胡杰鑫, 謝里陽, 尹偉, 白恩軍, 呂驍

(1.東北大學(xué)航空動力裝備振動及控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 110819, 沈陽; 2.北京強(qiáng)度環(huán)境研究所, 100076, 北京; 3.上海微創(chuàng)醫(yī)療器械(集團(tuán))有限公司, 200120, 上海)

經(jīng)典的應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型雖然已經(jīng)普遍地應(yīng)用于零部件(或是只包含單疲勞細(xì)節(jié)的結(jié)構(gòu)部件)的疲勞可靠性評估[1-4],但卻存在一些問題,例如:疲勞載荷難以統(tǒng)計,指定壽命下的疲勞強(qiáng)度概率密度分布難以確定,只能評估載荷一次作用下的靜強(qiáng)度可靠性。為了獲得某一壽命所對應(yīng)的疲勞強(qiáng)度分布,許多學(xué)者提出了利用指定應(yīng)力水平下的壽命分布來推導(dǎo)指定壽命條件下疲勞強(qiáng)度分布的方法[5-6],然而這些研究結(jié)果均是在恒幅循環(huán)載荷條件下獲得的,對于變幅載荷情況下的疲勞可靠度預(yù)測問題則具有一定的局限性。另外,也有一些學(xué)者試圖從材料在不同載荷作用下的損傷演化規(guī)律中得到靜強(qiáng)度退化方程[7-10],進(jìn)而得到零件在不同壽命下的剩余靜強(qiáng)度,但剩余靜強(qiáng)度的分散性卻往往被假設(shè)成線性的。

近年來,謝里陽、王正從統(tǒng)計平均角度重新解釋了應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型,打破了傳統(tǒng)可靠性模型中2個變量必須是同量綱的限制,提出了能夠直接應(yīng)用應(yīng)力分布和壽命分布進(jìn)行疲勞可靠度計算的異量綱干涉模型[11],相較于推導(dǎo)疲勞強(qiáng)度分布所面臨的數(shù)學(xué)困難,疲勞壽命分布更容易從試驗(yàn)中獲得,因此這種方法大大降低了疲勞可靠性分析的難度,簡化了分析步驟。

對于多部位損傷結(jié)構(gòu)的失效問題,國內(nèi)外學(xué)者已進(jìn)行了廣泛的研究。機(jī)身鉚釘搭接結(jié)構(gòu)的多鉚釘孔是典型的多部位損傷結(jié)構(gòu),目前的研究也主要是針對這種結(jié)構(gòu)。許多研究表明:多鉚釘孔的損傷能夠使機(jī)身結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度降低20%～40%,甚至可以達(dá)到60%,且應(yīng)力強(qiáng)度因子呈現(xiàn)出快速增長趨勢[12-14]。Shi等研究了鉚釘搭接結(jié)構(gòu)在腐蝕環(huán)境下的多部位損傷疲勞可靠性問題,在認(rèn)為一個疲勞細(xì)節(jié)失效就會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)系統(tǒng)失效的前提下,應(yīng)用一次二階矩法計算了結(jié)構(gòu)可靠度[15]。王衛(wèi)國等基于多疲勞細(xì)節(jié)之間失效相互獨(dú)立的假設(shè),研究了壓氣機(jī)輪盤可靠度的計算方法[16]。值得注意的是,以上研究均未考慮各疲勞細(xì)節(jié)之間的失效相關(guān)問題。實(shí)際上,含有多個疲勞細(xì)節(jié)的結(jié)構(gòu)件可以看作是由多個只含有單一疲勞細(xì)節(jié)的單元構(gòu)成的系統(tǒng),因此,復(fù)雜結(jié)構(gòu)件的可靠性問題可以轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)可靠性問題。失效相關(guān)性普遍存在于機(jī)械系統(tǒng)中,相關(guān)程度取決于載荷不確定性和各單元強(qiáng)度不確定性的相對大小,其中載荷不確定性是導(dǎo)致失效相關(guān)的根本原因[17]。

