福建 黃清波

2017年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅰ理科第21題是一道函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合的壓軸題，這類問題含有參數(shù)從而使得要解決的問題處于動態(tài)變化之中，這對考生分析應(yīng)用知識、尋找合理的運算策略以及推理論證能力提出較高要求，多數(shù)考生“能懂會做”，但“對而不全”.為此，筆者進行了解題研究，探尋解題關(guān)鍵.

一、試題再現(xiàn)

【題目】已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x．

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍．

【解析】(1)利用導(dǎo)數(shù)知識，易得當a≤0時，f(x)在R上單調(diào)遞減；

(2)(ⅰ)若a≤0，由(1)知，f(x)至多一個零點.

(ⅱ)若a>0，由(1)知，

故f(x)只有一個零點;

則f(n0)=en0(aen0+a-2)-n0>en0-n0>2n0-n0>0.

綜上，0

二、存在困惑

三、釋疑解惑

在《普通高中課程標準試驗教科書·數(shù)學(xué)2-2(選修)》(人教A版)習(xí)題1.3的B組第1題(3)，利用函數(shù)單調(diào)性，證明不等式ex>x+1(x≠0).其進一步變形可得x>ln(x+1)，x-1>lnx等很多新的結(jié)論.

若n-2≥1，(n-2)·x-lnx≥x-lnx≥1.

所以我們只要考慮n-2≥1，即n≥3.

四、內(nèi)化應(yīng)用

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)f(x)有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍．

【解析】(1)利用導(dǎo)數(shù)知識，易得當a≤0時，

f′(x)<0，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減；

(2)由(1)知，當a≤0時，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，故f(x)在R上至多一個零點，不滿足條件．

則g(a)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，令g(a)=0，得a=e3,

故當0

當a=e3時，g(a)=0；

當a>e3時，g(a)>0.

若a>e3，則f(x)min=g(a)>0，

故f(x)>0恒成立，f(x)無零點，不滿足條件．

若a=e3，則f(x)min=0，

令h(x)=(x-1)-lnx，x>0.

所以h(x)≥h(1)=0，即(x-1)-lnx≥0，

故x-lnx≥1.

綜上，若0

綜上，所求實數(shù)a的取值范圍是(0,e3)．

【變式2】(2013·江蘇卷·20)設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-ax，g(x)=ex-ax，其中a為實數(shù).

(Ⅰ)若f(x)在(1,+∞)上是單調(diào)減函數(shù)，且g(x)在(1,+∞)上有最小值，求a的取值范圍；

(Ⅱ)若g(x)在(-1,+∞)上是單調(diào)增函數(shù)，試求f(x)的零點個數(shù)，并證明你的結(jié)論.

【解析】(Ⅰ)略.

(Ⅱ)由于g(x)在(-1,+∞)上是單調(diào)增函數(shù)，解得a≤e-1.

①當a=0或a=e-1時，容易證明函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為1；

②當a<0時，f(1)=-a>0，先證明lnx-x+1≤0(證略).

則f(b)=lnb-ab=lnb-b+1+(1-a)b-1<(1-a)b-1<0.

所以f(x)在(b,1)上存在零點.

又f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上只有一個零點.

③當0

當x∈(0,a-1)時，f′(x)>0，

當x∈(a-1,+∞)時，f′(x)<0.

又a-1>e，所以f(a-1)=lna-1-a·a-1=lna-1-1>0.

由f(1)=-a<0，所以f(x)在(1,a-1)上存在零點，又f(x)在(0,a-1)上單調(diào)遞增.

所以f(x)在(0,a-1)上只有一個零點.

下面考慮f(x)在(a-1,+∞)上的情況，需證明不等式ex>x2(x>e).

令h(x)=ex-x2，則h′(x)=ex-2x，

再設(shè)l(x)=h′(x)=ex-2x，則l′(x)=ex-2.

當x>1時，l′(x)=ex-2>e-2>0，

所以l(x)=h′(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增.

h′(x)=ex-2x>e-2>0，

所以h(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增.

h(x)=ex-x2>e-1>0,所以，當x>e時，ex>x2，

又因為a-1>e，所以a-2-ea-1<0.

取一個正數(shù)m=ea-1>a-1，

則f(m)=f(ea-1)=lnea-1-a·ea-1=a(a-2-ea-1)<0.

所以f(x)在(a-1,+∞)上存在零點，

又f(x)在(a-1,+∞)上單調(diào)遞減.

所以f(x)在(a-1,+∞)上只有一個零點.

綜上，當a≤0或a=e-1時，f(x)的零點個數(shù)為1；

當0