鄭朋濤 孫建民

（北京建筑大學(xué) 城市軌道交通車輛服役性能保障北京市重點試驗室，北京 102616）

主題詞：電子節(jié)氣門 Lyapunov穩(wěn)定性理論 反步滑?？刂?有限時間收斂

1 前言

電子節(jié)氣門控制系統(tǒng)是發(fā)動機(jī)電子控制系統(tǒng)中的重要組成部分，對提高汽車的動力性、燃油經(jīng)濟(jì)性和發(fā)動機(jī)排放性能有很大影響，因而改進(jìn)電子節(jié)氣門空燃比控制具有重要意義，開發(fā)響應(yīng)速度快、魯棒性強(qiáng)、穩(wěn)態(tài)性能好等的控制器成為一種需求。

目前，研究人員開發(fā)出了許多電子節(jié)氣門控制器，如PID控制器、模糊自適應(yīng)控制器、自適應(yīng)控制器、反演控制器、滑模控制器和預(yù)測控制器[1-6]等。本文在前人研究的基礎(chǔ)上，提出并設(shè)計一種電子節(jié)氣門有限時間無抖振反步滑?？刂破?，進(jìn)一步提高了發(fā)動機(jī)電子節(jié)氣門對空燃比的控制精度，改善了發(fā)動機(jī)的排放性能。

2 帶擾動的非線性電子節(jié)氣門數(shù)學(xué)模型建立

電子節(jié)氣門主要由電子控制單元、直流電動機(jī)、減速齒輪、節(jié)氣門體、回位彈簧和閥片等組成[7]，電子節(jié)氣門具有很強(qiáng)的非線性特性、模型不確定性、易受外界干擾等特點，難以保證電子節(jié)氣門開度在發(fā)動機(jī)各工況下的精確控制。為此，建模時將模型參數(shù)不確定性、外界擾動及角速度項等考慮為擾動項，則電子節(jié)氣門數(shù)學(xué)模型表達(dá)式為：

式中，f為擾動項；x1為節(jié)氣門閥片轉(zhuǎn)角；x2為閥片轉(zhuǎn)速；q0為節(jié)氣門“跛行”平衡位置角度；E為電機(jī)電壓；Ra為電機(jī)繞組電阻；kb為電機(jī)反向電動勢系數(shù)；N為減速齒輪組減速比；J為電機(jī)主軸轉(zhuǎn)動慣量；ks為回位彈簧系數(shù)；D為回位彈簧扭矩系數(shù)補(bǔ)償；kd為節(jié)氣門軸粘性摩擦系數(shù)；kt為電機(jī)扭矩系數(shù)。

3 有限時間收斂無抖振反步滑?？刂破鞯脑O(shè)計

為設(shè)計一款具有較強(qiáng)魯棒性，即具有較好的跟隨特性和抵抗外部干擾能力的電子節(jié)氣門控制器，以滿足發(fā)動機(jī)在各種運(yùn)行工況下的性能需要，采取了如圖1所示的控制策略。該控制策略中，有限時間收斂滑?？刂破魇遣捎糜邢迺r間收斂終端滑模面設(shè)計的，因該控制器中存在未知狀態(tài)量x2和擾動量f，所以分別設(shè)計降階狀態(tài)觀測器和非線性干擾觀測器對這兩個量進(jìn)行觀測。

圖1 控制策略

3.1 有限時間收斂終端滑模面

基于有限時間收斂原理[8]，在任何控制系統(tǒng)中，若該控制系統(tǒng)的狀態(tài)變量x滿足關(guān)系x?=-k1x-k2sgn()x，則狀態(tài)變量x將會在有限時間內(nèi)趨近于零點。該有限時間為且要求x0、k1、k2都大于零。有限時間T與k1、k2兩個參數(shù)有關(guān)，通過配置兩個參數(shù)的值來調(diào)節(jié)系統(tǒng)在有限時間內(nèi)收斂。

采用上述狀態(tài)方程設(shè)計新形式的終端滑模面[9]以加快系統(tǒng)的收斂速度，且保證系統(tǒng)能在有限時間內(nèi)收斂。令系統(tǒng)誤差e=e(t)，則終端滑模面為：

如果狀態(tài)變量能在滑模面上產(chǎn)生滑模運(yùn)動，則需要滿足下式：

基于Lyapunov穩(wěn)定性定理分析，取Lyapunov函數(shù)為，將式（7）變形代入得表明該終端滑模面可使系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定。由上述有限時間收斂定理可得：

3.2 有限時間收斂反步滑?？刂破?/h3>

通過反步法[10]設(shè)計滑?？刂破鳎墒闺娮庸?jié)氣門系統(tǒng)每個狀態(tài)變量具有強(qiáng)穩(wěn)定性。設(shè)電子節(jié)氣門系統(tǒng)的狀態(tài)變量誤差為：

