山東 尹承利

一、以函數(shù)為背景的數(shù)學(xué)文化題

1.(2017·河南六市聯(lián)考)中國傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“對稱美”.如圖所示的太極圖是由黑白兩個(gè)魚形紋組成的圓形圖案，充分體現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化、對稱統(tǒng)一的形式美、和諧美.給出定義：能夠?qū)AO的周長和面積同時(shí)平分的函數(shù)稱為這個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”.給出下列命題：

①對于任意一個(gè)圓O，其“優(yōu)美函數(shù)”有無數(shù)個(gè)；

③正弦函數(shù)y=sinx可以同時(shí)是無數(shù)個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”；

④函數(shù)y=f(x)是“優(yōu)美函數(shù)”的充要條件為函數(shù)y=f(x)的圖象是中心對稱圖形.其中正確的有

( )

A.①③ B.①③④ C.②③ D.①④

【解析】對于①，過圓心的任一直線都可以滿足要求，所以正確；對于②,可以作出其圖象如下，

故不能是某圓的優(yōu)美函數(shù)；對于③，只需將圓的圓心放在正弦函數(shù)的圖象的對稱中心上即可，所以正弦函數(shù)是無數(shù)個(gè)圓的優(yōu)美函數(shù)；對于④,函數(shù)是中心對稱圖形時(shí)，函數(shù)是優(yōu)美函數(shù)，但是優(yōu)美函數(shù)不一定是中心對稱，如圖所示,故選A．

二、以三角為背景的數(shù)學(xué)文化題

( )

A.6平方米 B.9平方米

C.12平方米 D.15平方米

( )

則ac=2-1=1，c2+a2-b2=6-5=1，

三、以數(shù)列為背景的數(shù)學(xué)文化題

1.(2017·安徽江南十校聯(lián)考)《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中《均輸章》有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等.問各得幾何.”其意思為“已知A，B，C，D，E五人分5錢，A，B兩人所得與C，D，E三人所得相同，且A，B，C，D，E每人所得依次成等差數(shù)列.問五人各得多少錢？”(“錢”是古代的一種重量單位).在這個(gè)問題中，E所得為

( )

2.(2017·湖南衡陽八中月考)中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還．”其大意為：“有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地．”則該人最后一天走的路程為

( )

A.24里 B.12里

C.6里 D.3里

3.(2017·湖北黃岡期末)“中國剩余定理”又稱“孫子定理”.1852年英國來華傳教士偉烈亞利將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲.1874年，英國數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”.“中國剩余定理”講的是一個(gè)關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問題：將2至2 017這2 016個(gè)數(shù)中能被3除余1且被5除余1的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列{an}，則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為________.

【解析】能被3除余1且被5除余1的數(shù)，即為被15除余1的數(shù)，易知，被15除余1的數(shù)構(gòu)成以16為首項(xiàng)，15為公差的等差數(shù)列.

由題意得16+15(n-1)≤2 017，解得n≤134.4.故此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為134.

4.(2017·北京博恩教育模擬)如圖，在“楊輝三角”圖形中，斜線l的上方從1按箭頭方向可以構(gòu)成一個(gè)“鋸齒形”的數(shù)列{an}：1，3，3，4，6，5，10，6，15，…，則a2017的值為________．

四、以不等式為背景的數(shù)學(xué)文化題

1.(2017·湖北黃岡質(zhì)檢)關(guān)于圓周率π，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的蒲豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn).受其啟發(fā)，我們也可以通過設(shè)計(jì)下面的實(shí)驗(yàn)來估計(jì)π的值：先請200名同學(xué)，每人隨機(jī)寫下一個(gè)都小于1的正實(shí)數(shù)對(x,y)，再統(tǒng)計(jì)兩數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(x,y)的個(gè)數(shù)m；最后再根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)m來估計(jì)π的值，假如統(tǒng)計(jì)結(jié)果是m=56，那么可以估計(jì)π=________．(用分?jǐn)?shù)表示)

五、以立體幾何為背景的數(shù)學(xué)文化題

1.(2017·廣東深圳一模)祖沖之之子祖暅?zhǔn)俏覈媳背瘯r(shí)代偉大的科學(xué)家，他在實(shí)踐的基礎(chǔ)上提出了體積計(jì)算的原理：“冪勢既同，則積不容異”.意思是，如果兩個(gè)等高的幾何體在同高處截得的截面面積恒等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.此即祖暅原理.利用這個(gè)原理求球的體積時(shí)，需要構(gòu)造一個(gè)滿足條件的幾何體，已知該幾何體三視圖如圖所示，用一個(gè)與該幾何體的下底面平行相距為h(0

( )

A.4π B.πh2

C.π(2-h)2D.π(4-h2)

