☉江蘇省丹陽高級(jí)中學(xué) 朱煒俊

著名數(shù)學(xué)家、教育學(xué)家G·波利亞在《怎樣解題》一書中指出：“好題目和某種蘑菇有點(diǎn)相似之處：它們都是成串成長(zhǎng)，找到一個(gè)以后，我們應(yīng)該看看，很有可能在很近的地方又能找到更多的.”因而當(dāng)我們解完一道題以后，要不斷領(lǐng)悟反思，多角度切入進(jìn)行深度挖掘，從而達(dá)到觸類旁通、一題多解的效果.

一、試題展示

（2018年福建省高三畢業(yè)班質(zhì)量檢查測(cè)試·16）在平面四邊形ABCD中，AB=1，AC=，BD⊥BC，BD=2BC，則AD的最小值為______.

二、解法研究

分析：本題看似簡(jiǎn)單，條件也比較少，但對(duì)應(yīng)的平面四邊形ABCD是不確定的，要確定AD的最小值問題，如何切入才是解決問題的關(guān)鍵.

思路方向1：解三角形思維是此類問題中最常見的解題方法，也是考慮問題中首先想到的基本方法.通過對(duì)不同三角形中邊角關(guān)系的建立，利用三角函數(shù)的平方關(guān)系加以轉(zhuǎn)化，通過相應(yīng)的方程有正數(shù)解，結(jié)合判別式的求解即可確定對(duì)應(yīng)的最值問題.本解法的運(yùn)算量以及運(yùn)算的次冪比較大，運(yùn)算時(shí)要有耐心，認(rèn)真細(xì)致.

解法1（解三角形+函數(shù)與方程法）：如圖1，設(shè)BC=t，則BD=2BC=2t，設(shè)∠ABD=θ，AD=m，

即4-t2=2tsinθ. ①

在△ABD中，由余弦定理可得m2=1+4t2-4tcosθ，

圖1

思路方向2：當(dāng)涉及到的平面幾何比較難處理時(shí)，經(jīng)?？梢钥疾榻ㄏ?，通過平面直角坐標(biāo)系的建立，將其轉(zhuǎn)化為解析幾何問題，這也是解決此類問題中比較常見的一種方法.巧妙建立平面直角坐標(biāo)系時(shí)，把點(diǎn)A放在單位圓上，引入三角參數(shù)，結(jié)合勾股定理的轉(zhuǎn)化來求解AD2的關(guān)系式，而碰到高次函數(shù)的最值問題，自然而然想到利用導(dǎo)數(shù)法來確定對(duì)應(yīng)的最值問題.本解法的運(yùn)算量也比較大，求導(dǎo)時(shí)容易出錯(cuò)，運(yùn)算要專心細(xì)致.

圖2

解法2（建系+導(dǎo)數(shù)法）：如圖2，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BD、BC所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系xBy，設(shè)C（0，a），D（2a，0），A（cosθ，sinθ），其中

結(jié)合勾股定理可得5=cos2θ+（a-sinθ）2，

思路方向3：考慮到題目中涉及各種邊長(zhǎng)與角度的關(guān)系，我們還可以巧妙地引入平面直角坐標(biāo)系與對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo)系，利用極坐標(biāo)表示來確定相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而確定點(diǎn)C所在的圓A的方程與點(diǎn)D所在的圓F的方程，利用兩圓的方程的求解以及位置關(guān)系，通過兩圓內(nèi)切的位置關(guān)系來確定AD的最小值.本解法的思維巧妙，涉及極坐標(biāo)問題，知識(shí)點(diǎn)比較偏.

解法3（極坐標(biāo)法）：如圖3，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xBy，而A（-1，0），由于AC=可得點(diǎn)C所在的圓A為：（x+1）2+y2=5，整理為x2+y2+2x=4，

則圓A的極坐標(biāo)方程為ρ2+2ρcosθ=4，

圖3

代入ρ2+2ρcosθ=4，

整理有σ2+4σsinα=16，

則點(diǎn)D所在的圓F為：x2+y2+4y=16，

即x2+（y+2）2=20，

顯然圓A與圓F相內(nèi)切，

思路方向4：涉及凸四邊形的對(duì)邊、對(duì)角線等的關(guān)系問題，可考慮利用特殊的幾何定理：托勒密不等式（凸四邊形的兩組對(duì)邊乘積和不小于其對(duì)角線的乘積，當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共圓或共線時(shí)等號(hào)成立）來處理.處理巧妙，過程簡(jiǎn)單快捷.本解法涉及的托勒密不等式不屬于課本知識(shí)，所以不易掌握，只是作為一個(gè)課外的拓展解法來處理.

解法4（托勒密不等式法）：如圖4，設(shè)BD=2BC=2a，設(shè)AD=x，

由于BD⊥BC，

圖4

由托勒密不等式（凸四邊形的兩組對(duì)邊乘積和不小于其對(duì)角線的乘積，當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共圓或共線時(shí)等號(hào)成立）可得AB·CD+AD·BC≥AC·BD，

思路方向5：平面幾何的問題還是采用平面幾何的方法來處理，這是解決問題的一個(gè)思維方式.根據(jù)題目條件加以巧妙的構(gòu)造輔助線，通過三角形的相似，并結(jié)合相似三角形及三角形的性質(zhì)來確定最值問題.本解法利用初中知識(shí)來解決高中問題，回歸本源.其實(shí)，采用初中平面幾何的知識(shí)來解決一些高中相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，往往可以使得問題的解決更流暢、快捷.

圖5

解法5（旋轉(zhuǎn)+幾何法）：如圖5，作BE⊥AB，且BE=2AB=2，連接AE、DE，可得

由于BE=2AB，BD=2BC，則知△ABC∽△EBD，

通過從多個(gè)不同角度的處理，巧妙地把該題的底蘊(yùn)充分挖掘出來，從多角度出發(fā)，多方面求解，真正實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的融會(huì)貫通，充分展現(xiàn)知識(shí)的交匯與綜合，達(dá)到提升能力、拓展應(yīng)用的目的，進(jìn)而真正達(dá)到在學(xué)中“悟”，在“悟”中不斷提升解題技能的目的.正如我國(guó)著名數(shù)學(xué)家蘇步青先生說過：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要多做習(xí)題，邊做邊思索，先知其然，然后知其所以然.”H