目前,對于失效相關(guān)問題的研究國內(nèi)學(xué)者已取得了一些成果,例如:錢文學(xué)在沒有假設(shè)各薄弱部位失效相互獨(dú)立的前提下,直接從系統(tǒng)層建立了隨機(jī)恒幅載荷作用下含有多個相同結(jié)構(gòu)尺寸的薄弱部位結(jié)構(gòu)的可靠性模型,并分析了安全裕量和載荷粗糙度對可靠度的影響,認(rèn)為高的安全裕量可以提高多薄弱部位結(jié)構(gòu)的可靠度,且在安全裕量一定時,高的載荷粗糙度可以降低多薄弱部位結(jié)構(gòu)可靠度對薄弱部位數(shù)目的敏感性[18-19];Xie等研究了多個壓氣機(jī)葉片組成的串聯(lián)系統(tǒng)的可靠性問題,并分析了失效獨(dú)立與失效相關(guān)之間的差異,認(rèn)為假設(shè)各零部件之間失效獨(dú)立會低估串聯(lián)系統(tǒng)的可靠度,得到較為保守的結(jié)果[20]。

綜上所述,對于含有多個疲勞細(xì)節(jié)的結(jié)構(gòu)的可靠性研究還僅局限于一些簡單的情況:載荷簡單,均為確定性載荷或隨機(jī)恒幅載荷;結(jié)構(gòu)簡單,如含有多鉚釘孔的機(jī)身結(jié)構(gòu)、航空發(fā)動機(jī)輪盤結(jié)構(gòu)等;各疲勞細(xì)節(jié)的材料性能獨(dú)立同分布,幾何尺寸也都相似,在同一載荷作用下各疲勞細(xì)節(jié)的應(yīng)力都一樣。然而,對于列車枕梁這類復(fù)雜結(jié)構(gòu),以上的所有情況都不滿足,因?yàn)榱熊囋谶\(yùn)行過程中承受隨機(jī)變幅載荷;枕梁上的疲勞細(xì)節(jié)涵蓋了母材和焊縫,不同疲勞細(xì)節(jié)的材料性能分布也不相同;各疲勞細(xì)節(jié)的幾何尺寸不一樣,即使在同一載荷作用下各疲勞細(xì)節(jié)的應(yīng)力也有顯著差異。如何處理好這些問題,將成為對枕梁這類復(fù)雜結(jié)構(gòu)部件進(jìn)行可靠性分析的關(guān)鍵。

本文基于疲勞可靠度異量綱干涉模型,結(jié)合系統(tǒng)可靠性理論,在不做失效相互獨(dú)立假設(shè)的前提下建立了含有多個疲勞細(xì)節(jié)結(jié)構(gòu)的可靠性模型,并將理論模型與蒙特卡羅仿真相結(jié)合,提出了一種評估隨機(jī)變幅載荷作用下復(fù)雜結(jié)構(gòu)可靠性評估的新方法,并以列車枕梁為研究對象,對其進(jìn)行了疲勞可靠性評估。

1 應(yīng)力-壽命干涉分析及系統(tǒng)疲勞可靠性模型

在應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型中,應(yīng)力和強(qiáng)度這2個隨機(jī)變量同量綱,應(yīng)用這個模型來計算疲勞可靠度需要已知指定壽命下的疲勞強(qiáng)度分布,但由于數(shù)學(xué)推導(dǎo)困難,準(zhǔn)確的疲勞強(qiáng)度分布很難得到。

謝里陽、王正通過對應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型進(jìn)行統(tǒng)計平均解釋,得到了可以直接利用疲勞試驗(yàn)所獲得的壽命分布來計算疲勞可靠度的應(yīng)力-壽命干涉模型,表達(dá)式[11]為

(1)

式中:N是具體壽命;n是壽命變量;f(s)是應(yīng)力概率密度函數(shù);s是標(biāo)識應(yīng)力;g(n|s)是在應(yīng)力歷程s下的壽命概率密度函數(shù)。

