陳曉霞, 楊朋朋, 邢靜忠, 姚云鵬

(1.天津工業(yè)大學(xué)天津市現(xiàn)代機(jī)電裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 300387, 天津; 2.天津工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院, 300387, 天津)

諧波齒輪傳動(dòng)憑借其傳動(dòng)比大、體積小、結(jié)構(gòu)簡單、重量輕、承載能力大和傳動(dòng)精度高等優(yōu)點(diǎn),被廣泛應(yīng)用于航天航空、工業(yè)機(jī)器人、精密機(jī)床、儀器儀表等領(lǐng)域[1]。隨著機(jī)器人技術(shù)的迅猛發(fā)展,在未來5年,諧波減速器將在高精度、高承載能力等相關(guān)技術(shù)方面大力發(fā)展[2]。目前,指導(dǎo)和評價(jià)諧波齒輪齒廓設(shè)計(jì)的幾何學(xué)指標(biāo)為空載側(cè)隙及影響回差的背隙[3-4],目的是為了保障傳動(dòng)運(yùn)動(dòng)的精度。對于負(fù)載工況下的諧波齒輪傳動(dòng),齒間嚙合力既是柔輪強(qiáng)度計(jì)算的基礎(chǔ),同時(shí)又對定位精度和動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性等嚙合性能有重要影響。

隨著計(jì)算技術(shù)的發(fā)展,很多研究者通過建立等厚度殼體的柔輪有限元模型,計(jì)算了空載狀態(tài)下柔輪的結(jié)構(gòu)應(yīng)力和變形[5-6]。伊萬諾夫依據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),給出了齒間嚙合力分布的經(jīng)驗(yàn)公式[1]?；谠搰Ш狭Ψ植?董惠敏將柔輪簡化為沒有輪齒的等厚度殼體有限元模型,在柔輪中面上施加嚙合力,計(jì)算了傳動(dòng)狀態(tài)下柔輪不同截面上的變形和應(yīng)力[7],并基于動(dòng)態(tài)嚙合仿真給出的嚙合力,提出了漸開線齒廓的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法[8]?？紤]到傳動(dòng)荷載應(yīng)該作用在輪齒上,陳曉霞等采用變截面殼單元和梁單元相結(jié)合的柔輪有限元模型,對波發(fā)生器及傳動(dòng)荷載共同作用下的柔輪應(yīng)力以及齒根和齒尖處的變形進(jìn)行了分析[9],并對不同波發(fā)生器作用下柔輪中面的伸縮變形進(jìn)行了研究[10-11]?？紤]到柔輪輪齒的影響,劉文芝等建立了實(shí)體單元柔輪模型,用三維彈性接觸分析研究了柔輪應(yīng)力和輪齒變形,計(jì)算分析了承載柔輪齒圈和筒體的應(yīng)力分布規(guī)律[12]。Li利用自編有限元軟件建立實(shí)體有限元模型,計(jì)算了空載和負(fù)載狀態(tài)下柔輪杯底的應(yīng)力,并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證[13]。

考慮到柔輪在負(fù)載工況下的動(dòng)態(tài)嚙合狀態(tài),鄭德林等采用邊界元法計(jì)算柔輪變形,用輪齒的重疊量修正嚙合力,獲得了齒間嚙合力分布[14]。樂可錫等考慮傳動(dòng)元件的彈性、間隙、誤差等影響因素,提出了求解諧波齒輪空間動(dòng)態(tài)嚙合力的直接迭代方法[15]。崔博文等在實(shí)體有限元模型上定義了波發(fā)生器與柔輪內(nèi)壁、柔輪齒與剛輪齒之間的接觸關(guān)系,計(jì)算了不同負(fù)載狀態(tài)下的嚙合齒對數(shù)和嚙合力分布[16]。姜世平等通過在剛輪上安裝活齒測得的嚙合力數(shù)據(jù),利用統(tǒng)計(jì)方法得到嚙合區(qū)切向力和徑向力的實(shí)驗(yàn)曲線,從而獲得了載荷區(qū)的內(nèi)載荷分布方程[17]。上述研究從理論分析、數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證等方面,對揭示諧波齒輪多齒嚙合特性起到了重要的推動(dòng)作用。

