蔡　欣

(南京市金陵中學(xué) 210005)

1　問題提出

現(xiàn)代數(shù)學(xué)哲學(xué)認(rèn)為：數(shù)學(xué)是人類創(chuàng)造發(fā)明的成果，是一個(gè)探究和認(rèn)知的過程，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)展示這一創(chuàng)造性活動(dòng).《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》指出：數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式，力求通過各種不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化、再創(chuàng)造的過程，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的快樂.實(shí)踐表明：數(shù)學(xué)探究是追求有效教學(xué)、構(gòu)建高效課堂的重要途徑，它有助于學(xué)生發(fā)展“四基”和提升數(shù)學(xué)思維能力，有助于學(xué)生優(yōu)化學(xué)習(xí)品質(zhì)和發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)．

但在教學(xué)實(shí)踐中，一些教師把課堂完全交給學(xué)生，任憑學(xué)生自由發(fā)揮，一些卻將學(xué)生的思維固化在“某一軌道”上，不越“雷池”半步，這樣的探究有活動(dòng)無體驗(yàn)，有經(jīng)歷無感悟，達(dá)不到探究的目的．

這些現(xiàn)象引發(fā)了筆者對(duì)探究性學(xué)習(xí)的思考：我們?cè)撛鯓舆x擇探究性素材？探究過程中怎樣突出學(xué)生的主體地位？又怎樣彰顯教師的主導(dǎo)作用？等等，結(jié)合上述思考，筆者以高三一輪復(fù)習(xí)課——《平面向量的表示及其運(yùn)算》為例進(jìn)行了探究性學(xué)習(xí)的實(shí)踐，以下是這節(jié)課的部分教學(xué)實(shí)錄以及筆者的感悟，以饗大家．

2　實(shí)踐操作

圖1

設(shè)計(jì)意圖以教材中的例習(xí)題為探究性學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備，一是讓學(xué)生倍感輕松和親切；二是中線這一條件具有很大的變式度．

自主探究一

師：你能通過類比，提出并探究新的問題嗎？

設(shè)計(jì)意圖筆者沒有直接拋出問題，而是引導(dǎo)學(xué)生通過類比提出新問題，以培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)．

(限于篇幅，僅展示學(xué)生扼要的解題過程．)

生3：我研究了生1提出的問題，如圖2，CD是∠ACB的角平分線，

圖2

圖3

生4：我注意到角平分線這個(gè)條件，就聯(lián)想到了菱形，因?yàn)橹挥辛庑蔚囊粭l對(duì)角線恰好就是相應(yīng)的角平分線.

師：很好，他進(jìn)行了合理的聯(lián)想與構(gòu)造，這是很重要的思維方式.另外，求解過程中涉及平面向量基本定理，體現(xiàn)了向量基底的思想.

圖4

師：很好，生5將向量等式兩邊同時(shí)點(diǎn)乘某一向量，將向量等式轉(zhuǎn)化為數(shù)量等式．這一策略又一次體現(xiàn)了向量基底的思想.

生7：利用正弦定理，得

師：非常漂亮.以上兩位同學(xué)給出了兩種形式很工整的表達(dá)式，前者是以邊為系數(shù)，后者是以三角函數(shù)為系數(shù).

師：對(duì)于高CD，還有其他處理策略嗎？

師：很好，生8將向量等式兩邊同時(shí)平方，將向量等式轉(zhuǎn)化為數(shù)量等式．另外，他把高看做點(diǎn)與點(diǎn)之間距離的最小值，以動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)來認(rèn)識(shí)靜態(tài)的事物，“動(dòng)靜”結(jié)合，這個(gè)想法具有一定的創(chuàng)新意識(shí)，也是函數(shù)思想的具體體現(xiàn).

師：還有其他處理策略嗎？

生9：(法3)我覺得還可以通過坐標(biāo)法來處理，如圖5，建立直角坐標(biāo)系，A(b，0)，B(acosC，asinC)，聯(lián)立直線AB與CD的方程，得

圖5

師：生9引進(jìn)了直角坐標(biāo)系，在新的平臺(tái)下利用了解析幾何的知識(shí)來研究.

師：請(qǐng)對(duì)以上幾種策略做個(gè)評(píng)價(jià).

生10：法1是通解通法；法2切換了思維角度，從函數(shù)的角度以變量的觀點(diǎn)來認(rèn)識(shí)距離，思路很新穎，有創(chuàng)意；法3的坐標(biāo)法簡(jiǎn)潔明了，也是處理這類問題的常規(guī)解法.