式(1)只適用于含有1個疲勞細(xì)節(jié)(或者1個零件)的可靠度計算。由多個疲勞細(xì)節(jié)構(gòu)成的復(fù)雜結(jié)構(gòu)件可以看作是由多個單元組成的系統(tǒng),因此復(fù)雜結(jié)構(gòu)件的可靠性可以采用系統(tǒng)可靠性方法進(jìn)行處理。但是,由于各疲勞細(xì)節(jié)在不確定載荷作用下存在著失效相關(guān)性[17],故不能用假設(shè)各部位失效相互獨(dú)立的傳統(tǒng)可靠性模型來計算系統(tǒng)可靠度。

假設(shè)指定的應(yīng)力歷程為s,則單個疲勞細(xì)節(jié)的可靠度可以表示為

(2)

假設(shè)系統(tǒng)是由多個疲勞細(xì)節(jié)組成的k/m系統(tǒng)(表決型系統(tǒng),m為系統(tǒng)中的單元總數(shù)),即系統(tǒng)中有m-k個以上單元失效時系統(tǒng)才失效,同時假設(shè)各疲勞細(xì)節(jié)的壽命獨(dú)立同分布。根據(jù)系統(tǒng)可靠性理論,在確定載荷的作用下,各疲勞細(xì)節(jié)的失效相互獨(dú)立[20],則在指定的應(yīng)力歷程s的作用下,系統(tǒng)的條件可靠度可以表示為

(3)

當(dāng)k=m時,得到串聯(lián)系統(tǒng)可靠性模型

(4)

此模型適用于不允許任何疲勞細(xì)節(jié)失效的系統(tǒng)。

當(dāng)k=1時,得到并聯(lián)系統(tǒng)可靠性模型

(5)

此模型適用于不允許全部疲勞細(xì)節(jié)都失效的系統(tǒng)。

在隨機(jī)載荷作用下,各類系統(tǒng)可靠度的表達(dá)式分別為

(6)

(7)

(8)

當(dāng)各疲勞細(xì)節(jié)的壽命分布不同時,假設(shè)在指定的應(yīng)力歷程s下,各疲勞細(xì)節(jié)的壽命概率密度函數(shù)分別為g1(n|s),g2(n|s),…,gm(n|s),則系統(tǒng)的可靠度(以串聯(lián)系統(tǒng)為例)可以表示為

(9)

若各疲勞細(xì)節(jié)所受的應(yīng)力也不相同,設(shè)第i個疲勞細(xì)節(jié)的應(yīng)力服從正態(tài)分布,即si～N(μi,σi2),可以通過式(10)獲得其與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布s0～N(0,1)之間的關(guān)系

(10)

將式(10)代入式(9),得到串聯(lián)系統(tǒng)的可靠度為

(11)

若采用傳統(tǒng)的串聯(lián)系統(tǒng)可靠性模型,即各個疲勞細(xì)節(jié)的失效相互獨(dú)立,則串聯(lián)系統(tǒng)可靠度的表達(dá)式為

(12)

對比式(11)和式(12)可以發(fā)現(xiàn),雖然只是簡單地改變了計算順序,但式(11)是從系統(tǒng)層級上直接應(yīng)用應(yīng)力-壽命干涉模型建立的,它不僅考慮了由于載荷的不確定性而導(dǎo)致的疲勞細(xì)節(jié)失效的統(tǒng)計相關(guān)性,而且避免了由于假設(shè)疲勞細(xì)節(jié)失效獨(dú)立而導(dǎo)致低估串聯(lián)系統(tǒng)可靠度的問題[20]。

2 隨機(jī)載荷歷程下復(fù)雜結(jié)構(gòu)件的疲勞可靠度計算方法

復(fù)雜結(jié)構(gòu)件在實(shí)際使用中往往承受隨機(jī)變幅載荷作用,因此有必要討論在這種載荷環(huán)境下復(fù)雜結(jié)構(gòu)件疲勞可靠度的計算方法與步驟。