目前,對實(shí)際工況下的諧波齒輪多齒對嚙合工作狀態(tài)尚缺乏簡單有效的分析計(jì)算方法,難點(diǎn)在于:①影響因素多,因?yàn)閲Ш狭εc齒廓形狀、空載狀態(tài)下的空載側(cè)隙分布及負(fù)載大小相關(guān);②波發(fā)生器與柔輪、柔輪齒與剛輪齒之間的接觸是非線性的,使嚙合力計(jì)算建模復(fù)雜,分析耗時(shí);③齒形很小,且多齒嚙合的嚙合側(cè)隙在幾微米到十幾微米之間,實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證非常困難。因此,嚙合狀態(tài)的有限元仿真成為一種有效可行的計(jì)算方法。

為反映負(fù)載工況下諧波齒輪的嚙合特性,本文提出一種基于周向嚙合剛度矩陣和空載側(cè)隙的嚙合力迭代算法。利用精確算法計(jì)算裝配狀態(tài)下的空載側(cè)隙;建立參數(shù)化的、輸出端固定的柔輪有限元模型,定義波發(fā)生器與柔輪內(nèi)壁的接觸關(guān)系,利用逐一施加單位嚙合力的方法,提取單位嚙合力與嚙合點(diǎn)周向位移對應(yīng)關(guān)系的嚙合柔度矩陣,得到能更真實(shí)反映柔輪齒廓嚙合點(diǎn)周向剛度特性的嚙合剛度矩陣;根據(jù)空載側(cè)隙,迭代計(jì)算不同負(fù)載工況下剛輪齒廓與柔輪齒廓間的負(fù)載側(cè)隙和嚙合力;建立包含剛輪齒廓和柔輪齒廓接觸關(guān)系的實(shí)體有限元模型,仿真驗(yàn)證不同負(fù)載工況下的負(fù)載側(cè)隙和嚙合力分布,以及扭轉(zhuǎn)剛度特性。

1 利用精確算法計(jì)算空載側(cè)隙

裝配狀態(tài)的柔輪變形后,輪齒的位置由波發(fā)生器的形狀確定。空載側(cè)隙是指裝配變形后柔輪輪齒與剛輪輪齒間的最小間隙。裝配狀態(tài)下諧波齒輪的空載側(cè)隙與齒廓形狀和波發(fā)生器類型相關(guān)。本文以雙圓盤波發(fā)生器作用下的漸開線齒廓杯形柔輪為例進(jìn)行計(jì)算分析。

1.1 基于精確算法的變形后柔輪輪齒定位

圖1所示為雙圓盤波發(fā)生器作用下的柔輪中性層變形示意圖,圖中R為圓盤的計(jì)算半徑,e為圓盤軸線的偏心距,γ為柔輪對圓盤的包角,u0為最大徑向變形。

在波發(fā)生器作用下,柔輪的中性層橫截面從變形前半徑為rm的圓形(見圖1)變?yōu)榉菆A曲線(圖1中徑矢為ρ的粗實(shí)線)。

中性層任意位置φ處的點(diǎn)在變形后的矢徑

ρ=rm+u(φ)

(1)

式中:rm為變形前柔輪中性層曲線的半徑;u(φ)為變形后柔輪中性層曲線上任意點(diǎn)的徑向位移。

圖1 雙圓盤波發(fā)生器作用下的柔輪中性層變形

在雙圓盤波發(fā)生器作用下,柔輪變形以包角γ為界,包角范圍內(nèi)柔輪齒圈變形后與波發(fā)生器完全貼合,其徑向變形為u1,其余的徑向變形為u2。

(2)

式中:A1=π/2-γ-sinγcosγ;B1=4[cosγ-(π/2-γ)sinγ]/π。

波發(fā)生器迫使柔輪嚙合端中性層產(chǎn)生徑向位移u(φ)、周向位移v(φ)和輪齒對稱軸相對于徑矢的轉(zhuǎn)角θuz(φ),如圖2所示。柔輪嚙合端中性層與齒對稱線的交點(diǎn)Of從初始φ位置移動(dòng)到φ1位置,輪齒對稱線也轉(zhuǎn)至圖示xf方向。

