寧夏 張 興 朱全林

立體幾何在人們生活、生產(chǎn)建設(shè)中有廣泛的應(yīng)用，是高中數(shù)學(xué)的必學(xué)、必考內(nèi)容，從近十年高考試題的考點(diǎn)分布既可以看出命題的發(fā)展變化趨勢，又能發(fā)現(xiàn)目前考題的熱點(diǎn)和未來可能要考查的邊緣知識點(diǎn)，所以研究立體幾何試題的呈現(xiàn)特點(diǎn)及其解答方法，不但可以幫助學(xué)生學(xué)好這部分知識，提高成績，更重要的是能夠提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

一、試題考點(diǎn)分布統(tǒng)計

新課標(biāo)從2007年開始到2017年文、理共計36套題，其難度基本屬于中、低檔題目，注重考查基本幾何體的結(jié)構(gòu)特征、幾何元素之間的位置與數(shù)量關(guān)系、體積和面積等，主要考查學(xué)生空間想象能力、推理論證能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力和運(yùn)算求解能力.文、理科試題的選材背景基本一致，只有解答題第二問的能力要求層次略有不同.文、理科客觀性小題共計72道，解答題36道.其中涉及幾何體綜合解答題36道，三視圖的30道，球與其他幾何體的組合體27道，體積、面積、角和距離計算的8道，判斷空間元素位置關(guān)系的有7道，發(fā)現(xiàn)文、理科均有2個小題和1個大題，小題以三視圖和球的組合體為主，大題以正、直多面體為背景，具體包括證明垂直與平行關(guān)系、計算體積和面積、求二面角的平面角或直線與平面所成的角三大類.總的來看依據(jù)考綱，面面俱到，緊扣考綱，注重基礎(chǔ)，多次考查被遺忘的內(nèi)容.

二、典型例題解法探析

題型一、空間幾何體的三視圖與直觀圖

【例1】(2017·全國卷Ⅰ理·7)某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形，該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為

( )

A.10 B.12

C.14 D.16

【解析】由三視圖可畫出立體圖如圖所示，該立體圖各個面中只有兩個相同的梯形的面，S梯=(2+4)×2÷2=6，S全梯=6×2=12，故選B.

【探析】本例由三視圖構(gòu)建直觀圖，然后利用給出的數(shù)量，計算出梯形的面積之和.這類題型近十年出現(xiàn)30道，它主要考查三視圖及其相關(guān)知識、技能的掌握與運(yùn)用，指向于學(xué)生的空間想象能力，識圖、構(gòu)圖及其動手操作能力，計算求解能力.解答這類題：第一，要讓學(xué)生掌握三視圖的基本概念及特征；第二，熟練掌握常見基本幾何體的三視圖與直觀圖的結(jié)構(gòu)特征；第三，掌握由三視圖構(gòu)建直觀圖的程序化步驟，即俯視圖定下底面、正視圖結(jié)合側(cè)視圖定上底面、綜合建構(gòu)直觀圖；第四，能夠把三視圖的數(shù)量轉(zhuǎn)化為直觀圖中的數(shù)量，再完成題目要求的計算.

題型二、球與多面體或旋轉(zhuǎn)體的組合體

【例2】(2016·全國卷Ⅲ理·10)在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，則V的最大值是

( )

題型三、空間元素位置關(guān)系的定性判斷

【例3】(1)(2017·全國卷Ⅲ理·16)a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：①當(dāng)直線AB與a成60°角時，AB與b成30°角；②當(dāng)直線AB與a成60°角時，AB與b成60°角；③直線AB與a所成角的最小值為45°；④直線AB與a所成角的最大值為60°，其中正確的是________.(填寫所有正確結(jié)論的編號)

( )

A．AC⊥BE

B．EF∥平面ABCD

C．三棱錐A-BEF的體積為定值

D．△AEF的面積與△BEF的面積相等

【解析】(1)構(gòu)造如圖正方體，用EB表示a,BD表示b,當(dāng)B在邊BD上從D到B運(yùn)動時，就會發(fā)現(xiàn)Rt△ABC位于Rt△ADC位置時，AB與BD垂直、與EB成45°角，從D到B沿直線DB運(yùn)動時，AB與BD所成的角在減小、與EB所成的角在增大，就會發(fā)現(xiàn)居于Rt△ABC位置時兩角相等且為60°角，故選②③.

