陜西 李 歆

在數(shù)學(xué)解題時(shí)，按照已經(jīng)熟悉的套路或者一定的模式去處理，固然很重要，但有時(shí)這樣做比較費(fèi)時(shí)、費(fèi)力，甚至陷入困境，如果能打破常規(guī)，因題而動(dòng)，學(xué)會(huì)捕捉有效的隱含信息，讓思維“靈動(dòng)”起來(lái)，那么往往能達(dá)到迅速快捷、出奇制勝的解題效果.

1.對(duì)某些線性規(guī)劃問(wèn)題，利用不等式的基本性質(zhì)，對(duì)約束條件中的同向不等式相加，可簡(jiǎn)化解題

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【分析】求解此類(lèi)問(wèn)題，通常都要先利用線性約束條件作出可行域，然后根據(jù)幾何意義找到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，但注意觀察約束條件，上面是兩個(gè)“≥”同向不等式，下面是兩個(gè)“≤”同向不等式，由此出發(fā)，即可利用不等式的基本性質(zhì)迅速求解.

【解】將不等式x≤0與y≤3，兩邊分別相加，得x+y≤3，當(dāng)且僅當(dāng)x=0，y=3時(shí)等號(hào)成立(此時(shí)約束條件中前兩個(gè)不等式也成立).故目標(biāo)函數(shù)z=x+y的最大值為3，故選D.

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A.2 B.3

C.4 D.5

【分析】約束條件中最上面是兩個(gè)“≤”同向不等式，相加后即可得到目標(biāo)函數(shù)不等式.

【解】將不等式2x-y≤0，x+2y-5≤0，兩邊分別相加，得3x+y≤5，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=1,y=2時(shí)成立(此時(shí)約束條件中第三個(gè)不等式也成立).所以3x+y的最大值為5,故選D.

【點(diǎn)評(píng)】如果要求3x+y的最小值，必須出現(xiàn)兩個(gè)“≥”同向不等式，而約束條件中已經(jīng)有了一個(gè)不等式x≥0，另一個(gè)可通過(guò)對(duì)不等式2x-y≤0變號(hào)，得-2x+y≥0，給前面的不等式兩邊乘以5后，再與后面的不等式兩邊分別相加，得3x+y≥0,當(dāng)且僅當(dāng)x=0,y=0時(shí)等號(hào)成立(此時(shí)約束條件中第二個(gè)不等式也成立).所以3x+y的最小值為0.

2.對(duì)某些二項(xiàng)式問(wèn)題，利用多項(xiàng)式乘法或者特殊值法，可思路順暢

【例2】(2017·浙江卷)已知多項(xiàng)式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,則a4=______ ,a5=

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【分析1】看到此題，一般會(huì)想到二項(xiàng)式定理，但因出現(xiàn)了兩個(gè)二項(xiàng)式相乘的問(wèn)題，給解題帶來(lái)了麻煩，考慮到兩個(gè)二項(xiàng)式的次數(shù)分別為3,2，不妨試一試多項(xiàng)式乘法.

【解法1】由于(x+1)3(x+2)2

=(x3+3x2+3x+1)(x2+4x+4)

=x5+(4x4+3x4)+(4x3+12x3+3x3)+(12x2+12x2+x2)+(12x+4x)+4

=x5+7x4+19x3+25x2+16x+4,

所以a4=16,a5=4.

【分析2】觀察多項(xiàng)式的展開(kāi)式，要求的兩項(xiàng)分別是一次項(xiàng)的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，易知常數(shù)項(xiàng)就是兩個(gè)二項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)相乘，而一次項(xiàng)的系數(shù)則是每個(gè)二項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)與另一個(gè)二項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)相乘的和.

【變式】已知多項(xiàng)式(x+1)4(x+2)3=x7+a1x6+a2x5+a3x4+a4x3+a5x2+a6x+a7,則a1+a3+a5=______ ,a2+a4+a6=______ .

【分析】很顯然，要求出a1，a2，a3，a4，a5,a6相當(dāng)麻煩，比較多項(xiàng)式兩邊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可以用賦值法求解.

【解】在多項(xiàng)式中，取x=0,得a7=8;

取x=1，得a1+a2+a3+a4+a5+a6=423 ①;

取x=-1，得a1-a2+a3-a4+a5-a6=-7 ②,

①加②，得a1+a3+a5=208，

①減②，得a2+a4+a6=215.

【點(diǎn)評(píng)】賦值法是一種常用的解題方法，若用得及時(shí)，用得巧妙，則具有“一兩撥千金”之效.

3.對(duì)某些含參數(shù)的絕對(duì)值函數(shù)的最值，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題，可化難為易

【分析】這是含有絕對(duì)值的函數(shù)最值問(wèn)題，通常都要把函數(shù)f(x)先化為分段函數(shù)，然后求解，但因此題中帶有參數(shù)，又增加了題目的難度.如果利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)：|f(x)|≤a?-a≤f(x)≤a，那么就可以化難為易.

【點(diǎn)評(píng)】此解巧妙地利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和不等式恒成立時(shí)的條件，使問(wèn)題迎刃而解，這說(shuō)明靈活地運(yùn)用課本上的基礎(chǔ)知識(shí)和已經(jīng)熟悉的解題方法，可以達(dá)到出奇制勝的解題效果.

【解】參考上述例3的解析過(guò)程,易得所求a的取值范圍為(-∞,0].

4.對(duì)某些數(shù)列不等式的證明，將“通項(xiàng)公式”放縮轉(zhuǎn)化為“通項(xiàng)”放縮，可轉(zhuǎn)危為安

【例4】(2014·全國(guó)卷Ⅱ理)已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=3an+1.

綜上可知,所證不等式成立.

【變式】已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=3an+2.

(Ⅰ)求{an}的通項(xiàng)公式；

【分析】第(Ⅰ)問(wèn)比較簡(jiǎn)單，由an+1+1=3(an+1)，可得數(shù)列{an+1}是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，所以an=2×3n-1-1.

【證明】由an+1=3an+2，得an+1>3an，

當(dāng)n≥2時(shí),由③式，

綜上可知,所證不等式成立.

【點(diǎn)評(píng)】觀察②式和③式，竟然是同一個(gè)不等式，雖然它們獲得的放縮過(guò)程不同，但是都繞過(guò)了對(duì)“通項(xiàng)公式”的放縮，將放縮的目標(biāo)都聚焦到“an”上，突破點(diǎn)是完全相同的.所以，同學(xué)們要養(yǎng)成“題不變我不變”“題若變我必變”的解題戰(zhàn)略思想，不斷提升用不同的方法去解同一道數(shù)學(xué)題的能力.

“數(shù)學(xué)是鍛煉思維的體操”.數(shù)學(xué)解題中的思維，根在課本，源自基礎(chǔ)，思維“靈動(dòng)”并非胡思亂想、奇思妙想、突發(fā)奇想，而是針對(duì)不同的問(wèn)題和條件，讓思維靈活運(yùn)轉(zhuǎn)，既排除困難，又繞過(guò)麻煩，合理選擇最佳的解題策略.做數(shù)學(xué)人，解數(shù)學(xué)題，非一日之功.常言道，熟能生巧，希望同學(xué)們熟通法之大道，生靈動(dòng)之精巧，悟解題之真諦.