首先考慮復(fù)雜結(jié)構(gòu)件中單個疲勞細(xì)節(jié)在隨機(jī)變幅載荷歷程下的疲勞可靠性問題,然后再推廣到多個疲勞細(xì)節(jié)構(gòu)成的系統(tǒng)疲勞可靠性問題。單個疲勞細(xì)節(jié)的疲勞可靠度計算步驟如下:

(1)選取一個確定的載荷歷程,通過力學(xué)計算轉(zhuǎn)化為疲勞細(xì)節(jié)的應(yīng)力歷程;

(2)利用雨流計數(shù)法獲得疲勞細(xì)節(jié)應(yīng)力歷程中各循環(huán)的應(yīng)力均值與幅值以及循環(huán)次數(shù);

(3)利用平均應(yīng)力修正公式,將疲勞細(xì)節(jié)應(yīng)力循環(huán)中的非對稱循環(huán)轉(zhuǎn)化為對稱循環(huán)(對于估算疲勞壽命問題,應(yīng)用Goodman平均應(yīng)力修正公式得到的結(jié)果較保守);

(4)采用蒙特卡羅方法[21],從材料的p(存活率)-s-N曲線簇中抽取l條s-N曲線(根據(jù)超高周疲勞研究的結(jié)論,材料在低于傳統(tǒng)疲勞極限的循環(huán)應(yīng)力下運(yùn)行多于1 000萬次以上時仍會發(fā)生疲勞,因此,本文假設(shè)疲勞細(xì)節(jié)的材料不存在傳統(tǒng)意義上的疲勞極限,這樣的計算結(jié)果較為保守且能滿足使用安全的要求),結(jié)合步驟(3)獲得的疲勞細(xì)節(jié)應(yīng)力歷程,對每條s-N曲線應(yīng)用累計損傷法則(本文采用Miner線性累計損傷法則[22])獲得疲勞細(xì)節(jié)的壽命值,最后得到l個壽命樣本;

(5)根據(jù)材料的中值s-N曲線,應(yīng)用Miner線性累計損傷法則將步驟(3)獲得的疲勞細(xì)節(jié)應(yīng)力歷程轉(zhuǎn)化為恒幅循環(huán)應(yīng)力,并將此恒幅循環(huán)應(yīng)力的幅值作為該載荷歷程的標(biāo)識應(yīng)力,這樣獲得的標(biāo)識應(yīng)力可以避免評估結(jié)果出現(xiàn)保守或危險的情況;

(6)通過擬合步驟(4)獲得的l個壽命樣本,得到在步驟(5)獲得的標(biāo)識應(yīng)力下的壽命分布;

(7)多次重復(fù)步驟(1)～(6),得到不同載荷歷程下的標(biāo)識應(yīng)力和相應(yīng)的壽命分布;

(8)尋找壽命分布參數(shù)與標(biāo)識應(yīng)力之間的關(guān)系,將各壽命分布參數(shù)用標(biāo)識應(yīng)力表達(dá),得到只包含應(yīng)力參數(shù)的壽命分布函數(shù);

(9)擬合不同載荷歷程下的標(biāo)識應(yīng)力,得到標(biāo)識應(yīng)力分布函數(shù);

(10)通過式(1)計算出任意指定壽命下單個疲勞細(xì)節(jié)的疲勞可靠度。

對于多個疲勞細(xì)節(jié)構(gòu)成的系統(tǒng),模仿步驟(1)～(9)得到各個疲勞細(xì)節(jié)的壽命分布函數(shù)與應(yīng)力分布函數(shù),然后應(yīng)用式(11)計算出多個疲勞細(xì)節(jié)構(gòu)成的串聯(lián)系統(tǒng)疲勞可靠度。

3 枕梁的疲勞可靠度計算

枕梁(長2.4 m,寬3.35 m,高0.44 m)是一個幾何形狀復(fù)雜且包含多個疲勞細(xì)節(jié)的復(fù)雜結(jié)構(gòu)件,主要承受空氣彈簧載荷、抗蛇行載荷和中心銷載荷,如圖1所示。