圖2 柔輪嚙合時(shí)的幾何關(guān)系

依據(jù)中性層變形曲線不伸長條件

v=-(φ1-φ)rm

(3)

相對于變形后的齒根極徑OcOf,輪齒對稱軸xf的轉(zhuǎn)角

(4)

1.2 漸開線齒廓諧波齒輪的空載側(cè)隙

用參數(shù)s表達(dá)的漸開線右側(cè)齒廓方程[19]為

(5)

裝配變形后的柔輪齒面和剛輪齒面間的最小周向距離,即該齒對間的側(cè)隙

(6)

點(diǎn)K1(xK1,yK1)是利用極值求解方法沿柔輪齒高方向取點(diǎn)對比計(jì)算出的柔輪齒廓到剛輪齒廓的最小周向距離點(diǎn),剛輪齒廓嚙合點(diǎn)K2(xK2,yK2)為極徑與K1相等的剛輪齒廓上的對應(yīng)點(diǎn)。

1.3 基于實(shí)體有限元模型的側(cè)隙驗(yàn)證

由于空載側(cè)隙是嚙合力計(jì)算的基礎(chǔ),為此本文建立含真實(shí)漸開線齒廓信息的柔輪和剛輪有限元模型,對裝配狀態(tài)的柔輪變形和側(cè)隙結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。某電子傳動(dòng)設(shè)備的額定扭矩為7 N·m,其諧波齒輪的齒廓參數(shù)和結(jié)構(gòu)參數(shù)如下:模數(shù)m=0.2,壓力角α0=20°,柔輪最大徑向變形量u0=0.2 mm,柔輪齒數(shù)z1=140,剛輪齒數(shù)z2=142;柔輪齒根圓半徑rf=14.156 mm,齒頂圓半徑ra=14.584 mm;柔輪變位系數(shù)x1=2.13,剛輪變位系數(shù)x2=1.925;齒圈壁厚δ1=0.3 mm;柔輪筒內(nèi)半徑ri=13.856 mm,筒長l=30 mm,筒體壁厚δ2=0.273 mm;柔輪齒圈的寬度b=4 mm,柔輪中性層曲線半徑rm=14.006 mm,柔輪杯底固定孔內(nèi)徑drim=14.156 mm;圓盤軸線的偏心距e=0.6 mm。

柔輪、剛輪齒廓選用SOLID45單元。利用二分法求解漸開線齒廓從齒頂?shù)烬X根6個(gè)均布的齒廓參數(shù)s,基于齒廓方程(5)得到6個(gè)不同的關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo),再用樣條函數(shù)曲線連接生成柔輪、剛輪齒廓。柔輪筒體和雙圓盤波發(fā)生器外表面選用SHELL63單元。雙圓盤波發(fā)生器用2個(gè)對稱的圓面來表示,定義波發(fā)生器外表面與柔輪內(nèi)壁的接觸為剛體與柔體的面-面接觸單元。以波發(fā)生器的上半圓為目標(biāo)面,定義Targe169目標(biāo)單元;以柔輪的內(nèi)壁為柔性接觸面,定義Conta172接觸單元。固定約束柔輪杯底圓孔和波發(fā)生器表面,求解裝配狀態(tài)下的柔輪變形。圖3所示為諧波齒輪傳動(dòng)的有限元裝配模型。

圖3 諧波齒輪傳動(dòng)的有限元裝配模型

圖4為圖3中柔輪齒與剛輪齒嚙合的局部放大圖,圖中的數(shù)值為柔輪齒廓和剛輪齒廓的節(jié)點(diǎn)編號。

圖4 柔輪齒與剛輪齒嚙合的局部放大圖

柔輪齒廓在柔輪變形后發(fā)生位置和形狀的改變,因此,柔輪齒廓變形后的位置根據(jù)齒廓上節(jié)點(diǎn)變形后的位置得到。這樣,柔輪齒廓和剛輪齒廓間的最小周向距離簡化為變形后柔輪齒廓上的節(jié)點(diǎn)到剛輪齒廓的周向最小距離問題。