【探析】本例(1)構(gòu)建空間模型，在點(diǎn)、線的運(yùn)動變化過程中逐步確定答案；(2)運(yùn)用空間元素位置關(guān)系的定義、公理和定理，結(jié)合具體的數(shù)值計算確定答案.這類題近十年共出現(xiàn)了7道，主要考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯思維能力和分析解決問題能力.解答這類題：第一，要從整體的角度把握構(gòu)成基本幾何體上的線、面的結(jié)構(gòu)特征.第二，要熟練掌握空間內(nèi)直線與平面各種位置關(guān)系的定義、判定、性質(zhì)及其特征，能夠在幾種平行或垂直關(guān)系間進(jìn)行轉(zhuǎn)化和化歸.第三，在具體判斷位置關(guān)系時，有兩種思路，一種是用概念、公理和定理去檢驗，排除不適合條件的選項而確定答案；另一種是構(gòu)建空間模型在圖形的動態(tài)演示中，獲取正確的答案.

題型四、有關(guān)長度、距離、角度、面積和體積等問題的定量計算

【例4】(2017·全國卷Ⅱ理·10)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為

( )

【探析】本例求異面直線所成的角，采用平移法構(gòu)造三角形，計算三邊長，用余弦定理求夾角，是教材要求掌握的最基本方法.像這類求異面直線所成的角、直線與平面所成的角、點(diǎn)面距、面積和體積的客觀性小題近十年出現(xiàn)了7道，它側(cè)重于考查“三基”.解答這類題：第一，要加強(qiáng)對立體幾何本質(zhì)(大小、形狀和位置)的理解，掌握長度、距離、角度、面積和體積的相關(guān)概念和公式；第二，要重視通性通法的訓(xùn)練，特別是平移法、體積法、向量法、變換視角方位法等.

題型五、正或直多面體的綜合解答題

(Ⅰ)求證：AC⊥SD；

(Ⅱ)若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大??；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下，側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，試說明理由.

【解析】解法一：(Ⅰ)連接BD，設(shè)AC交BD于O，由題意SO⊥AC.在正方形ABCD中，AC⊥BD，所以AC⊥平面SBD,得AC⊥SD.

【探析】本例以正四棱錐為載體，考查空間內(nèi)線面平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化和二面角的平面角.其中(Ⅱ)可以用定義法即一作二證三計算處理，也可以建立空間直角坐標(biāo)系，用向量的夾角公式進(jìn)行計算.(Ⅲ)為探索性問題，重在考查學(xué)生分析和解決問題的能力.

【例5】(2014·全國卷Ⅱ文·18)如圖，四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn).

(Ⅰ)證明：PB∥平面AEC;

【解析】(Ⅰ)設(shè)BD與AC的交點(diǎn)為O，連接EO.因為ABCD為矩形，所以O(shè)為BD的中點(diǎn).又E為PD的中點(diǎn)，所以EO∥PB，EO?平面AEC，所以PB∥平面AEC.

【探析】本例以有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐為載體，考查空間內(nèi)線面平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化與化歸，以及運(yùn)用體積法求點(diǎn)面距.

【例6】(2017·全國卷Ⅲ理·19)如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．

(Ⅰ)證明：平面ACD⊥平面ABC；

(Ⅱ)過AC的平面交BD于點(diǎn)E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角D-AE-C的余弦值．

【解析】(Ⅰ)由題設(shè)可得，△ABD≌△CBD,從而AD=DC.又△ACD是直角三角形，所以∠ADC=90°.取AC的中點(diǎn)O，連接DO,BO,則DO⊥AC,DO=AO.

又由于△ABC是正三角形，故BO⊥AC.所以∠DOB為二面角D-AC-B的平面角，在Rt△AOB中，BO2+AO2=AB2.又AB=BD，所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2，故∠DOB=90°,故平面ACD⊥平面ABC.

【探析】本例以底面為正三角形的三棱錐為載體，考查空間內(nèi)線面垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化與化歸，運(yùn)用邏輯推理在已知條件下不難得出.同時考查二面角的基礎(chǔ)知識，在建立空間直角坐標(biāo)系之后，運(yùn)用向量的夾角即可求出.