式中，xd為期望信號；m為虛擬控制量。

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，設(shè)Lyapunov函數(shù)為：

對式（10）求導(dǎo)得：

取虛擬控制量m=-p1e1+x?d（p1＞0），并將其代入式（11）得：

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論可得，隨時間的推移系統(tǒng)狀態(tài)誤差e2逐漸趨近于0，則V?1≤0，表明該子系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定。

令q=ax1+bx2+d+f，由式（1）和式（9）得：

設(shè)Lyapunov函數(shù)為：

對式（14）求導(dǎo)后，再根據(jù)式（6）和式（12）得：

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，使V?2≤0保證系統(tǒng)穩(wěn)定設(shè)計控制律，取p2＞0，則控制律為：

3.3 消抖振控制器和非線性干擾觀測器

由于滑模變結(jié)構(gòu)控制存在抖振問題，其主要原因是電子節(jié)氣門系統(tǒng)在控制過程中的不連續(xù)，并且這種抖振還來源于滑模函數(shù)在滑模面內(nèi)外來回切換。前面提出的有限時間反步滑?？刂破髦?，s/‖s‖2和sgn(e2)都會使系統(tǒng)的控制過程出現(xiàn)不連續(xù)，從而導(dǎo)致控制中有抖振現(xiàn)象的產(chǎn)生。為避免抖振現(xiàn)象，在有限時間反步滑?？刂破髦欣檬絪/(‖s‖2+ε)替換s/‖s‖2，同時用e2/(|e2|+ε)替換sgn(e2)，其中ε一般取一個未知的正數(shù)。將（12）式控制律連續(xù)化，并將q=ax1+bx2+d+f代入后，消抖振控制器的控制律可表示為：

控制系統(tǒng)和控制器中都存在擾動，雖然忽略擾動項、增大滑模系數(shù)能克服擾動干擾，但也會使系統(tǒng)產(chǎn)生抖振現(xiàn)象。為解決該問題，通過設(shè)計非線性干擾觀測器來估計所設(shè)計控制器中未知量干擾值f，并對其進(jìn)行補(bǔ)償。

非線性干擾觀測器主要依據(jù)實際輸出與估計值的差值補(bǔ)償來設(shè)計，故設(shè)計干擾觀測器[11]為：

式中，L1為常數(shù)。

由式（1）、式（17）和式（18）可得：

設(shè)變量

令變量p為

由式（1）、式（18）～式（21）得非線性干擾觀測器為：

3.4 降階狀態(tài)觀測器

由于電子節(jié)氣門閥片轉(zhuǎn)角速度不便于測量，而且基于產(chǎn)品生產(chǎn)經(jīng)濟(jì)性考慮，電子節(jié)氣門在設(shè)計時沒有安裝閥片角速度傳感器，即在無抖振控制器中存在未知量x2。為此利用降階狀態(tài)觀測器[12]來估計不可測量量x2。

設(shè)變量：

式中，L2為常數(shù)。

將式（1）和式（23）帶入式（23）的求導(dǎo)式得：

為了保持未知量之間的無關(guān)性，以免增大誤差和導(dǎo)致算法代數(shù)自回環(huán)，故降階狀態(tài)觀測器中忽略擾動項，即觀測器為：

設(shè)計降階狀態(tài)觀測器的誤差為：

對式（26）求導(dǎo)，并將式（24）、式（25）代入得：

對式（27）求解得：

由式（28）可得，b-L2＜0時可保證觀測器誤差按照指數(shù)律下降，故此降階狀態(tài)觀測器誤差值可迅速減小，并趨近于0，保證了觀測器的值盡可能準(zhǔn)確。

由上述分析可得，降階狀態(tài)觀測器中各狀態(tài)值估計表達(dá)式為：

4 試驗結(jié)果與分析

利用電子節(jié)氣門建立的數(shù)學(xué)模型，通過MATLAB/Simulink軟件進(jìn)行仿真試驗，以驗證所設(shè)計的有限時間消抖振反步滑模控制器對電子節(jié)氣門的適用性。仿真試驗主要分析小階躍信號的響應(yīng)特性、大階躍信號的響應(yīng)特性、穩(wěn)態(tài)響應(yīng)誤差、魯棒性及方波信號的跟蹤特性。