圖5所示為空載側(cè)隙的本文算法理論解和有限元分析結(jié)果,圖中橫坐標(biāo)是嚙合齒位置的極角,φ=0°表示長軸,順時(shí)針為正。圖5顯示,2種算法的空載側(cè)隙在φ<25°區(qū)域內(nèi)基本一致,其他位置的理論解略大于有限元結(jié)果。

圖5 本文算法與有限元模型計(jì)算的空載側(cè)隙

1.4 側(cè)隙偏差的影響因素分析

柔輪輪齒的剛度遠(yuǎn)大于齒圈的剛度,故通常認(rèn)為柔輪在波發(fā)生器的作用下只是輪齒對稱線與中性層曲線交點(diǎn)的位置產(chǎn)生徑向位移u(φ)、周向位移v(φ)和相對于徑矢的轉(zhuǎn)角θuz(φ),輪齒本身不變形[19]。圖6所示為雙圓盤波發(fā)生器作用下柔輪齒圈中性層變形位移的本文算法理論解與有限元解的比較,圖中橫坐標(biāo)0°對應(yīng)長軸位置,順時(shí)針為正。為方便比較,將本文算法式(2)、式(3)和式(4)中的徑向位移、周向位移和法線轉(zhuǎn)角進(jìn)行歸一化:Cu=u/u0;Cv=2v/u0;Cθuz=θuzrm/(2u0)。

圖6 柔輪中性層位移的理論解與有限元解

圖6顯示,在0°<φ<55°區(qū)間上,徑向位移的理論解與有限元結(jié)果在嚙合區(qū)間上基本一致;短軸處理論解略偏大,但不在嚙合區(qū)間,不會(huì)影響側(cè)隙;周向位移的理論解和有限元模型結(jié)果在長、短軸處完全一致,在其余位置小于有限元結(jié)果;法線轉(zhuǎn)角的理論解在φ<45°處偏小,其余位置偏大。

理論解的周向位移和法線轉(zhuǎn)角偏小都會(huì)引起側(cè)隙偏大。由于齒高很小,法線轉(zhuǎn)角偏差對側(cè)隙影響不大,故柔輪中性層的周向位移偏差是空載側(cè)隙偏差的主要來源。

2 嚙合剛度矩陣及其性質(zhì)

柔輪嚙合剛度系數(shù)是引起柔輪嚙合點(diǎn)單位周向位移所需的嚙合力。柔輪周向位移由輪齒變形和柔輪筒體變形2部分組成,而輪齒變形又包括齒間接觸變形、輪齒彎曲變形和柔輪齒圈變形。諧波齒輪柔輪受載后,柔輪筒體本身還會(huì)產(chǎn)生一定程度的畸變,因此理論推導(dǎo)嚙合剛度非常復(fù)雜。本文通過三維實(shí)體單元的柔輪有限元模型進(jìn)行嚙合剛度矩陣的計(jì)算。

2.1 模型建立及裝配變形求解

諧波齒輪傳動(dòng)中柔輪的變形是由波發(fā)生器和嚙合力共同作用的結(jié)果,因此求解裝配狀態(tài)下的柔輪變形是求解負(fù)載狀態(tài)的柔輪變形的基礎(chǔ)?；?.3節(jié)建立的實(shí)體有限元模型,在模型求解過程中保證波發(fā)生器長軸位置的徑向變形量等于u0,從而獲得裝配狀態(tài)下的周向位移。

2.2 單位嚙合力引起的位移

在變形后的柔輪有限元模型上,沿柔輪齒嚙合點(diǎn)切線方向逐一施加周向力(該周向力的幅值取額定扭矩下平均嚙合力的3～5倍),提取所有嚙合點(diǎn)處的周向位移,將其除以周向力幅值得到折算位移,即為折算單位力的柔度矩陣系數(shù)。圖7所示為各嚙合點(diǎn)的折算位移。

