徐沈陽 熊友兵 劉秀明

（天津工業(yè)大學，天津 300387）

門式起重機是橋式起重機的一種變形，又叫龍門吊。龍門吊作為一種運輸機械被廣泛應(yīng)用于工程方面[1]，國內(nèi)外的專家和學者對此系統(tǒng)的研究也早已開始，但是缺少對運動的動態(tài)分析和評價。如何通過使用模型進行合理的設(shè)計后能夠滿足安全、高效的需求以完成檢測已成為各位專家和學者密切關(guān)注的問題[2-3]。吊車運動過程中會引起貨物的擺動，合理進行防擺控制是提高吊車工作效率和安全性的重要手段[4]。本文通過深入分析貨物擺動的動態(tài)過程，研究貨物擺動對系統(tǒng)的影響，這對貨物的消擺具有重大意義。

1.動力學分析

1.1 運動狀態(tài)分析

由于貨物擺動過程中，纜繩受力隨速度、擺角等因素的變化而變化，導致纜繩長度會產(chǎn)生一定的伸張，從而對擺角等因素產(chǎn)生影響。本文只分析貨物擺動過程中纜繩長度不變的情況。

另外，由于貨物運動時，其所受空氣阻力難以簡單界定，受到多種因素的影響。因此，在理想狀態(tài)下（忽略空氣阻力）研究問題，能更加方便、準確地得出結(jié)論。本文忽略貨物擺動過程中空氣阻力對負載的影響。根據(jù)達朗伯原理[5]，對貨物m進行受力分析，得到系統(tǒng)的微分方程：

運用 MATLAB求解方程組[6-7]，繪制吊車運動速度曲線、擺角隨時間變化曲線以及貨物在平衡位置振動時擺角變化曲線，可得吊車加速至勻速階段的運動過程。本文給出了擺角和平衡位置的定義。

（1）擺角：纜繩與豎直方向的夾角；

（2）平衡位置：貨物在某擺角處不停振蕩的中心位置。

通過對兩個微分方程的求解，可以得到在系統(tǒng)加速階段各物理量的變化情況，如圖1、圖2所示。

由圖1可知，貨物擺角由初始狀態(tài)零度開始增大，隨著吊車速度增加，貨物擺角恒為正值且逐漸減大，在加速階段結(jié)束時擺角的大小為在勻速運動階段擺角的峰值。勻速運動階段，貨物擺動的平衡位置為零位置；吊車在減速運動階段，貨物的擺角為負值且逐漸減??；最終吊車勻速階段，貨物在零位置附近擺動。

由圖2可知，貨物在每個平衡位置不停振動，類似簡諧運動。

1.2 運動過程

根據(jù)吊車運動曲線，可將整體運動過程分為四個階段。第一階段為吊車勻加速階段，擺角由最大位置逐漸減小并在每個平衡位置不停振蕩做簡諧運動；第二階段為吊車勻速階段，貨物的平衡位置為零位置，在零位置附近不停振蕩；第三階段為吊車勻減速階段，貨物擺角變?yōu)樨撝?；第四階段為吊車勻速階段，貨物從負最大擺角回到零位置。

1.2.1 加速階段

貨物擺動的模型如圖3所示。吊車加速時間為t1，勻速運行時間為 t2，減速時間為t3。m1為吊車質(zhì)量，m2為貨物質(zhì)量，θ為貨物的擺角，F(xiàn)為小車所受合外力，F(xiàn)T為纜繩的拉力，l為纜繩的長度。貨物在擺動過程中θ比較小，可近似認為Sinθ≈θ，cosθ≈1。

