張曉雪　　　　　　　　　　　　　代　欽

(內(nèi)蒙古師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院　010022)　(內(nèi)蒙古師范大學(xué)科學(xué)技術(shù)史研究院　010022)

1　前言

立體幾何內(nèi)容是幾何課程中的重要組成部分,它對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展具有重要作用，在各國(guó)數(shù)學(xué)教科書(shū)中設(shè)置立體幾何內(nèi)容的順序和程度不同.日本的小學(xué)、初中和高中均設(shè)置立體幾何內(nèi)容，同一個(gè)立體圖形概念在小學(xué)、初中和高中由直觀指出、操作實(shí)驗(yàn)到嚴(yán)格定義的螺旋方式上升，凸顯其顯著特點(diǎn)，這與我國(guó)中小學(xué)立體幾何內(nèi)容的設(shè)置有很大不同.

本文是對(duì)日本“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)要領(lǐng)”(相當(dāng)于我國(guó)的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn))下的小學(xué)、初中和高中的立體幾何內(nèi)容設(shè)置的理念和特點(diǎn)進(jìn)行闡述.立體幾何在數(shù)學(xué)教學(xué)中扮演著不可或缺的角色，是培養(yǎng)學(xué)生空間想象力和邏輯思維能力的重要部分.此外，由于受地域差異或文化等影響，世界各國(guó)中小學(xué)的數(shù)學(xué)教科書(shū)中立體幾何內(nèi)容設(shè)置不盡相同，因此，研究其他國(guó)家立體幾何內(nèi)容設(shè)置對(duì)我國(guó)數(shù)學(xué)教科書(shū)的編寫(xiě)以及立體幾何的教學(xué)具有一定的啟示作用.

作為同受儒家文化影響的我國(guó)鄰邦日本，各方面飛速發(fā)展，在世界各國(guó)備受矚目.在近年來(lái)的TIMSS和PISA測(cè)試中，日本學(xué)生的成績(jī)大多名列前茅，引人注目，這體現(xiàn)了他們數(shù)學(xué)教育的整體水平.日本現(xiàn)行的學(xué)制是“六三三制”，即小學(xué)六年，初中三年，高中三年.小學(xué)第一學(xué)年到第五學(xué)年每學(xué)年兩冊(cè)數(shù)學(xué)教科書(shū)，第六學(xué)年一冊(cè)，共十一冊(cè)；初中三年每學(xué)年一冊(cè)，共三冊(cè)；高中共五冊(cè)，分別為《數(shù)學(xué)A》、《數(shù)學(xué)B》、《數(shù)學(xué)Ⅰ》、《數(shù)學(xué)Ⅱ》、《數(shù)學(xué)Ⅲ》，每?jī)?cè)書(shū)的具體上課學(xué)期要根據(jù)“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)要領(lǐng)”相關(guān)規(guī)定和學(xué)校的實(shí)際情況來(lái)確定.

本文在介紹相關(guān)背景的基礎(chǔ)上，結(jié)合日本東京書(shū)籍株式會(huì)社2015年發(fā)行的小學(xué)算數(shù)教科書(shū)、啟林館出版的2016年開(kāi)始使用的初中數(shù)學(xué)教科書(shū)和2017年開(kāi)始使用的高中數(shù)學(xué)教科書(shū)，以其中的立體幾何內(nèi)容為研究對(duì)象，從內(nèi)容設(shè)置理念和個(gè)案分析兩個(gè)方面來(lái)進(jìn)行論述.

