劉權(quán)華

(南京市教育科學研究所 210002)

深化課改對我們提出了許多新要求，“為發(fā)展核心素養(yǎng)而教”就是其中的一個關(guān)鍵詞.人民教育出版社章建躍先生曾撰文說，當下實現(xiàn)學科育人的最關(guān)鍵問題是扎實開展數(shù)學教育實踐研究，搞出一批“核心素養(yǎng)統(tǒng)領(lǐng)下的數(shù)學教學案例”使抽象的高大的“核心素養(yǎng)”獲得具體的事例，實現(xiàn)“從思維的抽象發(fā)展到思維的具體，在思維中再現(xiàn)事物的整體性和具體性”，這樣才能達到對數(shù)學核心素養(yǎng)的深刻認識.也就是說，更加迫切的、對實踐的指導意義更強的是案例.在數(shù)學教學中著意創(chuàng)設(shè)一些與數(shù)學有密切關(guān)聯(lián)的真實的熟悉的問題情境，從數(shù)學知識的發(fā)生發(fā)展過程，特別是如何發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學問題，獲得數(shù)學對象的角度進行實踐，是必要的，也是可能的，通過“問題—互動”的方式，可以促進數(shù)學教與學方式的轉(zhuǎn)變，有利用于培養(yǎng)學生的模型思想和理性思維，這是新課改的要求，也是數(shù)學教學本原的回歸.[1]

“不等關(guān)系”是蘇教版高中數(shù)學必修5第三章第一節(jié)的教學內(nèi)容，是“不等式”這章的起始課，教材只給出了可以表示不等關(guān)系的3個問題，5道課后練習題，尤其是初中也有“不等關(guān)系”這一節(jié)內(nèi)容.如何進行設(shè)計，才能上出“味道”，達到培育學生核心素養(yǎng)的目的？

1　教學設(shè)想

(1)課標理解：通過具體問題情境，感受在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的數(shù)量關(guān)系，了解不等式(組)的實際背景.讓學生感受不等式的意義，是重要的教學目標.雖然不等關(guān)系大量存在于現(xiàn)實生活中，但要從中概括出不等式的概念，深化理解不等式的意義，達到學生的心理認可，可能并不是一蹴而就的.

(2)教材分析：本節(jié)是章節(jié)起始課，對后繼的一元二次不等式、二元一次不等式(組)表示的二平面區(qū)域、簡單的線性規(guī)劃問題以及基本不等式的證明等學習內(nèi)容具有基礎(chǔ)性的奠基作用，不可等閑帶過.其重點是通過具體情境，建立不等式模型，對許多學生來說，這往往也是學習的難點.而要解決這個難點，必須要引導學生對問題中包含的數(shù)量關(guān)系進行認真、細致的分析，找出其中的不等關(guān)系，并由此建立不等式.教材中給出的三個問題，其數(shù)學模型為一元一次不等式，一元二次不等式，和線性規(guī)劃問題.按照考綱要求，本節(jié)對問題的研究，只要求建立數(shù)學模型，而不要求解不等式.

(3)學情分析：初中有過同樣的章節(jié)，對“沒有內(nèi)容”的章首課，學生往往不屑一顧.

(4)教學目標：通過具體問題情境，感悟不等式是研究實際問題的重要數(shù)學模型；了解不等式(組)的實際背景，會根據(jù)實際問題列出不等式，并解決一些簡單問題；經(jīng)歷由實際問題建立數(shù)學模型的過程，體會其基本方法，培育數(shù)學核心素養(yǎng).

如何通過他們熟悉的生活環(huán)境創(chuàng)生出不一樣的問題，并通過巧妙的構(gòu)思，鮮活的實例，合作互動的形式來吸引他們，我嘗試以教材為基礎(chǔ)，通過明暗兩條線交織，并以問題—互動的形式來實施教學.

