王玉玲 張旭剛 張 華 江志剛

(①武漢科技大學(xué)冶金裝備及其控制教育部重點實驗室，湖北 武漢430081；②武漢科技大學(xué)機械傳動與制造工程湖北省重點實驗室，湖北 武漢430081)

諧波減速機是一種高精密減速傳動裝置，由剛輪，柔輪和波發(fā)生器3個主要元件組成。它通過柔輪周期性的彈性變形和剛輪與柔輪的齒間嚙合來傳遞運動和動力，具有體積小、傳動比大和傳動平穩(wěn)等優(yōu)點。柔輪作為諧波減速機的核心元件，其強度和壽命直接影響了整個諧波傳動的可靠性和耐久性[1]。在交變載荷作用下，柔輪極易發(fā)生疲勞斷裂[2]，嚴(yán)重影響了諧波傳動的精度和效率。因此，對柔輪的應(yīng)力和疲勞強度分析有助于提高諧波減速機工作性能和使用壽命

隨著計算機性能的提升和有限元方法的發(fā)展，有了許多關(guān)于柔輪應(yīng)力和疲勞強度的研究。文獻[3]將柔輪輪齒簡化為當(dāng)量齒圈，利用有限元方法研究柔輪壁厚、筒長和齒寬對柔輪最大應(yīng)力的影響。文獻[4]建立了農(nóng)業(yè)機器人轉(zhuǎn)向機構(gòu)的杯形柔輪有限元模型，并結(jié)合理論分析了柔輪空載下的應(yīng)力分布狀況。文獻[5]建立了柔輪的實體模型并導(dǎo)入到ANSYS軟件中對其進行壽命仿真和評估，沒有給出柔輪疲勞強度的理論分析。以往關(guān)于柔輪有限元分析的研究，很少采用理論計算與仿真相結(jié)合的方法，也很少分析柔輪在不同負(fù)載下應(yīng)力和疲勞安全系數(shù)分布規(guī)律。因此本文在Inventor中建立了未簡化輪齒的杯型柔輪模型，以提高有限元的仿真精度。對柔輪有限元模型進行結(jié)構(gòu)靜力仿真，并結(jié)合理論計算，得到了柔輪負(fù)載下應(yīng)力和位移的變化規(guī)律，在此基礎(chǔ)上研究了柔輪負(fù)載時疲勞壽命，該結(jié)論對提高諧波減速機柔輪的工作壽命具有一定的參考價值。

1 柔輪應(yīng)力分析

1.1 空載狀態(tài)下柔輪應(yīng)力分析

空載狀態(tài)下柔輪的應(yīng)力為預(yù)應(yīng)力，是在裝配時由于橢圓凸輪波發(fā)生器的作用而使柔輪變形時產(chǎn)生的[6]。這個變形力可以通過分析橢圓凸輪模型在長軸方向?qū)θ彷啴a(chǎn)生的徑向變形量來確定。本文根據(jù)文獻[7]的柔輪計算模型，采用四力作用式凸輪波發(fā)生器，如圖1所示。

由圓柱殼體理論有，柔輪在該波發(fā)生器作用下的徑向變形為：

w=w0cos(2φ)

(1)

柔輪空載下沿軸線方向的彎曲應(yīng)力為：

(2)

柔輪空載下沿周向彎曲應(yīng)力為：

(3)

柔輪空載下扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力為：

(4)

式中：w0為柔輪最大徑向變形量；s1為柔輪齒圈處壁厚；w為柔輪徑向變形量；L為柔輪筒體長度；φ為以長軸為計算起點度量的角度；rm為輪中線的半徑；E為彈性模量；v為泊松比。

本文以某型號諧波減速機為研究對象，其剛輪、柔輪、柔性軸承和波發(fā)生器的裝配圖如圖2所示，柔輪相關(guān)參數(shù)為w0=0.372 mm,s1=1.376 mm,L=34 mm,rm=31.35 mm, 柔輪的材料選用40CrNiMoA,其彈性模量和泊松比分別為209 GPa和0.3。將柔輪的結(jié)構(gòu)參數(shù)代入上述幾個式子，可以解出柔輪空載下的最大應(yīng)力值為166.98 MPa。