2　日本小學(xué)、中學(xué)立體幾何內(nèi)容設(shè)置

“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)要領(lǐng)”是日本編寫(xiě)中小學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)的根據(jù)，小學(xué)、初中和高中數(shù)學(xué)學(xué)科總體目標(biāo)“圖形”教學(xué)要求分別概括為：(小學(xué))通過(guò)數(shù)學(xué)活動(dòng)，掌握數(shù)量和圖形的基礎(chǔ)的、基本的知識(shí)和技能，有條理地解決實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)表現(xiàn)能力的同時(shí)，使學(xué)生切實(shí)感受數(shù)學(xué)活動(dòng)的快樂(lè)和用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的益處，培養(yǎng)將數(shù)學(xué)運(yùn)用于學(xué)習(xí)、生活的態(tài)度*曹一鳴.十三國(guó)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)評(píng)介(小學(xué)、初中卷)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：180.；(初中)通過(guò)數(shù)學(xué)活動(dòng)，加深對(duì)數(shù)量和圖形的基本概念和原理、法則的理解，習(xí)得數(shù)學(xué)的表現(xiàn)和處理方法，提高數(shù)學(xué)性的思考表達(dá)能力的同時(shí)，切實(shí)感受數(shù)學(xué)活動(dòng)的樂(lè)趣和數(shù)學(xué)的優(yōu)越性，培養(yǎng)靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思維、判斷的態(tài)度*曹一鳴.十三國(guó)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)評(píng)介(小學(xué)、初中卷)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：202.；(高中)要加深對(duì)空間中直線與平面的位置關(guān)系以及它們所形成的夾角的理解.另外，要理解與多面體相關(guān)的基本性質(zhì)，并在考察事物過(guò)程中靈活應(yīng)用*曹一鳴,代欽,王光明.十三國(guó)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)評(píng)介(高中卷)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2013：145..根據(jù)該目標(biāo)和結(jié)合學(xué)生的身心發(fā)展以及獲得知識(shí)的認(rèn)知規(guī)律，日本數(shù)學(xué)教育工作者們編寫(xiě)了小學(xué)、初中和高中三套數(shù)學(xué)教科書(shū)中的立體幾何內(nèi)容.

在《算數(shù)*1945年前日本將小學(xué)數(shù)學(xué)叫做“算術(shù)”，之后改為“算數(shù)”.1》(上下冊(cè))到《算數(shù)5》(上下冊(cè))和《算數(shù)6》中，有六冊(cè)教科書(shū)中設(shè)置了立體幾何內(nèi)容，分別是《算數(shù)2》(下冊(cè))、《算數(shù)3》(下冊(cè))、《算數(shù)4》(下冊(cè))、《算數(shù)5》(上下冊(cè))、和《算數(shù)6》.在初中《數(shù)學(xué)1》、《數(shù)學(xué)2》、《數(shù)學(xué)3》三冊(cè)中的《數(shù)學(xué)1》中設(shè)置了立體幾何內(nèi)容，在高中《數(shù)學(xué)Ⅰ》、《數(shù)學(xué)Ⅱ》、《數(shù)學(xué)Ⅲ》、《數(shù)學(xué)A》、《數(shù)學(xué)B》五冊(cè)書(shū)中，除《數(shù)學(xué)Ⅱ》以外均設(shè)置了立體幾何內(nèi)容，下面列出小學(xué)、初中和高中數(shù)學(xué)教科書(shū)中立體幾何內(nèi)容的設(shè)置.

表1　小學(xué)立體幾何內(nèi)容設(shè)置

表2　初中立體幾何內(nèi)容設(shè)置

表3　高中立體幾何內(nèi)容設(shè)置

續(xù)表

從上表可見(jiàn)，日本從小學(xué)到高中是以螺旋形式來(lái)設(shè)置立體幾何內(nèi)容.日本在面臨嚴(yán)峻社會(huì)問(wèn)題的形勢(shì)下，進(jìn)行教育改革，對(duì)教科書(shū)進(jìn)行改編，其中在對(duì)數(shù)學(xué)教科書(shū)中幾何內(nèi)容進(jìn)行刪減的情況下，仍保留了立體幾何在小學(xué)到高中一定的課時(shí)量，可見(jiàn)日本對(duì)立體幾何在數(shù)學(xué)教育中重視的程度之大.

小學(xué)立體幾何主要是讓學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)活動(dòng)，了解生活中簡(jiǎn)單的立體圖形，這有助于小學(xué)生空間感覺(jué)和想象力的培養(yǎng)、表現(xiàn)自我以及更好地從生活角度理解數(shù)學(xué)，掌握數(shù)學(xué).此外，在知識(shí)層面上可以讓學(xué)生對(duì)立體圖形有一個(gè)直觀的、經(jīng)驗(yàn)的認(rèn)識(shí)，在學(xué)生的認(rèn)知范圍、接受能力之內(nèi)進(jìn)行立體幾何的教學(xué)，也為中學(xué)立體幾何的學(xué)習(xí)做好鋪墊；初中的立體幾何是讓學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)活動(dòng)，從經(jīng)驗(yàn)的積累中產(chǎn)生對(duì)立體幾何圖形的理解以及簡(jiǎn)單證明，是培養(yǎng)學(xué)生的思考力、判斷力和表現(xiàn)力的一種實(shí)驗(yàn)幾何；而高中的立體幾何則是讓學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)活動(dòng)，仔細(xì)地考察事物，培養(yǎng)其嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膫€(gè)性和創(chuàng)造性基礎(chǔ)，是要經(jīng)過(guò)邏輯推理、嚴(yán)格的理論證明得到的一種理論幾何.