2　教學設(shè)計

2.1　創(chuàng)設(shè)情境，感受不等

話題引入秉承“承恩施善，德貫全程，敢當大任，回歸社會”的江蘇地鐵自2005年南京首條地鐵——南京地鐵1號線開通運營以來，為同學們的出行提供了很多便利和人文關(guān)懷，截止2017年2月，南京已有7條線路，地鐵建設(shè)創(chuàng)造了全國地鐵建設(shè)的多個記錄：

(1)地鐵建設(shè)速度遠遠超過世界平均建設(shè)速度；

(2)票價低于國內(nèi)其它城市；

(3)參與建設(shè)的工人人數(shù)控制在1200人以內(nèi)……

在這里，建設(shè)速度的快慢、票價的高低、人數(shù)的多少……都反映了我們生活中的一種常見現(xiàn)象——不等關(guān)系.

設(shè)計意圖創(chuàng)設(shè)真實問題情境，使學生感受生活中處處有數(shù)學，突出知識產(chǎn)生的背景及其與現(xiàn)實的聯(lián)系，嘗試用數(shù)學的語言描述生活中的現(xiàn)象，著意人文底蘊、健康生活、責任擔當及數(shù)學核心素養(yǎng)之一的“數(shù)據(jù)分析”意識的培育.

問題1表示不等關(guān)系的有哪些句子？其含義是什么？

問題提出后，讓學生集思廣益，廣泛發(fā)言，教師適時適切引導、追問，及時互動(下同)

設(shè)計意圖地鐵明線初顯，熟悉的情境趣引“不等”話題(暗線).

問題2你能舉出一些實際生活中蘊含不等關(guān)系或不等式的例子嗎？

追問：對于生活中的不等關(guān)系，應(yīng)該如何用數(shù)學式子來刻畫呢？

設(shè)計意圖讓學生感受不等，揭示學習與研究的必要性，引出課題.

2.2　師生互動，表示不等

問題3如何表示不等關(guān)系呢？

根據(jù)學生的回答，啟發(fā)出“用不等式來表示不等關(guān)系”.根據(jù)學生的回答，追問：什么是不等式？有哪些不等符號？幫助學生回憶出“用不等號(<、>、≠、≤、≥)表示的式子，叫不等式”.

進一步追問：不等號是哪一年發(fā)明的？誰首先使用的？

數(shù)學史料“不等號”由英國數(shù)學家哈里奧特于1631年開始使用，但當時并沒有被數(shù)學界所接受，直到100年以后，才逐漸成為標準的符號.

設(shè)計意圖介紹數(shù)學故事，不失時機地對學生進行數(shù)學史教育.

問題4你能舉出數(shù)學上不等關(guān)系的實例嗎？

提示引導：并轉(zhuǎn)化為數(shù)學符號語言表達

(1)三角形兩邊之和大于第三邊(a+b>c，a+c>b，b+c>a)；

(2)完全平方數(shù)不小于零，(a2≥0)等.

設(shè)計意圖把學生的思維從日常生活中拉到數(shù)學內(nèi)部.

教師及時補充實例，PPT顯示如下內(nèi)容：

南京地鐵4號線運營后，南京地鐵軌道線網(wǎng)將突破260公里；

南京地鐵3號線的票價介于1.9至8元之間；

根據(jù)規(guī)定，乘客攜帶的物品重量不得超過15千克，體積不得大于0.15立方米.

問題5能用不等式表示上述問題中的不等關(guān)系嗎？

追問：如何將文字語言的不等式轉(zhuǎn)化為符號語言的不等式呢？

啟發(fā)引導師生共同完成下表：

不等關(guān)系詞突破介于……之間不超過,不大于不等式S>2601.9≤p≤8{G≤15,v≤0.15

設(shè)計意圖啟發(fā)引導找到不等關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)，再將找到的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式；再顯明線，仍用地鐵為背景.

2.3　建立模型，應(yīng)用不等

問：對于較復(fù)雜的問題，我們?nèi)绾斡貌坏仁絹斫?shù)學模型呢？

例1某位同學為自己制定的月交通費支出總額為120元，若他乘坐地鐵一次需要2元，乘坐出租車一次需要15元，問他每月需乘地鐵多少次才不會超支？(假設(shè)該生每月從家到學校往返共40次)

解設(shè)該同學每月乘地鐵x次，則他乘坐出租車(40-x)次.

故2x+15(40-x)≤120，(x∈N)

則有13x≥480.