圖7 嚙合點(diǎn)的折算位移

圖7中:橫坐標(biāo)為柔輪輪齒嚙合點(diǎn)位置的極角,φ=0°為長軸;縱坐標(biāo)為所有嚙合點(diǎn)的周向位移。根據(jù)空載側(cè)隙對應(yīng)的極角范圍,選取從長軸左側(cè)φ=-21°至右側(cè)φ=51°可能與剛輪嚙合的柔輪輪齒范圍。圖7中的尖點(diǎn)表示在某個(gè)輪齒上施加單位嚙合力時(shí),該嚙合點(diǎn)的周向位移。被施加嚙合力的齒上的位移最大,其余齒的位移較小,距離施加嚙合力的齒位置越遠(yuǎn)的齒,位移就越小。這是由于施加嚙合力的齒上的嚙合點(diǎn)位移由齒體變形和柔輪筒體變形組成,而其余齒的嚙合點(diǎn)位移主要是由筒體變形引起。柔輪不同位置齒上的嚙合點(diǎn)受單位嚙合力時(shí),產(chǎn)生的嚙合點(diǎn)周向位移分布不同,表明不同位置齒的嚙合剛度不同。

2.3 嚙合剛度矩陣

根據(jù)第i個(gè)單位嚙合力引起的第j個(gè)柔輪齒上嚙合點(diǎn)的周向位移dij(j=1,2,…,n),循環(huán)i=1,…,n次得嚙合柔度矩陣

(7)

D中各行元素分別表示在不同齒上施加嚙合力時(shí)所引起的所有嚙合點(diǎn)的周向位移,n為嚙合點(diǎn)的數(shù)量。通過對柔度矩陣D求逆,可得嚙合剛度矩陣

(8)

3 負(fù)載側(cè)隙和嚙合力迭代算法

3.1 嚙合力迭代算法

在整個(gè)嚙合過程中,波發(fā)生器和柔輪杯底固定,通過給剛輪施加逐漸增大的周向轉(zhuǎn)動(dòng),來模擬諧波齒輪的負(fù)載傳動(dòng)狀態(tài)?；诳蛰d側(cè)隙,求解負(fù)載工況下諧波齒輪的負(fù)載側(cè)隙和嚙合力分布。

首先定義嚙合力數(shù)組{F}和柔輪嚙合點(diǎn)位移數(shù)組yg0i00i,建立平衡方程

{F}=Kqsccasy

(9)

當(dāng)剛輪嚙合點(diǎn)的周向位移大于該齒對的空載側(cè)隙與柔輪嚙合點(diǎn)的周向位移之和時(shí),柔輪與剛輪嚙合,反之處于未嚙合狀態(tài)。對于已嚙合齒,柔輪嚙合點(diǎn)的位移di等于剛輪嚙合點(diǎn)的周向位移減去該齒對的空載側(cè)隙,且該嚙合點(diǎn)出現(xiàn)未知嚙合力Fi。對于未嚙合的齒,嚙合力Fi為0,位移di未知。將以上數(shù)組元素代入式(9),利用迭代算法求解各嚙合點(diǎn)的位移{di}與嚙合力{Fi},迭代算法的流程如圖8所示。具體步驟如下:

(1)設(shè)定初始數(shù)據(jù),嚙合齒數(shù)m=0,嚙合齒的編號i=0,嚙合齒編號數(shù)組N的所有元素置為0,剛輪轉(zhuǎn)動(dòng)的周向位移初始步長b=0.1 mm,最小迭代步長e=10-5mm;初始狀態(tài)下全部齒未嚙合,嚙合力數(shù)組{Fi}為零;

(2)循環(huán)遞增嚙合齒數(shù);

(3)循環(huán)遞增剛輪轉(zhuǎn)動(dòng)的周向位移;

(4)求解平衡方程(9),得柔輪各嚙合點(diǎn)的周向位移。

逐一判斷剛輪上各嚙合點(diǎn)的周向位移θm是否小于第i個(gè)柔輪嚙合點(diǎn)的周向位移di與該齒對間的空載側(cè)隙ci之和:若是,返回第(3)步循環(huán);否則,判斷步長b是否大于e,若是則令b=b/2返回第(3)步,否則表明第i個(gè)齒已嚙合,保存該嚙合齒編號。最后,判斷負(fù)載扭矩是否小于額定扭矩:若是,返回第(2)步;否則,保存柔輪嚙合點(diǎn)位移、負(fù)載側(cè)隙和嚙合力,迭代結(jié)束。