1.2 空載下柔輪應(yīng)力有限元分析和驗證

首先在Inventor軟件中建立柔輪的三維模型，然后將其導(dǎo)人到ANSYS Workbench中。為了便于網(wǎng)格的劃分和載荷的添加，將柔輪切分為4部分，分別是齒圈、筒體、筒體與凸緣過渡部分和筒體凸緣部分。在柔輪齒圈內(nèi)側(cè)劃分出4個小矩形區(qū)域來施加相應(yīng)壓力。由于所選型號的諧波減速機中柔輪與箱體是靠螺栓連接的，因此將柔輪底部8個小圓柱面施加固定約束。柔輪有限元模型如圖3所示。

對柔輪進行靜力結(jié)構(gòu)分析，得到柔輪的等效應(yīng)力和位移云圖如圖4所示。從柔輪等效應(yīng)力云圖上可以看到柔輪受到波發(fā)生器的最大應(yīng)力主要集中在齒圈中部(波發(fā)生器長軸作用區(qū)域)以及齒圈和筒體的過渡區(qū)域，且最大應(yīng)力值為165.09 MPa，考慮到施加壓力的過程中會造成一定的應(yīng)力集中，所以去掉這個最大值，觀察齒圈中部的應(yīng)力主要集中在140～165 MPa，這與之前理論計算得到的166.98 MPa相比，誤差不是很大，說明柔輪應(yīng)力的仿真結(jié)果符合實際情況。從柔輪的變形云圖中可以看到柔輪最大變形量為0.373 96 mm，而此型號的柔輪徑向最大變形0.372 mm。

1.3 負(fù)載下柔輪應(yīng)力和變形規(guī)律

為了得到柔輪疲勞強度與負(fù)載的關(guān)系以及確定柔輪的工作負(fù)荷，本文研究了柔輪在不同扭矩作用下的應(yīng)力和位移變化情況。柔輪在負(fù)載時與剛輪嚙合，主要受到凸輪對柔輪的變形力和剛輪輪齒產(chǎn)生的扭矩。柔輪負(fù)載下的邊界約束與空載狀態(tài)下有一定的不同。本文采用文獻[8]的方法，在波發(fā)生器長軸方向上的兩個相對應(yīng)輪齒節(jié)圓上的若干節(jié)點上施加切向力以模擬柔輪輪齒所受到剛輪輪齒產(chǎn)生的扭矩，切向力與所施加扭矩有以下關(guān)系：

(5)

式中：M為施加的扭矩，R為柔輪的節(jié)圓半徑，N為柔輪輪齒節(jié)圓上所施加切向力的節(jié)點數(shù)。

本文N=11，選取7組不同的扭矩值。由式(5)，扭矩值和施加的切向力的數(shù)值如表1所示。

表1 柔輪輪齒上的載荷換算

當(dāng)柔輪受到負(fù)載時,對其進行靜力結(jié)構(gòu)分析，可以得到不同扭矩下柔輪的應(yīng)力和變形云圖。圖5顯示了T=60 N·m作用下的有限元分析云圖。

從圖中可以看到，柔輪應(yīng)力和變形云圖形狀并沒有發(fā)生較大的改變，但是柔輪的最大等效應(yīng)力和最大變形量都增加了，此外筒體和凸緣的連接部分也出現(xiàn)了一定的應(yīng)力集中。為了更清晰地呈現(xiàn)柔輪最大等效應(yīng)力和位移隨負(fù)載分布狀況，將7種扭矩作用下的柔輪最大等效應(yīng)力云圖和柔輪在齒圈和筒體過渡處(即軸向長度x=13.67 mm)的變形云圖分別繪制成曲線圖，如圖6所示。

圖6a顯示，隨著扭矩的增大，柔輪最大等效應(yīng)力值也在不斷增大，在空載到負(fù)載100 N·m的時候，應(yīng)力的增值比較平穩(wěn)，而在100 N·m 之后，最大應(yīng)力值快速增長。因此對于柔輪材料為40CrNiMoA，模數(shù)是0.39 mm，筒體壁厚為0.6 mm的柔輪在100 N·m以下為最佳工作載荷段。

