廣東 楊偉達

高考試題源于教材，又高于教材．縱觀近幾年高考數(shù)學(xué)題，許多高考試題在教材中都有呈現(xiàn)，進而找到了試題的“活化石”．因此，回歸教材就是在高考題中找到教材中的“活化石”，感悟著“活化石”帶來的數(shù)學(xué)味道．

一、題目再現(xiàn)

題目(高中人教版必修5 P18練習(xí)第2題) 一塊四邊形土地的形狀如圖所示，它的三條邊的長度分別是50 m，60 m，70 m，兩個內(nèi)角是127°和132°，求四邊形的面積(精確到0.01)．

分析這是一道生活中的數(shù)學(xué)題，在翻閱教材時引起了筆者的注意，于是撿回了此題，查閱教師教學(xué)用書，可在教參里只提供了答案，沒有詳細(xì)的解答過程，或許該題運算繁雜、方法復(fù)雜，或許是練習(xí)題的緣故，沒有引起師生重視．對此筆者感到在生活中數(shù)學(xué)無處不在，加上解決此題的思想、方法來自生活實踐，覺得很值得探討．

二、解法探究

思路一(分割+正、余弦定理)

分析對于這樣的不規(guī)則的四邊形，沒有直接計算面積的方法，于是采用分割法把四邊形分成兩個三角形，分別求出兩個三角形的面積，以和的形式求得四邊形的面積．

解法1如圖，連接AC，

在△ADC中，根據(jù)余弦定理得

AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos∠ADC

=502+602-2×50×60×cos127°

≈9 710.89，

所以AC≈98.54 m.

求得sin∠ACD≈0.405 2,

所以∠ACD≈23.9°(銳角),

因為∠ACB=132°-∠DCA=132°-23.9°=108.1°,

所以S四邊形ABCD=S△ACD+S△ACB

≈4 476.19 m2.

思路二(補形+正弦定理)

分析對于這樣的不規(guī)則的四邊形，沒有直接計算面積的方法，于是采用補形法把四邊形補角還原成一個大三角形，分別求出兩個三角形的面積，以差的形式求得四邊形的面積．

解法2如圖,∠ADC，∠DCB分別是△DEC的外角

因為∠ADC=127°，∠DCB=132°,

所以∠EDC=53°，∠ECD=48°,

所以∠E=180°-∠EDC-∠ECD

=180°-53°-48°

=79°,

解得ED≈45.42 m，EC≈48.81 m,

所以EA≈95.42 m，EB≈118.81 m,

所以S四邊形ABCD=S△EAB-S△ECD

≈4 476.17 m2.

思路三(向量數(shù)量積+正弦定理)

分析對于這樣的不規(guī)則的四邊形，沒有直接計算面積的方法，因題設(shè)給出了兩角和三邊，采用向量法求出該四邊形的另一邊長，再分別求出兩個三角形的面積，以和的形式求得四邊形的面積．

解法3依題可知，如圖,在四邊形中，

∠ADC=127°，∠DCB=132°,

即502+602-2×50×60×cos127°=137.462+702-2×137.42×70cos∠B,

解得∠B≈42.96°,

所以S四邊形ABCD=S△ACD+S△ACB

≈4 476.65 m2.

三、解后反思

由于高中數(shù)學(xué)必修5第一章第二節(jié)練習(xí)第2題是生活中的數(shù)學(xué)，是現(xiàn)實生活中的實際情況，卻因題設(shè)條件的數(shù)值不是特殊數(shù)值，往往需要用計算器，所以給學(xué)生帶來不少運算困難．其次，筆者發(fā)現(xiàn)用計算器算出答案與教材給出的答案有小小誤差．究其原因，筆者在每步運算中取小數(shù)點后兩位數(shù)導(dǎo)致的，所以存在誤差是正常的．再次，解決此問題的思想、方法來自生活中的實踐經(jīng)驗．一種是分割思想；另一種是拼圖(補形)思想．歸根到底就是回歸到最簡單、最基本的圖形——“三角形”中．對這樣一個“不起眼”的練習(xí)題，筆者在教學(xué)上做了兩種方式處理：一種方式強調(diào)以學(xué)生為主，在講學(xué)稿上做文章，降低難度，減少運算量，修改條件，使題目更接“地氣”，更接近學(xué)生的思維水平；另一種方式強調(diào)學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，教師在講授新課后布置作業(yè)給學(xué)生，讓學(xué)生慢慢體驗其學(xué)習(xí)過程，突顯學(xué)生掌握知識的深刻性．這往往需要學(xué)生在熟練掌握三角形的正、余弦定理基礎(chǔ)上，靈活運用這些定理解決實際生活問題．