圖8 迭代算法的流程圖

由以上迭代算法可知,嚙合齒數(shù)從0按步長1遞增,直到負(fù)載扭矩達(dá)到額定扭矩。在此過程中,已嚙合齒數(shù)不斷增加,柔輪各嚙合點(diǎn)的周向位移和嚙合力在逐漸增大的剛輪嚙合點(diǎn)周向位移作用下不斷增大。

3.2 負(fù)載側(cè)隙

不同負(fù)載下柔輪嚙合點(diǎn)的周向位移和相對應(yīng)的剛輪嚙合點(diǎn)的周向位移不同,故負(fù)載工況下的側(cè)隙是隨負(fù)載大小變化的,本文定義其為負(fù)載側(cè)隙。圖9所示為本文算法計(jì)算的不同負(fù)載工況下的負(fù)載側(cè)隙,圖中:橫坐標(biāo)是柔輪嚙合齒的位置極角,長軸處為0,順時(shí)針為正;圖例為施加在剛輪上的周向轉(zhuǎn)角θ和剛輪上對應(yīng)的負(fù)載扭矩T。

圖9 本文算法計(jì)算的負(fù)載側(cè)隙

由圖9可知:長軸右側(cè)φ=5°附近的空載側(cè)隙最小,且首先降到0,表明此處的齒首先進(jìn)入嚙合;隨著負(fù)載的增大,左右兩側(cè)齒的負(fù)載側(cè)隙依次降為0,相繼進(jìn)入嚙合;在φ=51°處齒的負(fù)載側(cè)隙下降更快,當(dāng)剛輪的周向轉(zhuǎn)角達(dá)到3.38×10-3rad(相應(yīng)的負(fù)載扭矩為12.44 N·m)時(shí),負(fù)載側(cè)隙降至5.34 μm。如果繼續(xù)加大負(fù)載,該齒的負(fù)載側(cè)隙會(huì)降為0,將發(fā)生齒廓干涉。

3.3 嚙合力分布

圖10 本文算法計(jì)算的嚙合力分布

圖10給出了與圖9相同負(fù)載下的嚙合力分布,從中可以看出:在負(fù)載扭矩較小時(shí),側(cè)隙最小的齒(本算例約在φ=5°處)最先進(jìn)入嚙合,嚙合力分布曲線在φ=5°處左右基本對稱,最大嚙合力為8 N;隨負(fù)載增大,左右兩側(cè)的齒依次進(jìn)入嚙合,參與嚙合的齒對數(shù)量增多,最大嚙合力出現(xiàn)的位置逐漸向長軸左側(cè)偏移;在剛輪的周向轉(zhuǎn)角達(dá)到3.38×10-3rad(負(fù)載扭矩為12.44 N·m)時(shí),最大嚙合力幅值達(dá)到51 N。

4 嚙合力的仿真驗(yàn)證

本文提出的嚙合力和負(fù)載側(cè)隙理論迭代算法所采用的線性嚙合剛度矩陣,沒有考慮嚙合剛度隨嚙合力增大的非線性影響,特別是沒有考慮不同嚙合力作用于雙圓盤波發(fā)生器使包角范圍改變所引起的嚙合剛度的非線性變化。為驗(yàn)證本文算法的有效性和適用范圍,建立實(shí)體單元的有限元模型,利用有限元非線性接觸分析方法,直接定義柔輪齒廓與剛輪齒廓間的接觸關(guān)系,數(shù)值求解更貼近實(shí)際的嚙合力和負(fù)載側(cè)隙。

4.1 齒廓接觸定義與接觸分析

在有限元模型上的各嚙合點(diǎn)的切線方向,定義三維點(diǎn)-點(diǎn)接觸單元,可提高嚙合齒面的接觸計(jì)算效率。由柔輪嚙合齒面上最小側(cè)隙出現(xiàn)位置的分析可知,柔輪齒頂通常是最小側(cè)隙點(diǎn),因此首先定義柔輪齒頂點(diǎn)為接觸單元端點(diǎn)。假定剛輪在傳動(dòng)過程中未變形,沿柔輪變形后齒頂矢徑的切線方向,按照一定長度定義接觸單元的另一端節(jié)點(diǎn)作為虛擬剛輪點(diǎn)。選用點(diǎn)-點(diǎn)接觸單元CONTA178模擬嚙合齒廓間的接觸關(guān)系。選用增強(qiáng)拉格朗日接觸算法,穿透容差小于10-5mm。每個(gè)接觸單元的側(cè)隙(GAP)設(shè)定為空載側(cè)隙。