在以螺旋形式上升的立體幾何內(nèi)容中，雖然有重復(fù)的部分，但這些內(nèi)容銜接著小學(xué)和初中，初中和高中，內(nèi)容由淺入深，使它們之間的過(guò)渡更加自然，使進(jìn)入新階段的學(xué)生少一些陌生感和跳躍感，更加容易接受新的立體幾何知識(shí).并且包含解決問(wèn)題的方法、傳達(dá)的數(shù)學(xué)思想也對(duì)應(yīng)著學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的規(guī)律，這有助于學(xué)生對(duì)新舊知識(shí)進(jìn)行加工與重組，促進(jìn)學(xué)生對(duì)立體幾何的認(rèn)識(shí)從具體化過(guò)渡到抽象化.

3　個(gè)案分析

個(gè)案1球

小學(xué)教科書(shū)中，在學(xué)習(xí)圓的知識(shí)之后對(duì)球的概念進(jìn)行了簡(jiǎn)要介紹，給出“從哪個(gè)方向看都是圓的圖形是球”直觀描述的定義.如圖1，并指出球從哪里進(jìn)行切分，得到的切口都是圓，當(dāng)球被切成一半的時(shí)候，這個(gè)切面圓是最大的，并且這個(gè)圓的圓心、半徑、直徑就是球的球心、半徑、直徑.

圖1

圖2

對(duì)于球的表面積S=4πr2則是直接給出的,但在思考題中提出如下問(wèn)題：先給出一個(gè)半徑為5 cm的半球，用毛線纏在半球的外側(cè)，然后將2倍長(zhǎng)度的毛線平置于平面上，形成半徑為10 cm的圓，如圖4，用球的表面積公式進(jìn)行說(shuō)明.這里采用實(shí)驗(yàn)幾何的方法.

圖3

圖4

圖5

圖6

這里十分清晰地交待了從小學(xué)球概念在視覺(jué)認(rèn)知下的直觀描述定義、初中球概念在經(jīng)驗(yàn)認(rèn)知下的實(shí)驗(yàn)性定義到高中球概念在理性認(rèn)知下的嚴(yán)格定義，既考慮到學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，又反映了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的遞進(jìn)過(guò)程.

個(gè)案2直線與平面的垂直關(guān)系

“直線與平面垂直”這部分內(nèi)容先后在小學(xué)、中學(xué)教科書(shū)中共出現(xiàn)了四次，具體過(guò)程如下：

第一次“直線與平面垂直”出現(xiàn)在小學(xué)《算數(shù)4》(下冊(cè))，不過(guò)只是從長(zhǎng)方體中進(jìn)行了簡(jiǎn)要介紹，說(shuō)明長(zhǎng)方體的一棱與底面是垂直的，如圖7，邊BF與底面EFGH垂直.

第二次出現(xiàn)在初中《數(shù)學(xué)1》中，如圖8，教科書(shū)在給出直線與平面的位置關(guān)系后給出直線與平面垂直：直線l與平面P交于點(diǎn)A，當(dāng)直線l垂直于過(guò)點(diǎn)A平面P上的所有直線時(shí)，直線l與平面P垂直.這時(shí)，直線l就是平面P的垂線.直線l與平面P垂直的確定條件是：平面P上過(guò)交點(diǎn)A的兩條直線分別與直線l垂直.

圖7

圖8

第三次出現(xiàn)在高中《數(shù)學(xué)A》“空間平面與直線”中，如圖9，同樣是在直線與平面的位置關(guān)系后給出直線與平面垂直關(guān)系：當(dāng)直線p與平面α交于點(diǎn)O時(shí)，若直線p垂直于過(guò)點(diǎn)O在平面α上引出的兩條直線l,m，則p垂直于過(guò)點(diǎn)O的平面α的任意一條直線n.平面α上任意一條直線都與直線p垂直，則直線p就與平面α垂直，書(shū)寫(xiě)p⊥α.這時(shí)，p就是α的垂線.

第四次出現(xiàn)在《數(shù)學(xué)B》“空間向量”第一節(jié)中，如圖10，平面α上任意一條直線都與直線p垂直，則直線p就與平面α垂直，書(shū)寫(xiě)p⊥α.若p與α上兩條相交直線垂直，p就與α上所有直線都垂直，即p⊥α.