設(shè)小車與貨物的坐標分別為（x,0）、（xm,ym），則有

忽略纜繩的形變，則上述方程可簡化為

根據(jù)坐標關(guān)系，可以得到系統(tǒng)的動能為

拉格朗日方程標準形式[8]為

該系統(tǒng)的拉格朗日方程為

將式（1）分別帶入式（2）、（3）中可得

采用Laplace變換的方法對兩個微分方程進行求解[9-10]，吊車開始加速，貨物由零位置開始擺動，故初始條件為

經(jīng)過Laplace變換得

求Laplace逆變換得

對于纜繩受力，對吊車應(yīng)用牛頓第二定律得

將（4）式帶入上式得貨物在擺動過程中對系統(tǒng)水平方向的力為

其中，T1為纜繩的拉力，θ1為第一階段運動的擺角。

1.2.2 勻速運動階段

吊車經(jīng)過時間進入勻速階段，貨物過渡到在零位置擺動的階段，式（5）變?yōu)?/p>

利用加速階段求解過程，解得

1.2.3 減速運動階段

類比吊車在加速階段的動力學分析，第二階段勻速運動擺角的末值為減速階段的初始值，對式（6）求Laplace反變換可得

1.2.4 最終勻速運動階段

第四階段勻速過程可類比第二階段勻速過程，擺角變化為負值，得到微分方程

利用加速階段求解過程，解得

2.運輸模型的建立

2.1 目標分析

運輸過程中，運輸效率是評價運輸方案優(yōu)劣的指標，本文定義系統(tǒng)運輸效率為單位時間內(nèi)運輸貨物的重量

2.2 約束分析

（1）距離約束

前三個階段運動距離D1為

吊車第一階段做加速運動，初始狀態(tài)為靜止的，即：v1=0。

吊車第二階段做勻速運動，初始速度為吊車所達到的最大速度，等于第一階段運動末速度，即：v2=a1t1。

吊車第三階段做減速運動，初始速度等于勻速階段速度，即：v3＝v2=a1t1。

第四階段運動距離 D2為：D2＝v4t4。

吊車第四階段做勻速運動，初始速度為減速時間后的速度，即：

（2）時間約束

由整個調(diào)運時間不超過最大可接受時間，可得

其中，Tmax為四個階段的總時間，ti為第 i個運動階段時間。

第一階段和第四階段吊車運動加速度大小相等方向相反，由于在第四階段吊車仍有速度，則可知加速階段時間大于減速階段時間，即

（3）速度約束

貨物第三階段運動最終擺動速度和最終時刻的擺角，決定了第四階段貨物的水平速度。

如圖4，對貨物的擺動速度分解得到

式中vf3是第三階段末貨物的擺動速度，vx是貨物運動的水平速度。

（4）擺角約束

第四階段勻速過程可類比第二階段勻速過程，擺角變化為負值，得到微分方程

利用Laplace變換求解微分方程，解得

其中θ4為第四階段勻速運行時貨物的擺角。

受力分析得出的每個階段擺角的函數(shù)，設(shè)過程中允許的最大擺角為θmQX，得到如下限制

式中θ4為第四階段勻速運行時貨物運動的擺角。在尋求最終目標時，采用保守策略是穩(wěn)妥的，即在最壞的情況下尋求最好的結(jié)果，所以采用極小極大法求解。由于貨物在平衡位置不停地振動，求出貨物最大的振動擺角，使該角度最小，即為所要達到的擺動范圍。

（5）纜繩承載力約束，纜繩受力不能超過其最大承載力范圍限制為

3.實例分析

為了進行應(yīng)用驗證，本文選取了代表性較強的龍門吊配置進行分析：繩長15m，貨物運動總長在75-80m之間，最大加速度為 1m/s2，最大運輸時間為120s，纜繩最大承載能力為20000kg。利用MATLAB求解非線性規(guī)劃問題，設(shè)置時間的精度為0.01，得到各個運動的擺角變化曲線如圖4、圖 5所示。

圖4 第一階段擺角變化圖

圖5第二階段擺角變化圖

圖4 為第一階段貨物擺角變化，5.1s內(nèi)貨物的擺角逐漸向正方向增大，在1.2s時形成最大擺角，為 1.0813°。

圖5為第二階段貨物擺角變化，第二階段運動時間為16.8s，在該段時間內(nèi)貨物在零位置附近不停振動，在1.2s時形成最大的擺角，為2.5143°。

圖6 第三階段擺角變化圖

圖7第二階段擺角變化圖

圖6 為第三階段貨物擺角變化，第三階段運動時間為0.2s，擺角向負方向逐漸增大，在21.3s時形成最大擺角，為-2.2877°.

圖7為第四階段貨物擺角變化，第四階段運動時間為28s，擺角在零位置附近振動且擺角很小。在35.2s時形成最大擺角，為-2.1686°。

綜上所示，運輸過程中，總時間為53s，運動時間和擺角關(guān)系如表1所示。

表1 運動時間和最小擺幅

此時的加速階段的加速度為0.83m/s2，調(diào)運質(zhì)量為6050kg。求解出的四個階段擺動均比較小，保證貨物安全。加減速時間較短，兩段勻速時間較長，貨物平穩(wěn)運動時間較長，符合實際吊運情況。

更改上述實例中目標為調(diào)運質(zhì)量最大，利用建立模型進行模擬，得到模擬結(jié)果如表2。

表2 調(diào)運質(zhì)量為目標求解

兩實例進行對比，可以得到，實例1中保持運輸效率最高，但單次運輸質(zhì)量較小，更改目標后的實例2以質(zhì)量最大為目標，雖增加了單次運輸質(zhì)量，但過程中擺角也有所增加。

該模型能根據(jù)實際需求，調(diào)整參數(shù)，更改目標和約束，得到運輸過程以擺角最小、運輸效率最高、運輸質(zhì)量最大等為目標的方案，更符合運輸過程中的實際情況，對實際運輸具有重要指導意義。

4.結(jié)語

龍門吊系統(tǒng)在運輸過程中的工作狀況是多變的，可根據(jù)不同需求，修改本文實例中的纜繩最大承載能力、繩長、運輸長度、最大加速度等參數(shù)，得到最適合的運輸方案。本文從力學的角度，結(jié)合現(xiàn)有的理論基礎(chǔ)，分析不同狀態(tài)下的受力情況，利用非線性規(guī)劃建立了擺角非線性規(guī)劃模型，以此來分析運動過程，具有良好的效果。

對于龍門吊運輸問題，利用仿真模擬的方法得到運輸過程中最佳配置，對實際運輸具有十分重要的參考價值。但由于不同變量之間關(guān)系復雜，需要不斷加深對運輸過程的研究，以實現(xiàn)運輸?shù)母咝?、智能的控制?/p>