首先進(jìn)行波發(fā)生器作用下的空載變形狀態(tài)求解,隨后移動(dòng)虛擬剛輪點(diǎn)到達(dá)空載嚙合狀態(tài)。按照本文算法實(shí)例的剛輪傳動(dòng)位移,沿周向逐步移動(dòng)虛擬剛輪點(diǎn),施加與實(shí)例相同的剛輪嚙合點(diǎn)周向位移,依次求解虛擬剛輪在不同傳動(dòng)狀態(tài)時(shí)柔輪的變形和接觸單元狀態(tài)。

求解結(jié)束后,依次提取每個(gè)載荷步下接觸單元的狀態(tài)參數(shù)——接觸力(PRES)和GAP,可獲得接觸面之間的法向接觸力和負(fù)載側(cè)隙。根據(jù)每個(gè)接觸單元的狀態(tài)參數(shù),判斷齒間嚙合狀態(tài):對已嚙合齒,PRES>0,GAP=0;對于未嚙合齒,PRES=0,GAP<0。

4.2 有限元模型的負(fù)載側(cè)隙和嚙合力

圖11是由有限元模型得出的負(fù)載側(cè)隙曲線,實(shí)線為空載側(cè)隙,其余曲線為不同負(fù)載下的負(fù)載側(cè)隙。由于有限元模型的嚙合剛度是非線性的,所以圖11中的負(fù)載扭矩值與圖9、圖10中的略有不同。由圖11可知:在長軸右側(cè)φ=5°附近,負(fù)載側(cè)隙首先降到0;隨負(fù)載的增大,左右兩側(cè)的齒的負(fù)載側(cè)隙依次降至0,表明這些齒已進(jìn)入嚙合,但長軸左側(cè)的齒的負(fù)載側(cè)隙下降更快;在剛輪轉(zhuǎn)角為3.38×10-3rad(負(fù)載扭矩為11.19 N·m)時(shí),左側(cè)φ=-13°處齒的負(fù)載側(cè)隙為0,表明該齒進(jìn)入嚙合,此時(shí)最右側(cè)φ=51°處齒的負(fù)載側(cè)隙為4.96 μm。

圖11 用有限元模型求得的負(fù)載側(cè)隙曲線

圖12為由有限元模型求得的嚙合力分布曲線,可以看出:當(dāng)負(fù)載扭矩較小時(shí),在空載側(cè)隙最小的位置φ=5°處,齒出現(xiàn)了嚙合力,在-5°≤φ≤15°區(qū)間上關(guān)于φ=5°基本對稱分布,最大嚙合力為9.6 N;隨負(fù)載增大,左右兩側(cè)參與嚙合的齒逐漸增多,最大嚙合力的位置向左明顯偏移,在剛輪轉(zhuǎn)角為3.382×10-3rad(負(fù)載扭矩為11.19 N·m)時(shí),最大嚙合力位置向左偏移了8°,最大嚙合力幅值達(dá)到43 N。

圖12 由有限元模型求得的嚙合力分布

5 本文算法和有限元分析的比較

5.1 負(fù)載側(cè)隙比較

對比圖9和圖11發(fā)現(xiàn):負(fù)載側(cè)隙的本文算法理論解和有限元解吻合得很好;在長軸右側(cè)φ=5°附近空載側(cè)隙最小處,負(fù)載側(cè)隙首先降為0,表明該齒首先進(jìn)入嚙合;隨著剛輪轉(zhuǎn)角的增大,左右兩側(cè)的齒的負(fù)載側(cè)隙逐漸降為0,表明該部位的齒相繼進(jìn)入嚙合;在剛輪轉(zhuǎn)角為3.38×10-3rad時(shí),理論解和有限元解的嚙合區(qū)間都為-13°≤φ≤18°;在φ=-21°和φ=51°處有限元解的負(fù)載側(cè)隙都小于理論解的負(fù)載側(cè)隙,側(cè)隙差值分別為1.04 μm和0.38 μm,表明有限元解的負(fù)載側(cè)隙比理論解下降得快,在長軸左側(cè)下降得更快,但差異不大。