設(shè)計(jì)意圖提高學(xué)生向量的代數(shù)運(yùn)算能力并通過引導(dǎo)強(qiáng)化反思意識(shí).

自主探究二

師：我們分別探究了第三邊上的中線、角平分線、高所對(duì)應(yīng)向量的線性表示，請(qǐng)?jiān)诖嘶A(chǔ)上作進(jìn)一步的探究．

生11：我由中線、角平分線、高想到了三角形的重心、內(nèi)心和垂心，能否用這組基底表示與它們相關(guān)的向量呢？

設(shè)計(jì)意圖在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生進(jìn)一步通過類比提出新問題，這些問題既合乎情理，又更具深度，同時(shí)，進(jìn)一步激發(fā)了學(xué)生的探究熱情．

師：好，我們先從與重心有關(guān)的問題開始探究.

圖6

師：很好，生13類比推理得到另外兩個(gè)向量等式，發(fā)現(xiàn)這三個(gè)等式是輪換式，進(jìn)而相加又得到了一個(gè)結(jié)論：以重心為公共起點(diǎn)、以三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為終點(diǎn)的三個(gè)向量之和是零向量，同時(shí)，他感嘆這個(gè)結(jié)論簡(jiǎn)潔、優(yōu)美，體現(xiàn)了一定的審美高度.

師：很好，生14由三個(gè)向量等式中的某一個(gè)直接化簡(jiǎn)得到該結(jié)論，這一做法再次體現(xiàn)了向量基底的思想.

師：哪些同學(xué)研究了與內(nèi)心有關(guān)的問題？

圖7

師：告訴大家，你是如何得到的？

學(xué)生紛紛點(diǎn)頭贊許，示意這個(gè)結(jié)論太漂亮了，非常之美，許多同學(xué)還情不自禁地鼓起了掌．此時(shí)，學(xué)生的研究熱情已經(jīng)非常高漲，教師無需作過多的評(píng)價(jià)，此時(shí)無聲勝有聲．

師：哪些同學(xué)研究了與垂心有關(guān)的問題？

該生停了下來，……，

圖8

師：表達(dá)式比較復(fù)雜，需要化簡(jiǎn)，它既含有邊又含有角，不知能否統(tǒng)一到邊或角呢？

生18：(小心翼翼)式子的邊少角多，我想把邊全部統(tǒng)一轉(zhuǎn)化到角，但是，邊a、b、CD不在同一個(gè)三角形內(nèi)，怎么轉(zhuǎn)化呀？

師：(面帶微笑)你的分析非常好！既然它們不在同一個(gè)三角形內(nèi)，能否分別研究呢？觀察它們分別在怎樣的三角形內(nèi)呢？

生18：噢(恍然大悟)！a、b、CD分別是Rt△BCD和Rt△ACD的兩邊，可以分別在這兩個(gè)直角三角形中研究，

師：非常棒！應(yīng)該講，這一探究過程對(duì)思維和運(yùn)算提出了很高的要求，你表現(xiàn)出來的信心、耐心和毅力值得大家學(xué)習(xí)．

(此時(shí)，生18極具成就感，露出了幸福的笑容.)

師：還有其他處理策略嗎？

生19：我覺得還可以通過坐標(biāo)法來處理，如圖9，建立直角坐標(biāo)系，

圖9

易得A(b，0)，B(acosC，asinC)，聯(lián)立直線AB與CD的方程，得

師：顯然，坐標(biāo)法更簡(jiǎn)潔明了.

tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC，

代入化簡(jiǎn)，也得到一個(gè)優(yōu)美的結(jié)論：

師：很好，生21為我們又進(jìn)行了概括和提升.

自主探究三

師：從思維的方向性來說，可以把思維分為正向思維和逆向思維，對(duì)于剛才的結(jié)論，它們逆向思維的結(jié)果是什么？你能否寫出幾個(gè)并作相應(yīng)的研究？

生22：已知三角形及一點(diǎn)滿足相應(yīng)的向量等式，試對(duì)該點(diǎn)所在的位置作出判斷，如：

師：很好，請(qǐng)大家課后完成探究.

