內(nèi)蒙古 姬恩澤

數(shù)學語言分為文字語言、符號語言和圖形語言,它們在闡述數(shù)學問題時互相補充、互相印證.圖形作為一種數(shù)學語言,以其直觀性與形象性,支起了數(shù)學的半壁江山,華羅庚先生說“數(shù)無形時少直覺”.圖形語言是以結(jié)構聯(lián)系為對象的關系語言形式,是一種視覺語言,它為數(shù)學對象、性質(zhì)提供直觀的對應關系模型,有利于形成直接印象和直覺思維.“枯燥而無趣”的數(shù)學問題在“圖形”的幫助下,才有了“生命力”.

可見,圖形在數(shù)學解題中起到很重要的作用,有些數(shù)學問題在沒有圖形輔助的情況下,解題思維幾乎無法開展.正是因為數(shù)學知識的呈現(xiàn)離不開圖形,所以圖形是解決數(shù)學問題的“突破口”.但是,通常我們在解題時都是徒手作圖,也就是我們畫出的是“草圖”,如果這么重要的圖形一旦出現(xiàn)了偏差,解題結(jié)果注定是錯誤的.可見,圖形的精準性實在不容小覷.下面結(jié)合具體問題列舉并簡析常見的圖形偏差,誠望引起大家的切實重視.

(1)求橢圓的方程；

(2)已知過T(0,2)的直線l與橢圓C交于A,B兩點,若在x軸上存在一點E,使∠AEB=90°,求直線l的斜率k的取值范圍.

解得k<-2或k>2,故直線l的斜率k的取值范圍是k<-2或k>2.

【錯誤分析】這個解題思路似乎“合情合理,順理成章”,但是結(jié)果是錯誤的！那么究竟錯在哪里了呢？再回頭看看本題中的圖形,仔細推敲,可以發(fā)現(xiàn)圖中有一個嚴重的漏洞,因為點A,B都是動點,即線段AB的長度不固定,從而作出的圓大小不定,故該圓的直徑兩個端點A,B兩點分別位于x軸的上側(cè)和下側(cè)是錯誤的,那么A,B這兩個點的縱坐標也就不一定異號,如圖所示,即y1y2<0是不對的,故y1y2<0是導致結(jié)論錯誤的“罪魁禍首”.

(2)【正解】設A(x1,y1),B(x2,y2),AB中點M(x0,y0),

消去y,得(k2+3)x2+4kx+1=0,

且Δ=12k2-12≥0,

所以k≤-1或k≥1,……①

若在x軸上存在一點E,使∠AEB=90°,

【例2】設橢圓上存在一點P,它與橢圓中心O的連線和它與長軸一個端點的連線互相垂直,則橢圓離心率的取值范圍是________.

【例3】若函數(shù)f(x)=x·ex+m有且只有兩個零點,求實數(shù)m的取值范圍________.

【錯解】令f(x)=x·ex+m=0,

則m=-x·ex,令g(x)=-x·ex,

則g′(x)=-ex-x·ex=-ex(x+1),

令g′(x)=0,得x=-1,

當x<-1時,g′(x)>0,

故函數(shù)g(x)在(-∞,-1)上是增函數(shù)；

當x>-1時,g′(x)<0,

故g(x)在(-1,+∞)上是減函數(shù)；

故函數(shù)f(x)圖象大致如圖所示,

而函數(shù)f(x)=x·ex+m有且只有兩個零點,

【錯誤分析】這個解題思路也似乎“順理成章”,但是結(jié)果卻是錯誤的！那么究竟錯在哪里了呢？回顧解題思路,由函數(shù)g(x)在(-∞,-1)上是增函數(shù),在(-1,+∞)上是減函數(shù),我們“隨心所欲”作出的函數(shù)圖象“出問題”了,因為通常情況下,一個函數(shù)在x=-1兩側(cè)的單調(diào)性相反,很自然的就畫出類似拋物線的形狀,但是,這里面含了一個特殊函數(shù)y=ex,它的值域恒正的特性被忽視,從而導致了圖象出錯.

【正解】令f(x)=x·ex+m=0,

則m=-x·ex,令g(x)=-x·ex,

則g′(x)=-ex-x·ex=-ex(x+1),

令g′(x)=0,得x=-1,當x<-1時,g′(x)>0,

故函數(shù)g(x)在(-∞,-1)上是增函數(shù)；

當x>-1時,g′(x)<0,

故g(x)在(-1,+∞)上是減函數(shù)；

所以當x=-1時函數(shù)g(x)有最大值,

另外,由于當x<0時0

則g(x)=-x·ex>0；

當x>0時ex>1,則g(x)=-x·ex<0；

且當x=0時g(0)=0,則函數(shù)g(x)的圖象如圖所示,

( )

【錯誤分析】這個解題思路貌似正確,而且備選四個答案中也有這個結(jié)果,但是答案是不正確的,那么問題出在哪里了呢？回顧解題的過程非常合情合理,唯一可能出現(xiàn)錯誤的只有我們畫出的“草圖”,因為是徒手作圖,所以不免有“誤差”,可能導致圖形“失真”,從而點、線的位置關系不準確,才導致錯誤.通過電腦精確作圖,發(fā)現(xiàn)這里點D的位置是不正確的,過點D向可行域的邊界AB作垂線段,發(fā)現(xiàn)垂足并不落在邊界AB上！也就是說我們求出來的最優(yōu)解并不在可行域內(nèi),從而導致結(jié)論錯誤.

總之,準確的數(shù)學圖形在解題過程中起到了舉足輕重的作用,它能迅速明確題目中的各個元素、變量之間的關系,清晰地提取出關鍵條件,甚至是題目中的隱含條件,也只有恰當?shù)睦昧诉@些幾何圖形及其特點,才能建立幾何概念,理解幾何關系,并應用這些概念和關系建立起數(shù)學模型,迅速找到解題思路.