電子節(jié)氣門性能的參數(shù)化評價指標(biāo)為：

a.從給定控制信號開始，響應(yīng)曲線首次上升到目標(biāo)曲線所用時間應(yīng)小于100 ms，再調(diào)節(jié)至穩(wěn)定狀態(tài)所用時間應(yīng)小于40 ms，即從給定控制信號開始到穩(wěn)定狀態(tài)所用時間不得大于140 ms。

b.給定信號后的響應(yīng)曲線無超調(diào)，以避免節(jié)氣門閥板碰撞限位；

c.響應(yīng)曲線的穩(wěn)態(tài)誤差保持在±2%之內(nèi)。

4.1 電子節(jié)氣門系統(tǒng)階躍信號響應(yīng)性能分析

控制信號為小階躍和大階躍的響應(yīng)特性曲線如圖2所示，圖3為階躍信號的響應(yīng)誤差曲線，其局部穩(wěn)態(tài)誤差如圖4所示。

圖2 階躍信號的響應(yīng)特性曲線

圖3 階躍信號的響應(yīng)誤差曲線

圖4 小階躍和大階躍信號響應(yīng)的局部穩(wěn)態(tài)誤差

根據(jù)仿真試驗數(shù)據(jù)得階躍信號響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)性能參數(shù)如表1所列。由表1、圖2～圖4可知，當(dāng)給定控制信號為小階躍和大階躍信號時，響應(yīng)曲線都沒有超調(diào)量；在給定小階躍和大階躍信號時，電子節(jié)氣門系統(tǒng)的響應(yīng)調(diào)節(jié)時間都小于100 ms，在節(jié)氣門性能要求參數(shù)化評價指標(biāo)范圍內(nèi)，而且基本上為參數(shù)化性能指標(biāo)的1/2；在響應(yīng)曲線達(dá)到穩(wěn)態(tài)時，最大誤差量都比要求的標(biāo)準(zhǔn)誤差量（±2%）小一個數(shù)量級；小階躍和大階躍控制信號的調(diào)節(jié)時間只相差11 ms，且穩(wěn)態(tài)誤差范圍和最大誤差量都滿足電子節(jié)氣門參數(shù)化評價指標(biāo)。

表1 階躍信號的穩(wěn)態(tài)性能參數(shù)

通過上述分析可知，有限時間消抖振反步滑模控制器能滿足節(jié)氣門性能要求的量化指標(biāo)，說明該控制器響應(yīng)特性較好。由于圖2階躍響應(yīng)特性曲線及圖3誤差曲線光滑，結(jié)合圖4的局部穩(wěn)態(tài)誤差分析，表明階躍響應(yīng)曲線穩(wěn)態(tài)精度高、無抖振現(xiàn)象、穩(wěn)定性好、響應(yīng)迅速。小階躍和大階躍的性能指標(biāo)相差較小，表明控制器魯棒特性較好。

4.2 電子節(jié)氣門系統(tǒng)方波信號響應(yīng)性能分析

當(dāng)給定控制信號為方波信號時，電子節(jié)氣門系統(tǒng)響應(yīng)特性曲線如圖5所示，圖6為其誤差曲線，其局部特性曲線如圖7。方波信號響應(yīng)的性能指標(biāo)如表2所列，其中Ti代表給定控制信號第i次突變時響應(yīng)曲線調(diào)節(jié)穩(wěn)定所需要時間，數(shù)字1～6表示方波信號突變次數(shù)。

圖5 方波信號的響應(yīng)特性曲線

圖6 方波信號響應(yīng)的誤差曲線

圖7 方波信號響應(yīng)的局部特性曲線

表2 方波響應(yīng)的性能參數(shù)

由表2可知，在目標(biāo)信號突變時，Ti最大值為44.5 ms，并且Ti值比參數(shù)化性能評價指標(biāo)中穩(wěn)態(tài)調(diào)節(jié)時間140 ms小很多，可以滿足節(jié)氣門的性能要求；穩(wěn)態(tài)誤差范圍的最大誤差也都比標(biāo)準(zhǔn)誤差小一個數(shù)量級。由圖5～圖7可知，這種控制器對方波的跟蹤性好，響應(yīng)迅速，響應(yīng)的誤差曲線最大誤差為2（控制信號發(fā)生突變時的方波信號高度），并且方波信號的響應(yīng)特性曲線光滑，最大誤差量比參數(shù)化標(biāo)準(zhǔn)誤差量小一個數(shù)量級，表明方波信號的響應(yīng)抖振很小、穩(wěn)態(tài)精度高、穩(wěn)態(tài)性能好。

5 結(jié)束語

為提高發(fā)動機(jī)電子節(jié)氣門對空燃比的控制精度，改善發(fā)動機(jī)的排放性能，針對電子節(jié)氣門的非線性和易受外部擾動影響，導(dǎo)致電子節(jié)氣門在控制時收斂速度慢和收斂后控制響應(yīng)存在抖振的問題，提出一種有限時間收斂無抖振的反步滑模控制方法。經(jīng)仿真分析表明，電子節(jié)氣門在給定階躍信號條件下，其響應(yīng)在55 ms左右電子節(jié)氣門控制系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定，并且穩(wěn)態(tài)精度在1×10-3數(shù)量級，表明所設(shè)計的控制器具有響應(yīng)迅速、跟蹤性好、穩(wěn)態(tài)性能好、穩(wěn)態(tài)精度高、穩(wěn)態(tài)無抖振、魯棒性強(qiáng)等特點，對電子節(jié)氣門的控制有較強(qiáng)的適用性。