設(shè)計(jì)意圖逆向思維反映了思維的間斷性和突變性，它能克服正向思維的心理定勢(shì)，突破舊有思維的框架，從而產(chǎn)生新思維，發(fā)現(xiàn)新知識(shí)．

3　幾點(diǎn)感悟

3．1　選準(zhǔn)探究的素材內(nèi)容是探究性學(xué)習(xí)的重要前提

素材是探究性學(xué)習(xí)的載體，也是探究性學(xué)習(xí)的重要前提，素材選擇的要旨是能幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)，發(fā)展思維，提高能力.素材既可以是某些數(shù)學(xué)結(jié)論的延伸，也可以是對(duì)學(xué)生來說新的數(shù)學(xué)結(jié)果.素材的來源盡可能依托教材，教材中設(shè)置的“探究”、“思考”以及每一章節(jié)習(xí)題的“探究·拓展”都是很好的素材選擇點(diǎn)，教材中的許多例習(xí)題看似簡(jiǎn)單，事實(shí)上包含了豐富的內(nèi)涵和外延，蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想方法.本課例的引例就是教材的一個(gè)習(xí)題，它遷移性強(qiáng)．筆者先引導(dǎo)學(xué)生從三角形的中線類比得到角平分線、高的向量線性表示，又引出三角形的重心、內(nèi)心和垂心的向量線性表示，最后，逆向思維提出新問題，這樣的探究素材，就知識(shí)本身層面而言，它是對(duì)平面向量及其代數(shù)運(yùn)算的鞏固和加深；就知識(shí)應(yīng)用層面而言，它是二次函數(shù)最值、三角變換、正余弦定理等知識(shí)的綜合和運(yùn)用；就數(shù)學(xué)能力層面而言，它不僅提升了學(xué)生運(yùn)算求解、演繹證明的能力，也提高了學(xué)生提出、分析、解決問題的能力.章建躍先生指出，教師最基本且最重要的職責(zé)是教好課本，而教好課本的重要一環(huán)就是深刻理解例習(xí)題，發(fā)掘它們的潛在價(jià)值并在此基礎(chǔ)上對(duì)它們進(jìn)行改編、拓展和整合，充分揭示其內(nèi)涵，激活它們的“靜態(tài)屬性”，將其數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為利于學(xué)生探究的教育形態(tài).

3．2　突出學(xué)生的主體地位是探究性學(xué)習(xí)的主要標(biāo)志

開展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的根本目的是促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變，實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的自主建構(gòu)，因此探究務(wù)必突出學(xué)生的主體地位，它是探究性學(xué)習(xí)的主要標(biāo)志.首先，教師要尊重學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)和認(rèn)知水平，依據(jù)量力性原則確保探究活動(dòng)始終處于學(xué)生認(rèn)知的“最近發(fā)展區(qū)”；其次，探究問題碰到困難時(shí)，教師應(yīng)及時(shí)給予指導(dǎo)，也要給予一定的精神鼓勵(lì)，如學(xué)生18回答問題時(shí)幾次被卡，信心受挫，筆者通過如“能否統(tǒng)一到邊或角呢？”、“能否分別研究呢？”等提示語不斷地給予點(diǎn)撥，給予信任，耐心等待花開，最終任務(wù)圓滿完成，學(xué)生的思維得到發(fā)展，情感得到升華；再次，教師要充分尊重探究活動(dòng)中的生成性資源，本課例中，幾個(gè)學(xué)生分別得到三個(gè)關(guān)于重心、內(nèi)心、垂心簡(jiǎn)潔而優(yōu)美的結(jié)論，這個(gè)環(huán)節(jié)是教學(xué)設(shè)計(jì)之外的，但它的發(fā)生又在情理之中，是學(xué)生探究過程中自然生成的，這種“美麗”是沒有預(yù)約的，是課堂靈動(dòng)、智慧的體現(xiàn)，是學(xué)生自主、創(chuàng)造的反映.

3．3　彰顯教師的主導(dǎo)作用是探究性學(xué)習(xí)的成功保障

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》明確指出，教師應(yīng)成為學(xué)生數(shù)學(xué)探究的組織者、主導(dǎo)者和促進(jìn)者．只有在教師的主導(dǎo)下的探究才能確保探究性學(xué)習(xí)的成功.探究過程中，教師應(yīng)努力引導(dǎo)學(xué)生自我發(fā)現(xiàn)并勇于提出問題，從而增強(qiáng)問題意識(shí)，在探究過程的節(jié)點(diǎn)處，教師要憑借提問和追問，把控探究的方向和深度，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)同一問題進(jìn)行多角度、多層次地探究思考，以培養(yǎng)學(xué)生思維的廣度和深度，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)方法策略進(jìn)行比對(duì)分析評(píng)價(jià)，以增強(qiáng)學(xué)生的反思意識(shí)和能力.

在探究性學(xué)習(xí)中教師應(yīng)該結(jié)合學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展水平，充分發(fā)揮主導(dǎo)作用，讓探究學(xué)習(xí)收獲更大的效益，讓探究學(xué)習(xí)充滿綠色的生機(jī)，讓探究學(xué)習(xí)散發(fā)生命的氣息.