設(shè)計意圖讓學生初步感受“一元一次不等式”模型，例題由教材第一個問題以“地鐵”為背景改編而來.再次體現(xiàn)著意設(shè)計的“地鐵”這條明線，更著意健康生活和數(shù)學抽象和模型化等素養(yǎng)的培育，沒有求解出不等式，體現(xiàn)課標要求，下同.

問題6你能總結(jié)出解決不等關(guān)系的實際問題的一般步驟嗎？

師生互動，共同得出：

設(shè)計意圖示以思維之道：用數(shù)學的眼光觀察客觀世界，用數(shù)學的思維分析實際問題，用數(shù)學的語言表達實際問題，用數(shù)學的方式和知識解決實際問題.使學生體會到不等式是研究實際問題的重要數(shù)學模型,同時經(jīng)歷由實際問題建立數(shù)學模型的過程，體會其基本方法，著意數(shù)學抽象和數(shù)學建模等核心素養(yǎng)的滲透和培育.

例2地鐵站設(shè)有多臺自動販賣機出售飲料，若某種飲料以每瓶2元的價格銷售時，月銷售總量為10萬瓶.經(jīng)過大數(shù)據(jù)調(diào)查，若價格每提高0.2元，銷售量就減少5000瓶.問每瓶價格的定價為多少元時，才能使該飲料月銷售額超過22.4萬元？

解設(shè)該飲料的定價提高x元，根據(jù)題意得到

(2+x)(10-(5x)/2)>22.4,

化簡得5x2—10x+4.8<0.

設(shè)計意圖用數(shù)學的思想分析問題，用數(shù)學的語言表達問題，用數(shù)學的知識得到模型，題中的數(shù)學模型是一元二次不等式，進一步經(jīng)歷由實際問題建立數(shù)學模型的過程，深化建模思想.此題源于對教材中第二個問題的改編.

例3在制造地鐵列車的過程中，需要把長度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種.按照生產(chǎn)要求，600mm鋼管的數(shù)量不能超過500mm鋼管的3倍，請寫出滿足上述不等關(guān)系的不等式.

解設(shè)截成500mm的鋼管x根，截成600mm的鋼管為y根，則有，

設(shè)計意圖此題源于對教材中第3個問題的改編.模型是線性規(guī)劃，表明我們還可以用不等式(組)來刻畫不等關(guān)系，使學生進一步經(jīng)歷由實際問題建立數(shù)學模型的過程，體會其思想和基本方法.

2.4　深入延展　提煉不等

例4在b克糖水中有a克糖，若再加上m克糖(m>0)，則糖水變得更甜，試根據(jù)這個事實提煉出一個不等關(guān)系.

追問：我們用數(shù)學知識來詮釋生活哲理，生活將變得韻味無窮，在日常生活中，你還能舉出這樣的例子嗎？

啟發(fā)引導出：女同志為什么喜歡穿高跟鞋？芭蕾演員演出為什么要踮起腳尖(一般人下半身與全身長之比在0.58—0.6之間，穿高跟鞋或踮起腳尖增加了比值，接近0.618)

設(shè)計意圖題中數(shù)學模型是分式不等式，是對學生的數(shù)學抽象、建模意識和能力的進一步培育，理性思維的進一步提升.此題源于對教科書習題第5小題的改編，也為學生感受生活中處處有數(shù)學，時時有不等關(guān)系埋下知識的伏筆.此處沒有對提煉的不等式進行證明、變式和甄別(如沒有對m的正負,a,b的大小進行深度討論、分析)是體現(xiàn)課標要求和對學情的尊重.