圖1 列車枕梁承載示意圖

根據(jù)有限元計算結(jié)果,在枕梁左側(cè)選取3個疲勞細(xì)節(jié)(如圖2所示,疲勞細(xì)節(jié)1和疲勞細(xì)節(jié)2位于角接焊縫上,疲勞細(xì)節(jié)3位于母材上)。由于枕梁結(jié)構(gòu)及其所受載荷均左右對稱,在枕梁右側(cè)也存在3個疲勞細(xì)節(jié)與左側(cè)的疲勞細(xì)節(jié)相對應(yīng),且兩邊對應(yīng)位置的應(yīng)力歷程和壽命分布相同,因此共需考慮枕梁上的6個疲勞細(xì)節(jié)。

圖2 列車枕梁左側(cè)疲勞細(xì)節(jié)

將列車枕梁看作是由這6個疲勞細(xì)節(jié)組成的串聯(lián)系統(tǒng),采用本文方法計算列車枕梁的疲勞可靠度。

3.1 疲勞細(xì)節(jié)的標(biāo)識應(yīng)力及壽命分布

根據(jù)歐盟標(biāo)準(zhǔn)EN12663—1[23],假設(shè)在某一線路上行駛的列車的枕梁所承受的空氣彈簧載荷恒定,抗蛇行載荷和中心銷載荷每10 min循環(huán)一次直至破壞,即載荷歷程循環(huán)周期為600 s,具體的載荷歷程如圖3所示。

(a)中心銷載荷

(b)抗蛇行載荷圖3 列車枕梁載荷歷程

按照前述步驟(1)～(4),計算各個疲勞細(xì)節(jié)的壽命樣本值。以疲勞細(xì)節(jié)1為例,該疲勞細(xì)節(jié)的應(yīng)力歷程經(jīng)雨流計數(shù)法處理后的結(jié)果如圖4所示,圖5為Goodman平均應(yīng)力修正前后的示意圖。

圖4 應(yīng)力循環(huán)統(tǒng)計結(jié)果

圖5 平均應(yīng)力修正效果示意圖

疲勞細(xì)節(jié)1使用的p-s-N曲線[24]如圖6所示,10 000個仿真數(shù)據(jù)的統(tǒng)計結(jié)果如圖7所示。

圖6 角接焊縫的p-s-N曲線

圖7 疲勞細(xì)節(jié)1的壽命仿真數(shù)據(jù)統(tǒng)計圖

按照前述步驟(5),計算圖3所示載荷歷程的標(biāo)識應(yīng)力,圖8為其應(yīng)力等效示意圖。

圖8 應(yīng)力等效示意圖

在圖3所示的載荷歷程下,求得的3個疲勞細(xì)節(jié)的標(biāo)識應(yīng)力(步驟(5))及其壽命威布爾分布參數(shù)(步驟(6))見表1。

表1 標(biāo)識應(yīng)力與壽命威布爾分布參數(shù)

3.2 疲勞細(xì)節(jié)的壽命分布函數(shù)

對于同種材料,一般情況下壽命威布爾分布的尺度參數(shù)η直接與應(yīng)力有關(guān),而形狀參數(shù)β可以認(rèn)為與應(yīng)力無關(guān),并且大量試驗(yàn)結(jié)果也表明:疲勞壽命威布爾分布的形狀參數(shù)主要取決于材料、結(jié)構(gòu)及失效機(jī)理,對應(yīng)力不敏感[22]。表1中各疲勞細(xì)節(jié)的壽命分布參數(shù)恰好驗(yàn)證了這一結(jié)論。

通常尺度參數(shù)與應(yīng)力的關(guān)系可以表示為

η(s)=10a+blgs

(13)

式中a、b為待定系數(shù)。

根據(jù)EN12663—1標(biāo)準(zhǔn)[23]選用合理的載荷參數(shù),設(shè)計不同的載荷歷程。按照3.1小節(jié)中的分析過程,分別計算各個載荷歷程下3個疲勞細(xì)節(jié)的標(biāo)識應(yīng)力與壽命分布參數(shù)(步驟(7))。利用最小二乘法[25]擬合式(13)中的待定系數(shù)a、b,由于形狀參數(shù)對應(yīng)力不敏感,故將各個載荷歷程下的形狀參數(shù)簡單地取算術(shù)平均值(步驟(8)),擬合結(jié)果見表2。