圖6b顯示，柔輪的最大變形是呈諧波形狀的，且為對稱分布，柔輪的最大位移出現(xiàn)在周向長度為30 mm、80 mm、130 mm和180 mm附近，分別對應(yīng)著柔輪長軸即凸輪波發(fā)生器作用位置和柔輪短軸處。其次在柔輪受到的扭矩較小時即T=20 N·m時，其變形曲線與扭矩較大時相比偏移了一個相位角。隨著扭矩的逐漸增大，柔輪最大位移值每次只增長大約0.1 mm，柔輪筒體變形云圖的顏色分布沒有發(fā)生明顯的改變，說明負(fù)載的變化對柔輪變形規(guī)律沒有太大影響，柔輪最大徑向變形取決于波發(fā)生器的輪廓形狀。

2 柔輪疲勞分析

2.1 柔輪疲勞強度理論

柔輪是諧波減速機中最關(guān)鍵也是最易受損的零件，在交變載荷下，柔輪易發(fā)生疲勞斷裂。因此柔輪的疲勞強度分析對提高諧波減速機的傳動精度具有重要的意義。本文先采用理論計算的方法求出柔輪在負(fù)載T=100 N·m時的安全因子，然后再對其進行疲勞壽命的有限元仿真以驗證理論結(jié)果的可靠性。

柔輪沿軸線方向的正應(yīng)力、周向正應(yīng)力和變形產(chǎn)生的剪應(yīng)力分別為[5]：

(6)

(7)

(8)

令扭矩為T，則作用于柔輪上的切應(yīng)力為：

(9)

采用雙向穩(wěn)定變應(yīng)力狀態(tài)下的安全系數(shù)來校驗柔輪的疲勞強度。

只有切應(yīng)力作用時柔輪的安全系數(shù)為：

(10)

只有正應(yīng)力作用時柔輪的安全系數(shù)為：

(11)

正應(yīng)力和切應(yīng)力同時作用時的柔輪疲勞安全系數(shù)可以表示為：

(12)

表2 Cσ、C與β的取值

因為柔輪的疲勞安全系數(shù)不應(yīng)小于1.5，上式計算的柔輪在負(fù)載T=100 N·m時的安全系數(shù)是1.607>1.5,說明柔輪符合疲勞強度要求。

2.2 柔輪疲勞有限元分析

為了驗證柔輪在負(fù)載T=100 N·m時疲勞強度計算結(jié)果的可靠性，在有限元軟件中插入疲勞工具，輸入柔輪材料的S-N曲線即交變應(yīng)力幅值與工作循環(huán)次數(shù)曲線。設(shè)置載荷類型為Fully Reversed，最終可得到柔輪在扭矩T=100 N·m下的疲勞壽命云圖和安全系數(shù)云圖，如圖7所示。柔輪在此工作狀態(tài)下疲勞壽命為106次，最小疲勞安全因子為1.615 4，主要位置是柔輪齒圈、柔輪齒圈與筒體過渡處和筒體與凸緣過渡處，與理論計算值1.607的誤差為0.46%，說明理論計算的結(jié)果可靠。

將柔輪在不同負(fù)載下的安全系數(shù)繪制成曲線如圖8所示，可知在扭矩T≥110 N·m時柔輪易發(fā)生疲勞失效。

3 結(jié)語

本文利用Inventor軟件和ANSYS Workbench仿真軟件對諧波減速機的柔輪進行了應(yīng)力和疲勞分析，并結(jié)合圓柱殼體理論和疲勞強度理論驗證了分析結(jié)果的可靠性。通過分析柔輪在空載和負(fù)載狀態(tài)下的應(yīng)力和變形規(guī)律，得到如下結(jié)論：

(1)柔輪最大變形量集中在柔輪長軸和短軸區(qū)域，在負(fù)載較小時，此變形規(guī)律會偏移一個相位角。

(2) 柔輪最大等效應(yīng)力集中在齒圈位置，齒圈與筒體過渡位置和凸緣與筒體的過渡位置。

(3)扭矩的增大對柔輪最大位移影響不大，柔輪的最大徑向位移是由凸輪波發(fā)生器決定的，而最大應(yīng)力值隨著負(fù)載的增大而增大，且柔輪的最佳工作載荷范圍是T≤100 N·m。

(4)柔輪的疲勞系數(shù)隨負(fù)載的增大而迅速降低，在扭矩T=110 N·m左右時，柔輪易發(fā)生疲勞斷裂。該研究方法和結(jié)論能為柔輪結(jié)構(gòu)設(shè)計，應(yīng)力分析和疲勞優(yōu)化提供一定的理論和技術(shù)支持。