2.5　深入延展　感悟不等

問題7今天我們是怎樣開展對“不等關(guān)系”的研究的？

經(jīng)過師生充分的思考和互動之后，總結(jié)如下：我們從引以為傲的南京地鐵談起，從了解地鐵、“乘坐”地鐵，在地鐵站銷售飲料、“制造”地鐵、“喝過”糖水不等式，這一條明線.另一方面，我們從感受不等開始，學習了如何表示不等、應(yīng)用不等、提煉不等、感悟不等、回味不等，到最后證明不等的嘗試，這是一條暗線.與此同時，還學習和建立了一元一次不等式，一元一次不等式組，一元二次不等式和分式不等式等數(shù)學模型……

2.6　總結(jié)提高　回味不等

問題8你有哪些收獲、體驗和感悟？

充分的互動，總結(jié)如下：通過本節(jié)課的學習，我們感受到生活中處處有數(shù)學，時時有數(shù)學，正如數(shù)學家陳省身所說：我們欣賞數(shù)學，我們需要數(shù)學.不等是絕對的，相等是相對的，不等關(guān)系是數(shù)學中最重要的一種關(guān)系，我們需要不等關(guān)系，我們用好不等關(guān)系，就可以用力最省，花錢最少，效益最高.

設(shè)計意圖言歸正傳，適當小結(jié)，引用名人名言，進行數(shù)學史教育，強調(diào)等與不等的辯證關(guān)系，滲透辯證法思想.同時培養(yǎng)學生的語言表達能力，歸納概括能力，兼顧過程和方法；情感、態(tài)度和價值觀方面教學目標；教育最終指向全面發(fā)展的人.

3　教學反思

讓學生身臨問題情境，盡量感悟提出、解決問題的真實過程，這是提升數(shù)學核心素養(yǎng)的有效途徑.以問題引領(lǐng)來激活學生思維是數(shù)學課堂教學有力的抓手.有了問題，學生的思維才有了方向與載體、才有交流展示的機會、課堂才能被激活.基于以上認識，本課采用了問題—互動的教學模式，通過設(shè)計了8個環(huán)環(huán)相扣、層層推進的“問題串”，保證了課堂的有序和流暢.但“問題—互動”引領(lǐng)必須要遵循兩個原則：一是要連續(xù)性原則，即設(shè)計的問題要圍繞教學主題，連續(xù)不斷地層次推進，才能保證學生步步為營的持續(xù)提高.否則，必將給人神散形也散之感.二是“最近發(fā)展區(qū)原則”，即設(shè)計的問題要來自學生的生活，貼近學生的認知水平和思維水平，必要時搭好“腳手架”，促進不同層次的學生均有所發(fā)展.三是要互動原則，即師生互動，生生互動，人機互動，全員互動.這種動不是教師牽著學生鼻子走(所謂“主導”)的動，也不是只有發(fā)言同學和少數(shù)尖子生的“壟斷”的動，更不是看上去熱熱鬧鬧(所謂“主體”)實質(zhì)上是注入式的缺少創(chuàng)新的動，而應(yīng)是學生發(fā)揮主觀能動性的自主的動，圍繞教師精心設(shè)計的有思考價值的問題的交流、合作的動.[2]

“明暗交織”是“問題—互動”教學的一種美好形式.皮亞杰認為：認知發(fā)展可分為內(nèi)化建構(gòu)和外化建構(gòu)，學生知識的掌握和能力的發(fā)展應(yīng)該是內(nèi)化建構(gòu)和外化建構(gòu)同時得以發(fā)展的過程.本節(jié)課教學以兩條線展開，暗線是不等關(guān)系，從感受不等、表示不等、應(yīng)用不等、提煉不等、感悟不等、回味不等直到作業(yè)布置中的再見不等和證明不等，明線是圍繞南京人引以為豪的地鐵展開，從選乘地鐵、到南京地鐵軌道線網(wǎng)、票價、乘客攜帶的物品重量規(guī)定等的地鐵背景、乘坐地鐵的費用支出(例1)、地鐵站自動販賣機飲料的出售(例2)、直到地鐵列車的制造(例3).圍繞明線的例題都是來自教材提供的例題或習題，數(shù)字沒變，背景改動而已，因為主題沒變，加上話題也始終是學生熟悉的具體的生活情境，故始終給人以整體感、真實感.或明或暗，明暗交織，使學生注意力思維活躍、敏捷；數(shù)學建模及思想方法的體會和運用恰到好處，初步達成了“為實現(xiàn)學生的核心素養(yǎng)而教”，實現(xiàn)了使課堂教學超越知識技能進而使數(shù)學核心素養(yǎng)“落地”的初心.[3]