，從而清晰的得出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，故此時(shí)應(yīng)將a<1分為a<0和0

當(dāng)x∈(-∞,x1)∪(x2,+∞)時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)x∈(x1,x2)時(shí)，f′(x)>0，

所以f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)上單調(diào)遞減，在(x1,x2)上單調(diào)遞增；

綜上所述，當(dāng)a≥1時(shí)，f(x)在R上單調(diào)遞增；

(Ⅱ)略.

【例2】(2015·山東卷理·21)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x+1)+a(x2-x)，其中a∈R.

(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；

(Ⅱ)若?x>0,f(x)≥0成立，求a的取值范圍.

令f′(x)=0，即2ax2+ax+1-a=0，

(2)當(dāng)a≠0時(shí)，方程2ax2+ax+1-a=0為二次方程，故先考慮該方程的根的情況，由于二次方程的判別式Δ=9a2-8a=a(9a-8)，故作如下討論：

(Ⅱ)略.

評(píng)析：當(dāng)導(dǎo)函數(shù)為含參數(shù)的二次型函數(shù)不可分解因式時(shí)，先從判別式Δ的正負(fù)性來(lái)對(duì)二次方程的根的個(gè)數(shù)展開(kāi)第一次討論；在確定了二次方程的根的個(gè)數(shù)的情況下，對(duì)二次函數(shù)的開(kāi)口方向進(jìn)行第二次討論(即對(duì)導(dǎo)函數(shù)中的二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論)，這樣問(wèn)題就可化歸為熟悉的二次函數(shù)函數(shù)值的正負(fù)性判斷的問(wèn)題，解決這一問(wèn)題就解決了函數(shù)的單調(diào)性、極值以及最值問(wèn)題.這樣的“先Δ(判別式)后開(kāi)口”討論法比較清晰地找到對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論的切入點(diǎn)和依據(jù)，邏輯思路嚴(yán)密，討論不重不漏，具有完整性.值得注意的是，此類(lèi)問(wèn)題盡管化歸為較為熟悉的二次函數(shù)問(wèn)題，但由于對(duì)所含參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論造成了較大的難度以及計(jì)算上的復(fù)雜性導(dǎo)致該題型屬于區(qū)分度較高的難題.但若把握好在“導(dǎo)函數(shù)為不可分解的二次型結(jié)構(gòu)”中使用“先Δ(判別式)后開(kāi)口”討論法就可以有效的解決這類(lèi)難題.

2.導(dǎo)函數(shù)為可分解的二次型結(jié)構(gòu)用“動(dòng)根與定根的位置關(guān)系”討論法

【例3】見(jiàn)上文題一.

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性；

(Ⅱ)若當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)>0恒成立，求a的取值范圍.

解：討論f(x)的單調(diào)性，必先求導(dǎo)得f′(x)=x2-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a).

令f′(x)=0，得x=2或x=2a，此時(shí)觀(guān)察到導(dǎo)函數(shù)f′(x)是可分解的二次函數(shù)，故考慮動(dòng)根x=2a和定根x=2的相對(duì)位置關(guān)系(即三種位置關(guān)系：(1)0<2a<2；(2)2a=2；(3)2a>2)來(lái)找到討論的切入點(diǎn)，討論方法如下：

(1)當(dāng)0<2a<2，即0

f(x)在(-∞,2a)和(2,+∞)上單調(diào)遞增，在(2a,2)上單調(diào)遞減；

(2)當(dāng)2a=2，即a=1時(shí)，f′(x)=(x-2)2≥0在R上恒成立，故此時(shí)f(x)在R上單調(diào)遞增；

(3)當(dāng)2a>2，即a>1時(shí)，f′(x)=x2-2(1+a)x+4a開(kāi)口向上，此時(shí)f(x)在(-∞,2)和(2a,+∞)上單調(diào)遞增；在(2,2a)上單調(diào)遞減；

綜上所述,當(dāng)0

當(dāng)a=1時(shí)，f(x)在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>1時(shí)，f(x)在(-∞,2)和(2a,+∞)上單調(diào)遞增；在(2,2a)上單調(diào)遞減.

(Ⅱ)略.

評(píng)析：當(dāng)導(dǎo)函數(shù)為可以分解因式的含參數(shù)的二次型函數(shù)時(shí)，先根據(jù)分解因式后二次方程的兩個(gè)根的位置關(guān)系(通常有三種位置關(guān)系)為討論切入點(diǎn)進(jìn)行第一次分類(lèi)討論；在兩根位置關(guān)系確定的情況下對(duì)二次函數(shù)的開(kāi)口方向進(jìn)行第二次討論.這樣的“動(dòng)根與定根的位置關(guān)系討論法”首先抓住了討論的核心，后續(xù)對(duì)二次函數(shù)開(kāi)口方向討論也就順理成章了，這樣逐級(jí)先后對(duì)參數(shù)的討論思路會(huì)使“導(dǎo)函數(shù)為可分解的二次型結(jié)構(gòu)”的討論依據(jù)和切入點(diǎn)也較為直觀(guān)，邏輯層次清晰，避免了討論不完整、思路混亂而導(dǎo)致的諸多問(wèn)題.

三、導(dǎo)函數(shù)為含參數(shù)的二次型函數(shù)模型中參數(shù)的討論方法的再驗(yàn)證

讀者可以利用以上兩種對(duì)參數(shù)的討論策略解決以下高考題：2010年山東理科22題、2010年遼寧文科21題、2010年重慶理科18題、2011年遼寧理科21題、2011年天津文科21題、2012年天津文科20題、2013年山東文科21題、2014年安徽理科18題、2014年山東文科20題、2015年江蘇理科19題、2015年重慶理科20題、2015年四川理科21題、2016年山東理科20題、2016年四川理科21題、2017年天津文科19題.

四、對(duì)高考復(fù)習(xí)備考的指導(dǎo)意義