近十年高考立體幾何綜合解答題類似于上述例4、5、6，均為常見幾何載體，其中錐體23個，主要包括三棱錐和四棱錐；線體5個(上底為一條線，包括平放的三棱柱)；正方體8個.這些幾何體有兩大特征，其一“正”即有正三角形或正方形的面；其二“直”即側(cè)棱垂直底面、側(cè)面垂直底面或直多面體.這些特征是解答題的基本切入點(diǎn)，“正”為定量問題，其中必有相等關(guān)系；“直”為定性問題，其中必有垂直關(guān)系，而且垂直關(guān)系為建立空間直角坐標(biāo)系埋下伏筆，為利用向量解答提供的了可能.出現(xiàn)的問題有四大類，其中涉及垂直關(guān)系的21道，與體積相關(guān)的問題17道,涉及二面角的平面角的15道，涉及平行關(guān)系的12道，文科以體積問題為主，理科以二面角的平面角為主.主要考查空間內(nèi)線面位置關(guān)系以及二面角和體積的計算，指向?qū)W生空間想象能力、邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力.在正或直多面體的綜合解答題教學(xué)中：第一，要重視“三基”的掌握；第二，重視典型例題的教學(xué);特別地，要注意運(yùn)用邏輯知識分析例題內(nèi)容，探查已知和未知之間可能存在的因果鏈接，準(zhǔn)確表述邏輯過程.

三、教學(xué)建議

1.夯實知識基礎(chǔ)，構(gòu)建立體網(wǎng)絡(luò)化的知識結(jié)構(gòu)

要從整體的角度把握幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征，對于其上的點(diǎn)、線、面位置關(guān)系要有深刻的認(rèn)識.尤其在例題教學(xué)中要突出線線、線面和面面三類幾何元素關(guān)系的本質(zhì)特征，即它們分別處于平行、相交、垂直時的定量特征與定性特征，強(qiáng)調(diào)知識之間的內(nèi)在邏輯聯(lián)系.重視例題教學(xué)后的類化、變化和歸化，這樣可以由點(diǎn)及線、由線及面，形成知識之間網(wǎng)絡(luò)化的邏輯結(jié)構(gòu).如“欲證線面平行，只需線線平行”變化之后就是“欲證面面平行，只需線面平行”；歸化之后就是指“線面關(guān)系退一步變?yōu)榫€線關(guān)系，進(jìn)一步變?yōu)槊婷骊P(guān)系”.明確了線面關(guān)系在線線、線面和面面關(guān)系中的核心地位，這樣證明線線平行、面面平行也就有了方向和思路.

2.強(qiáng)化空間觀念，培養(yǎng)學(xué)生空間想象和思維能力

要從直觀感知開始發(fā)展學(xué)生的空間觀念，讓學(xué)生通過觀察實物模型、動手做幾何模型、多媒體課件等進(jìn)行直觀感知，在直觀感知的基礎(chǔ)上發(fā)展理性思維.在例題教學(xué)中要重視識圖、畫圖和用圖能力的培養(yǎng)，要讓學(xué)生能夠畫出空間幾何體的三視圖與直觀圖，并能在二者之間進(jìn)行無障礙的轉(zhuǎn)化.要引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度去觀察和分析幾何體的特征，拓展學(xué)生視野，培養(yǎng)空間想象和思維能力.

3.重視思想方法教學(xué)，提高學(xué)生的解題能力

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識的靈魂，對數(shù)學(xué)思想方法的把握是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的體現(xiàn).在教學(xué)中重視函數(shù)與方程思想的培養(yǎng)，要在幾何元素的運(yùn)動變化過程中，分析具體問題所包含的變量關(guān)系，也可以在空間線、面的動態(tài)演示中獲取答案，如上述例3(1).要把立體幾何中的數(shù)學(xué)公式當(dāng)作方程運(yùn)用，把幾何問題中的最大、最小化問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值進(jìn)行處理，如上述例2.這些都是立體幾何創(chuàng)新試題著陸點(diǎn).在教學(xué)中要突出化歸與轉(zhuǎn)化的思想培養(yǎng)，如平行與垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化、空間平面化、幾何向量化等，要能夠借助于數(shù)學(xué)知識和方法，將給出的問題化難為易、化繁為簡、化生為熟，將抽象問題具體化，把等待解決的問題化為一個成熟的、能解決的問題.

4.突出“兩法四題型”，在解題訓(xùn)練中提高素養(yǎng)

對計算距離、長度、角度、面積、體積等問題的通性通法要熟練掌握.“兩法”即向量法和綜合法.向量法解決立體幾何解答題，實現(xiàn)了幾何問題代數(shù)化，降低了構(gòu)造圖形和推理論證的難度，更有利于問題的解決，而且解答過程具有程序化的步驟，便于掌握，每年的解答題，幾乎都可以用.綜合法是數(shù)學(xué)推理論證的主要方法，對于培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力具有非常重要的意義，它的“一作二證三計算”解題模式要牢牢掌握.重視“四題型”的訓(xùn)練，即垂直與平行關(guān)系的證明、二面角的求法、球的組合體中的計算、三視圖還原直觀圖再計算體積或表面積.