表2 壽命分布函數(shù)的擬合參數(shù)

以疲勞細(xì)節(jié)1為例,在指定標(biāo)識應(yīng)力s下,其壽命概率密度函數(shù)可以表示為

(14)

3.3 含多個疲勞細(xì)節(jié)結(jié)構(gòu)的疲勞可靠度

對于在不同線路上行駛的列車,枕梁所承受的載荷歷程也不相同。經(jīng)過統(tǒng)計計算得到的不同線路上枕梁各個疲勞細(xì)節(jié)的標(biāo)識應(yīng)力均服從正態(tài)分布(步驟(9)),具體的分布參數(shù)見表3,與圖2所示枕梁左側(cè)疲勞細(xì)節(jié)相對應(yīng)的右側(cè)3個疲勞細(xì)節(jié)的應(yīng)力分布與這3個疲勞細(xì)節(jié)的應(yīng)力分布分別相同。

表3 標(biāo)識應(yīng)力分布參數(shù)

通過式(11)和式(12)分別計算列車枕梁的可靠度與壽命之間的關(guān)系,所得結(jié)果如圖9所示。

圖9 枕梁可靠度隨壽命的變化曲線

圖9中,虛線是根據(jù)傳統(tǒng)的串聯(lián)系統(tǒng)可靠性模型(式(12))計算得到的,即假設(shè)各個疲勞細(xì)節(jié)的失效相互獨(dú)立;實(shí)線則是根據(jù)本文提出的串聯(lián)系統(tǒng)可靠性模型(式(11))計算得到的,即考慮了各個疲勞細(xì)節(jié)失效的統(tǒng)計相關(guān)性。從圖9中可以看出:傳統(tǒng)的系統(tǒng)可靠性模型計算的可靠度偏于保守;該列車枕梁服役30年后的可靠度約為0.90。由于本文所使用的列車枕梁載荷歷程是根據(jù)EN12663—1標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計的,比實(shí)際服役的載荷歷程要嚴(yán)酷,因此,所計算的列車枕梁服役30年后的可靠度較實(shí)際情況要保守。

4 結(jié) 論

(1)將含有多個疲勞細(xì)節(jié)的復(fù)雜結(jié)構(gòu)件看作由多個只含有單一疲勞細(xì)節(jié)的單元構(gòu)成的串聯(lián)系統(tǒng),基于應(yīng)力-壽命異量綱干涉分析原理,提出了一種復(fù)雜結(jié)構(gòu)件疲勞可靠性模型。與前人所研究的模型相比,該模型適用于復(fù)雜載荷情況(如隨機(jī)變幅載荷)、復(fù)雜結(jié)構(gòu)情況(如各個疲勞細(xì)節(jié)的幾何尺寸均不相同,即在同一載荷作用下各疲勞細(xì)節(jié)的應(yīng)力有顯著差異)以及各個疲勞細(xì)節(jié)的材料性能完全不同的情況(如疲勞細(xì)節(jié)出現(xiàn)在母材或焊縫上)。

(2)與多個零件組成的機(jī)械系統(tǒng)一樣,在載荷不確定的情況下,有多個疲勞細(xì)節(jié)的結(jié)構(gòu)內(nèi)也存在著失效相關(guān)性,本文提出的系統(tǒng)疲勞可靠性模型能體現(xiàn)各個疲勞細(xì)節(jié)之間的失效相關(guān)性。

(3)列車枕梁各個疲勞細(xì)節(jié)壽命的威布爾分布參數(shù)表明,對于同種材料,尺度參數(shù)與應(yīng)力有關(guān),而形狀參數(shù)對應(yīng)力不敏感,這與前人研究的結(jié)果一致。