1.優(yōu)化條件

美國教育心理學(xué)家奧蘇貝爾說過：“影響學(xué)習(xí)最重要的原因是學(xué)生已經(jīng)知道了什么，我們應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)生原有的知識狀況進行教學(xué)．”因此，數(shù)學(xué)問題要找準(zhǔn)學(xué)生學(xué)習(xí)的最近發(fā)展區(qū)，才能架起學(xué)生現(xiàn)有情況與潛在發(fā)展水平之間的橋梁，尋找屬于他自己的解題策略．這就要求教師對數(shù)學(xué)問題進行適當(dāng)?shù)膬?yōu)化．

優(yōu)化策略一、把條件的數(shù)值改為特殊值，便于運算．

優(yōu)化策略二、減少某一條件，將設(shè)問部分改為最值問題．

本題從方程的角度考慮，常見“知三求一”“知二求一”.因此，筆者試圖嘗試減少某一條件，將設(shè)問部分改為最值問題．此時原問題就變?yōu)楹瘮?shù)問題，更改后難度增大．

【變式三】四邊形ABCD，AB=1，CD=2，∠ABC=∠BCD=60°,問：當(dāng)BC邊長取何值時，四邊形ABCD的面積最小，最小值為多少？

2.把握方向

通過教材練習(xí)題的學(xué)習(xí)，加深了對三角形正、余弦定理的理解和掌握，提高了學(xué)生的分析問題、解決問題的能力，從而駕馭一些高考試題就會得心應(yīng)手．

策略一、鏈接高考考究真題

例1(2015·全國卷理·16)在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是______ ．

分析求解此題的方法：回歸到三角形中．用傳統(tǒng)方法處理，作輔助線把四邊形分為兩個三角形，設(shè)未知量，用正弦定理求解，運算復(fù)雜，學(xué)生只能望而止步；用極端思想處理，在保持題目條件不變的情況下，平移AD，就會變?yōu)閮蓚€特殊的三角形，再用正弦定理可求得AB的極端值．這樣運算簡便、快捷．

解動態(tài)審視(1)四邊形ABCD，保持BC=2及∠B=∠C=75°固定，延長BA，CD交于E，平移AD，此時當(dāng)A與D重合于E點時，AB最長.

在△BCE中，∠B=∠ECB=75°，∠E=30°，BC=2,

動態(tài)審視(2)四邊形ABCD，保持BC=2及∠A=∠B=75°固定，平移AD，當(dāng)D與C重合時，此時與AB交于F，AB最短.

在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°,

策略二、模擬高考貼近生活

分析本題涉及航程問題．四個城市A，B，C，D可組成一個四邊形ABCD，其實是解三角形的應(yīng)用問題．解決此問題涉及多次用到正、余弦定理、勾股定理，運算繁雜，難度較大．先算AC，再求得cos∠ACD，然后算AD，再求∠CAD，最后求得EC．

解設(shè)輪船航行到E點時改向城市C直線航行.

連接AC，EC.依題可得AE=50,

在△ABC中,∠ABC=60°，AB=80,

則AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC,

又因為∠BCD=135°，

所以∠ACD=135°-∠ACB,

所以AD2+AC2=CD2,

所以△ACD為直角三角形,∠CAD=90°,

其實，許多多邊形(包括四邊形)都是在三角形基礎(chǔ)上“砍角”形成的．因此，回歸三角形是解決有關(guān)多邊形的常用方法．同樣，有關(guān)四邊形的數(shù)學(xué)問題可以通過“分割”和“補形”回歸到三角形中，再運用三角形正、余弦定理，從而達到對問題的求解．

四、結(jié)束語

總之，教師一方面要深刻領(lǐng)悟教材編寫者的意圖；另一方面又不能拘泥于教材，在課堂教學(xué)中要敢于突破教材，進而對教材再創(chuàng)新，賦予教材新的活力．