王 博 達

(武漢大學土木建筑工程學院,湖北 武漢 430000)

蠕變廣泛存在于各類巖石之中，在工程中，巖石的蠕變對于圍巖的穩(wěn)定性有著十分重要的影響，因此，對于巖石蠕變行為的研究顯得十分重要。在目前大多數(shù)研究中，是以構(gòu)建巖石的蠕變模型，通過對模型的研究模擬巖石的力學行為。其中，伯格斯體和西原體因能較好的模擬巖石的蠕變行為而得到廣泛應(yīng)用。

典型的巖石蠕變曲線分為三個階段，減速蠕變階段、等速蠕變階段、加速蠕變階段。傳統(tǒng)的伯格斯模型能較好的模擬巖石的減速蠕變階段與等速蠕變階段，而無法反映加速蠕變階段。因傳統(tǒng)的伯格斯模型中的流變參數(shù)為定常數(shù)，因此筆者猜想將定常數(shù)改變?yōu)榉嵌ǔ?shù)，是否可以達到模擬巖石的加速蠕變階段的目的。由于粘性系數(shù)隨著巖石的破壞而不斷減小，直至減小為0時，巖石破壞。同時，為了簡化問題，僅考慮伯格斯體中串聯(lián)粘壺粘性系數(shù)隨時間的變化，令η1(t)=η10e-αt。

伯格斯體力學模型可看作是馬克斯威爾體與凱爾文體串聯(lián)而成，力學模型見圖1。

1 本構(gòu)方程

建立伯格斯體本構(gòu)方程的方法是將開爾文體的應(yīng)力σK、應(yīng)變εK與馬克斯威爾體的應(yīng)力σM、應(yīng)變εM分別作為一個元件的應(yīng)力、應(yīng)變，然后按照巖石的串聯(lián)規(guī)則，可以求出整個模型的本構(gòu)方程。

對于凱爾文體，因為其流變參數(shù)仍為定常數(shù)，因此可以直接求得本構(gòu)方程，即:

(1)

對于馬克斯威爾體，因為其流變參數(shù)為非定常數(shù)，因此需重新建立起本構(gòu)方程。

對于彈性元件：

σ1=E1×ε1

(2)

對于牛頓粘壺：

(3)

根據(jù)串聯(lián)關(guān)系，σM=σ1=σ2，εM=ε1+ε2。將式(2)求導(dǎo)，可得:

(4)

將式(3)÷η1與式(4)÷E1相加，經(jīng)過變形可以得到馬克斯威爾體的本構(gòu)方程，即：

(5)

其中,η1(t)=η10e-αt。

由于伯格斯力學模型可以看作是由馬克斯威爾體與凱爾文體的串聯(lián)，因此可以根據(jù)串聯(lián)關(guān)系求得伯格斯模型的本構(gòu)方程：

σ=σK=σM,ε=εK+εM。

將式(1)對t求導(dǎo)，可得：

(6)

將式(5)對t求導(dǎo)，可得：

(7)

將式(5)×E2，式(7)×η2，與式(6)相加，即可得非定常參數(shù)伯格斯體的本構(gòu)方程，即：

(8)

2 蠕變方程

伯格斯模型的蠕變方程，即由馬克斯威爾體的蠕變方程與凱爾文體的蠕變方程相加，即可得到：

(9)

其中，σ0為常數(shù)。

對于馬克斯威爾體蠕變方程為：

(10)

將式(10)積分，可得到通解:

(11)

(12)

將式(9)與式(12)相加，即可得到非定常參數(shù)伯格斯體的蠕變方程：

(13)

將式(13)對時間t進行求導(dǎo)，可以得到蠕變曲線的斜率，即：

(14)

3 結(jié)語

1)通過將伯格斯體模型中的粘性參數(shù)看為非定常數(shù)，可以較好地模擬巖石蠕變的第三個階段。2)本文借助數(shù)學的方法，運用了簡單的數(shù)學推導(dǎo)，結(jié)合巖石力學的有關(guān)知識，對蠕變模型進行了研究，為以后的研究提供了一種新的思路，使之不僅局限于結(jié)合實際工程才能得出結(jié)論，可以通過數(shù)學的演算，預(yù)先推演出符合材料的幾種公式，再利用實驗數(shù)據(jù)，找到最契合的模型。