5.2 嚙合力分布對比

對比圖10和圖12發(fā)現(xiàn):在剛輪轉(zhuǎn)角不大時(shí),嚙合力的本文算法理論解和有限元解關(guān)于φ=5°左右對稱分布,區(qū)間相同,但理論解的嚙合力小于有限元結(jié)果,表明小負(fù)載時(shí)相比于有限元解,理論解的剛度偏小;隨著剛輪轉(zhuǎn)角的增大,2種方法的最大嚙合力位置均向長軸左側(cè)偏移了8°,嚙合力分布區(qū)間相同,但有限元解的嚙合力幅值低于理論解;至最大剛輪轉(zhuǎn)角時(shí),理論解的最大嚙合力比有限元解的大17%左右,表明大負(fù)載時(shí)理論解的剛度略大于有限元解。

5.3 單齒嚙合力分析

為定量分析本文算法理論解的嚙合力與有限元解的差異,給出了2種算法得出的最先進(jìn)入嚙合的2對齒(分別為波發(fā)生器長軸右側(cè)的第3號齒和第4號齒)上嚙合力隨剛輪轉(zhuǎn)角的變化曲線,如圖13所示。

圖13 本文算法與有限元分析得出的單齒嚙合力曲線

由圖13可以看出:在剛輪轉(zhuǎn)角小于1.5×10-3rad的低負(fù)載工況下,2個(gè)嚙合點(diǎn)上理論解與有限元解的嚙合力吻合良好,但隨剛輪轉(zhuǎn)角的增大,單齒嚙合力的理論解大于有限元解。這是由于隨著負(fù)載的增加,有限元模型的嚙合剛度呈非線性變化并略有下降所致。

5.4 扭轉(zhuǎn)剛度對比

圖14所示為理論解與有限元解的負(fù)載扭矩-剛輪轉(zhuǎn)角曲線。轉(zhuǎn)角0.45×10-3rad為剛輪的空程轉(zhuǎn)角,此時(shí)輪齒剛進(jìn)入空載的嚙合狀態(tài)。去除剛輪轉(zhuǎn)過的空程,曲線的斜率為扭轉(zhuǎn)剛度。

從圖14可以看出:理論解的扭轉(zhuǎn)剛度為常數(shù);在剛輪轉(zhuǎn)角小于1.5×10-3rad的低負(fù)載工況下,負(fù)載扭矩與剛輪轉(zhuǎn)角呈現(xiàn)線性關(guān)系,有限元解與理論解吻合良好;隨剛輪轉(zhuǎn)角的增大,有限元解的扭轉(zhuǎn)剛度呈現(xiàn)非線性,理論解的扭轉(zhuǎn)剛度大于有限元解,但2種方法的負(fù)載扭矩偏差不大,在剛輪最大轉(zhuǎn)角時(shí)的扭矩偏差約為11.21%。

通過查閱Harmonic Drive組件型產(chǎn)品綜合目錄得知,本文算例的額定扭矩在7 N·m左右。由圖14可知,對于12 N·m以下的負(fù)載扭矩,本文算法給出的扭轉(zhuǎn)剛度與有限元分析的結(jié)果基本吻合。

圖14 本文算法與有限元分析得出的負(fù)載扭矩-剛輪轉(zhuǎn)角曲線

6 結(jié) 論

(1)在低負(fù)載工況下,單個(gè)齒上的嚙合力與剛輪轉(zhuǎn)角呈現(xiàn)線性關(guān)系;隨負(fù)載的增大,單個(gè)齒上的嚙合力與剛輪轉(zhuǎn)角呈現(xiàn)非線性關(guān)系。

(2)嚙合力分布關(guān)于最小側(cè)隙位置左右基本對稱;當(dāng)負(fù)載較大時(shí),輪齒的嚙合剛度非線性變化顯著,最大嚙合力位置向左側(cè)明顯偏移。本文理論算法得到的輪齒嚙合剛度偏大,故其嚙合力幅值總體高于有限元模型的。

(3)在額定扭矩下,本文算法給出的扭轉(zhuǎn)剛度與有限元分析給出的非線性結(jié)果基本吻合。