圖9

圖10

總之，第一次“直線與平面垂直”的出現(xiàn)讓學(xué)生們直觀地了解直線與平面垂直，為以后的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).第二、三次的編排很相似，均是在直線與平面的位置關(guān)系中進(jìn)行講解，之后也都進(jìn)行深入，但第三次出現(xiàn)的高中定義限制了條件，即：①直線與平面相交；②直線垂直于過(guò)交點(diǎn)的兩條直線.第三次與第四次的定義均出現(xiàn)在高中，值得關(guān)注的是，在這兩次定義的敘述中都使用了“任意”這個(gè)數(shù)學(xué)中的學(xué)術(shù)語(yǔ)，相比于第二次出現(xiàn)的初中定義中使用的“所有”一詞更具抽象性，從而印證了教科書(shū)的編寫(xiě)要適應(yīng)學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的規(guī)律.同時(shí)，第四次的引入也為即將講授的空間直角坐標(biāo)系做準(zhǔn)備，能夠使學(xué)生更容易、清晰地理解空間直角坐標(biāo)系中直線和平面、平面和平面的垂直關(guān)系.類(lèi)似這樣的內(nèi)容設(shè)置在日本數(shù)學(xué)教科書(shū)中有很多，在此不贅述.

4　結(jié)語(yǔ)

教科書(shū)是學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)、掌握技能、培養(yǎng)思維和形成人格的最基本的信息載體和工具，它的優(yōu)劣對(duì)學(xué)校教育質(zhì)量的提高是至關(guān)重要的.中小學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)中相關(guān)知識(shí)的有效銜接是優(yōu)秀教科書(shū)的標(biāo)志之一.如果中小學(xué)教科書(shū)沒(méi)有能夠做到這一點(diǎn)，即使是對(duì)優(yōu)秀的教師來(lái)說(shuō)，在教學(xué)中銜接相關(guān)知識(shí)也是極為困難的.因此，小學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)編寫(xiě)者應(yīng)該熟知初高中數(shù)學(xué)內(nèi)容，初中數(shù)學(xué)教科書(shū)編寫(xiě)者應(yīng)該熟知小學(xué)和高中數(shù)學(xué)內(nèi)容，高中數(shù)學(xué)教科書(shū)編寫(xiě)者也應(yīng)該熟知小學(xué)和初中數(shù)學(xué)內(nèi)容，這樣才能保證小學(xué)、初中和高中數(shù)學(xué)教科書(shū)內(nèi)容的有效銜接.從日本中小學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)中立體幾何內(nèi)容的銜接看，既自然順暢地逐次深入，又在潛移默化中降低了學(xué)生學(xué)習(xí)難度.通過(guò)對(duì)立體圖形由表及里的認(rèn)識(shí)，使學(xué)生對(duì)具體事物的認(rèn)識(shí)層層遞進(jìn)，對(duì)具體事物的表征研究，探究其內(nèi)在本質(zhì).這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、動(dòng)手操作能力和邏輯推理能力具有重要的促進(jìn)作用.在初中《數(shù)學(xué)1》的“各種各樣的立體”后有設(shè)置“正多面體”，在最后作為選修的“數(shù)學(xué)廣場(chǎng)”部分又對(duì)“正多面體”進(jìn)行討論.在高中《數(shù)學(xué)A》中又系統(tǒng)講解“正多面體”，并給出歐拉的多面體定理，即v-e+f=2,v為頂點(diǎn)數(shù)，e為邊數(shù)，f為面數(shù).在“卷末廣場(chǎng)”的學(xué)習(xí)中也安排了正八面體的動(dòng)手制作課題六項(xiàng).通過(guò)這種編排，使學(xué)生對(duì)立體幾何知識(shí)的掌握更具系統(tǒng)性和完整性，并注重學(xué)生的個(gè)體差異和個(gè)性發(fā)展.

中小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的有效銜接，是日本教科書(shū)的顯著特色之一.另外，日本對(duì)教科書(shū)的編寫(xiě)過(guò)程穩(wěn)中求進(jìn)，十分緩慢，大約每十年進(jìn)行一次改革，內(nèi)容變化也不大.正如日本著名教育家佐藤學(xué)先生所說(shuō)：“文化變革越是緩慢，才越能得到確實(shí)的成果.”*(日)佐藤學(xué).靜悄悄的革命[M].李季湄譯.北京：教育科學(xué)出版社，2014：2.上述理念與做法對(duì)我國(guó)數(shù)學(xué)教育改革與數(shù)學(xué)教科書(shū)建設(shè)具有“他山之石，可以攻玉”之借鑒功效.

致謝：本文參考的日本現(xiàn)行教科書(shū)是由日本京都大學(xué)柳本哲教授和岐阜縣教育委員會(huì)教育總務(wù)課下野宗紀(jì)先生提供，在此表示衷心的感謝.