【解析】由三視圖知，這是一個(gè)底面半徑為2，高為2的圓柱挖去一個(gè)底面半徑為2高為2的圓錐，所以平行底面的平面截得一個(gè)圓環(huán)，其面積為兩個(gè)圓面積之差.根據(jù)比例關(guān)系知截圓錐所得圓的半徑為h，所以截面面積為4π-π·h2=π(4-h2)，故選D．

( )

A.83 B.84 C.85 D.86

3.(2017·廣東廣州綜合測試)《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬；將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑．若三棱錐P-ABC為鱉臑,PA⊥平面ABC,PA=AB=2，AC=4,三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,則球O的表面積為

( )

A.8π B.12π

C.20π D.24π

( )

A.14 B.56

六、以解析幾何為背景的數(shù)學(xué)文化題

七、以統(tǒng)計(jì)概率為背景的數(shù)學(xué)文化題

1.(2017·重慶模擬)我國古代數(shù)學(xué)算經(jīng)十書之一的《九章算術(shù)》有一衰分問題：今有北鄉(xiāng)八千一百人，西鄉(xiāng)七千四百八十八人，南鄉(xiāng)六千九百一十二人，凡三鄉(xiāng)，發(fā)役三百人，則北鄉(xiāng)遣

( )

A.104人 B.108人

C.112人 D.120人

( )

A.866 B.500

C.300 D.134

3.(2017·四川簡陽檢測)齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機(jī)各選一匹進(jìn)行一場比賽，則齊王的馬獲勝概率為

( )

八、以算法為背景的數(shù)學(xué)文化題

1.(2017·湖北荊、荊、襄、宜四地七校聯(lián)考)我國古代宋元時(shí)期的數(shù)學(xué)名著《算學(xué)啟蒙》里有關(guān)于“松竹并生”的問題：松長五尺，竹長兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長等.下圖是源于其思想的一個(gè)程序框圖，若輸入的a,b分別為6,2，則輸出的n為

( )

A.2 B.3

C.4 D.5

【解析】第一次運(yùn)行后：

a=6+3=9,b=2×2=4,a>b，n=2；

第二次運(yùn)行后：

第三次運(yùn)行后：

第四次運(yùn)行：

滿足a≤b，結(jié)束程序；故輸出n=4,故選C.

2.(2017·貴州黔東南州模擬)秦九韶是我國南宋時(shí)期著名的數(shù)學(xué)家，普州(現(xiàn)四川省安岳縣)人，他在所著的《數(shù)書九章》中提出的多項(xiàng)式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進(jìn)的算法.如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例，若輸入x的值為3，每次輸入a的值均為4，輸出s的值為484，則輸入n的值為

( )

A.6 B.5 C.4 D.3

【解析】由程序框圖，

得s=4,k=1;

s=4×3+4=16,k=2;

s=16×3+4=52,k=3;

s=3×52+4=160,k=4;

s=160×3+4=484,k=5，結(jié)束循環(huán)，從而輸入n的值為4，故選C.

3.(2017·福建莆田質(zhì)檢)我國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有如下問題：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，問積幾何？”設(shè)每層外周枚數(shù)為a，如圖是解決該問題的程序框圖，則輸出的結(jié)果為

( )

A.121 B.81 C.74 D.49

【解析】滿足a≤32，第一次循環(huán)：S=1,n=2,a=8；滿足a≤32，第二次循環(huán)：S=9,n=3,a=16；滿足a≤32，第三次循環(huán)：S=25,n=4,a=24；滿足a≤32，第四次循環(huán)：S=49,n=5,a=32；滿足a≤32，第五次循環(huán)：S=81,n=6,a=40；接下來，因不滿足a≤32，所以循環(huán)結(jié)束，輸出S=81,故選B.

九、以復(fù)數(shù)為背景的數(shù)學(xué)文化題

1.(2017·重慶月考)歐拉公式eix=cosx+isinx(i為虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，根據(jù)歐拉公式可知，e2i表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中位于

( )

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

十、以推理證明為背景的數(shù)學(xué)文化題

( )

2.(2017·河北承德期中)遠(yuǎn)古時(shí)期，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，即“結(jié)繩計(jì)數(shù)”.下圖所示的是一位母親記錄的孩子自出生后的天數(shù)，在從右向左依次排列的不同繩子上打結(jié)，滿七進(jìn)一，根據(jù)圖示可知，孩子已經(jīng)出生的天數(shù)是

( )

A.336 B.510

C.1 326 D.3 603

【解析】由題意滿七進(jìn)一，可得該圖示為七進(jìn)制數(shù),化為十進(jìn)制數(shù)為1×73+3×72+2×7+6=510,故選B.